人教版九年级上册数学二次函数复习教学课件

1、二 次 函 数 复 习,一、概念,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a0) 的函数叫做二次函数,其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c,二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c,1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x,二次函数图象及画法,顶点坐标,与X轴的交点坐标,与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点,，,x1,0) (x2,0,0, c, c,，,x1,x2,O,x,y,c, c,二、平移，配方,向左(向右)平移|m|个单位,向上(

2、向下)平移|k|个单位,通过 配方,1、将函数y=x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式,2、将函数y=-2x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式,1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 _,2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_,y=2(x+2)2-3,2x2+8x+5,y= - 3(x-1-4)2+2+3,-3x2+30 x-70,3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为_,y=2(x+1)

3、2-8,4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2,逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位,三、开口方向、对称轴、顶点坐标,1.开口方向看a的值,2.求对称轴,直线x=-m,直线x,3.求顶点坐标,m，k,，,1、y=x2,2、y=(x-1)2,3、y=(x-1)2+3,4、y=-2(x+1)2-3,5、y=2x2+3,6、y=3x2-6x-5,1、求下列函数的顶点坐标,7、y=-2x2-4x+5,2、 已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值,3、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求

4、c的值,4、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值,求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值,y=2x28x1,y=3x25x1,四、如何求二次函数的最值,当x=-m时y最小（大）=k,3、y=-2(x+1)2-3,4、y=2x2+3,2、 已知二次函数y=x2+4x+c有最小值为2，求c的值,3、 已知二次函数y=-2x2+bx+c，当x=-2时函数有最大值为2，求b、c的值,五、函数的增减性,2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的

5、三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0,y=a(x-m)2+k(a0,y=a(x-x1)(x-x2) (a0,六、求抛物线解析式常用的三种方法,一般式,顶点式,交点式或两根式,1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，3），（2，8,求下列条件下的二次函数的解析式,3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12,2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （2，3），且图象过点（3，2,4、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，3），（2，8）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标,1)y=-x2-2x (2)

6、对称轴:x=-1 顶点坐标(-1,1,七、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号,1）a的符号,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a0,开口向下,a0,2）C的符号,由抛物线与y轴的交点位置确定,交点在x轴上方,c0,交点在x轴下方,c0,经过坐标原点,c=0,3）b的符号,由对称轴的位置确定,对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,4）b2-4ac的符号,由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,

7、a_0, b_0, c_0, abc_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b2-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0,填空： (1)抛物线yx23x2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_； (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_,0,2,1,0)和(2,0,0,-3,1,0)和（1.5，0,八、如何求二次函数图象与坐标轴的交点,3）坐标轴三个交点围成的三角形面积是,0.75,九、如何求当x为何值时，y0,y=0,y0,0,当x=x1或x=x2时,y=0,当xx2时,y0,当x10,x1,x2,当x=x1或x=x2时,y=

8、0,当xx2时,y0,当x1xx2时,y0,2、已知二次函数y=-x2-4x+5，求当x为何值时，y0,y=0,y0,1、如图求当x为何值时，y0,y=0,y0,3、解不等式:(1) x2-4x-50 (2)-x2-4x+50,十、二次函数与一元二次方程的关系,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,

9、没有实数根,b2-4ac 0,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,1、根据下列表格的对应值： 判断方程ax2+bx+c=0（a0,a、b、c为常数）一个解的范围是（） 、3x3.23 、3.23x3.24 、3.24x3.25 、3.25x3.26,C,例题分析,例1.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2), 求该抛物线的解析式,例2.已知抛物线 (1)将函数化为 的形式. (2)说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到? (3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况,例3.已知二次函数 (1)当k为何值时，函数图象经过原点？ (2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四

10、象限,例4、已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积,4、已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积,1)证明:b2-4ac=22-4*(-8)=360,该抛物线与x轴一定有两个交点,2)解:抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0,解方程得:x1=4, x2=-2,AB=4-(-2)=6，而P点坐标是(1,-9,SABC=27,1、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图,1)、当

11、x为何值时，y随x的增大而增大,2)、当x为何值时，y0,3)、求它的解析式和顶点坐标,练一练,y=x2-5x+4,2、函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为,9或1,3、写出一个开口向下，对称轴是直线x=3，且与y轴交于（0，-2）的抛物线解析式,4、已知函数y=x2-2x-3，结合图象，试确定x取何值时，y0，y=0，y0,或,5、已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）。 （1）求此二次函数的解析式。 （2）设此二次函数的图象与x轴交于A、B两点，O为坐标原点，求线段OA、OB的长度之和,6、把抛物线y=-3x

12、2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是,y=3x2,7、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形状相同，其解析式为,y=0.5（x+4）2-8,8、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函数值y的取值范围是,9、若抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是（2，3），则a= ，c=,y2,0.5,1,或y=0.5（x-4）2-8,以下全章复习用,10、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c=,11、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则

13、b=,12、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图象过原点，则m=,8,7,8,8,13、求下列二次函数的解析式： （1）二次函数的图象过（4，-3），（2，1）， （-1，-8）三点。 （2）图象过（2，0），（-5，0），（1，4）三点。 （3）顶点是（3，4），又过点（-2，7）。 （4）图象的对称轴为直线x=-1，且过（1，4）， （-2，1）两点。 （5）图象与x轴两交点的横坐标是-2和5，与y轴交点的 纵 坐标是3。 （6）图象过点（4，-2），且当x=2时，函数有最大值6,14、如果点P（1，a）和点Q（-1，b）在抛物线y=-x2+1上，那么线段PQ的长为,15、已

14、知y=x2-（12-k）x+12，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，则k的值为,2,10,16、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，-2），则a+b+c的值是,17、直线y=-2x-3与抛物线y=x2+（3m+1）x+2m的对称轴交于点（-2，1），则m=,2,1,18、抛物线y=-（x-m）（x-3-k）+m与抛物线y=（x-3）2+4关于原点对称，则m+k=,19、已知二次函数的图象过（2，0），（6，0）两点，且顶点在直线y=0.75x上，求此二次函数的解析式,9,y=-0.75（x-4）2+3,选一选 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_. A

15、直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2 (2)抛物线y=3x2-1的_ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点 (3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与X轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2,c,B,C,A,x,5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c

16、的图象大致为（,B,例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,综合创新: 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条

17、件的抛物线的解析式,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式,分析,1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0,2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛

18、物线,答案:y=-x2+6x-5,练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ， 最高点在直线y=2x+4上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标. （2）求抛物线解析式,3）求抛物线与直线的交点坐标,解：二次函数的对称轴是x=1 图象的顶点横坐标为1 又图象的最高点在直线y=2x+4上 当x=1时，y=6 顶点坐标为（ 1 ， 6,例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，ACB=90，求抛物线解析式,解： 点A在正半轴，点B在负半轴 OA=4，点A（4，0） OB=1， 点B（-1，0） 又 ACB=90 设点

19、C坐标为（0，a） 由勾股定理得点C（0，-2） 设ya（x）（x）得： a（）（） a. y.（x）（x,问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少,尝试成功,如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,3.05 m,2.5m,3.5m,问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式,4 m,试一试,你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的

20、甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高,1m,2.5m,4m,1m,甲,乙,丙,丁,0,1,4,1,1,1.5,练习：在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（ab 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大,D,C,A,B,G,H,F,E,a,b,b,2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米

21、。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积,解,1) AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米,3) 墙的可用长度为8米,2)当x 时，S最大值 36（平方米,Sx（244x） 4x224 x （0 x6,0244x 8 4x6,当x4m时，S最大值32 平方米,3、某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。 （1）求y的解析式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资,解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6, 解得:a=1,b=1, y=x2+x. （2）设g33x-100-x2-x,则 g=-x2+32x-100=-(x-16)