单位圆与周期性_4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

1、4.2 4.3,1,0,o,p,m,x,y,前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质,观察右图，在单位圆中，由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到下 列事实：终边相同的角的正弦函数值相 等，即 ； 终边相同的角的余弦函数值相等， 即,探究点1 周期函数,把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数,正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期,例如， 等都是它们的周期.其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期,一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数t ，对定义

2、域内的任意一个x值，都有 f(x+t)=f(x), 我们就把f(x)称为周期函数，t称为这个函数的周期,说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期,特别提醒： 1.t是非零常数. 2.任意xd都有x+td,t0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件. 3.任取xd，就是取遍d 中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x+t)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若t是f(x)的周期，那么2t也是y=f(x)的周期,1.函数f(x)=c(c为常数) , xr，问函数f(x) 是不是周期函数，若是，有无最小正周期,答:是，无最小

3、正周期,2.等式sin(30+120)=sin30是否成立？如果成立，能否说明120是正弦函数y=sinx,xr的一个周期？为什么,答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x,思考,例 求下列三角函数值： （1） （2,解：（1,练习 求下列三角函数值,2,探究点2：正弦函数 y=sin x、余弦函数y=cos x 的基本性质,由上节点学习知道： 定义域为全体实数r,1）定义域,1,0,o,p(cos x,sin x,x,m,x,y,2）值域、最大（小）值,观察下图 ，设任意角x的终边与单位圆交于点p(cos x,sin x,当自变量x变化时，点p的横坐标是cos x，|cos x|1，纵

4、坐标是sin x,|sin x| 1,这说明，正弦函数 、余弦函数的值域为-1,1,4)单调性,观察右图 ，在单位圆中，设任 意角x的终边与单位圆交于点 p(cos x,sin x,因此，正弦函数在区间 上是增加的，在区 间 上是减少的,思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢,例1.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么,解：(1)因为y=cos x+1，xr的最大值、最小值由 y=cosx决定，所以使函数 取得最大 值的 的集合为,使函数 取得最小值的 的集合为,最大值为,最小值为,所以使函数 取得最大值的 的集合是 最大值为3,2）函数y=sin x，xr取得最大值、最小值时， 函数 则取得最小值、最大值,使函数 取得最小值的 的集合是 ，最小值为-3,1.对于函数与y=-2sin x,当x=_ 时，y取最大值_，当x=_ 时，y取最小值_,2,2,2.求下列函数的值域,