2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (1)

1、圆的基本性质记忆导图 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段oa绕着它的一个端点o旋转一周，另一个端点a所形成的封闭曲线，叫做圆。（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。（3）固定的端点o叫做圆心。（4）线段oa的长为r叫做半径。2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。（3）小于半圆的弧叫做劣弧。（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。（2）经过圆心的弦叫做直径。4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做

2、半圆。（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。考点2 点与圆的位置关系平面上一点p与o（半径为r）的位置关系有以下三种情况：（1）点p在o上op=r；（2）点p在o内opr。考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。2、推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。平行弦夹的弧相等。3、圆心到弦的距离叫做弦心距。考点4 圆心角、弧、弦、弦心距间关系1、顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。2、定理：在

3、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。简记：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等考点5圆的确定1、圆的做法：（1）连接ab、bc；（2）分别作线段ab、bc的垂直平分线，设它们交于点o；（3）以点o为圆心，oa为半径作圆。则o即为所作。不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形。3、三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。考点6

4、 圆的对称性1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、中心对称：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。【同步练习巩固】知识点1圆的相关概念1下列说法错误的是( c )a圆有无数条直径 b连接圆上任意两点之间的线段叫做弦c过圆心的线段是直径 d能够重合的圆叫做等圆2(浙江宁波鄞州区期末)已知ab是半径为5的圆的一条弦，则ab的长不可能是( d )a4 b8 c10 d123(安徽淮南西部地区第二次联考)下列说法：(1)长度相等的弧是等弧；(2)半径相等的圆是等圆；(3)等弧能够重合；(4)半径是圆中最长的弦

5、其中正确的有( b )a1个 b2个 c3个 d4个4(江苏扬州邗江区一模)如图，o的直径ba的延长线与弦dc的延长线交于点e，且ceob，已知dob72，则e等于( d )a36 b30 c18 d245到点o的距离等于8的所有点组成的图形是_以点o为圆心，以8为半径的圆_6如图，圆中有_1_条直径，_3_条弦，圆中以a为一个端点的优弧有_4_条，劣弧有_4_条7如图，o的周长为4，b是弦cd上任意一点(与c，d不重合)，过点b作oc的平行线交od于点e，则eoeb_2_.(用数字表示)知识点2 点与圆的位置关系8(教材p14，练习，t2改编)(安徽安庆潜山期末)已知o的半径为2，一点p到圆

6、心o的距离为4，则点p在( c )a圆内 b圆上 c圆外 d无法确定9o的半径为5，圆心o的坐标为(0，0)，点p的坐标为(4，2)，则点p与o的位置关系是( a )a点p在o内 b点p在o上 c点p在o外 d点p在o上或o外10已知点p在o外，且o的半径为5，设opx，那么x的取值范围是_x5_.11已知ab10 cm，以ab为直径作圆，那么在此圆上到ab的距离等于5 cm的点共有_2_个知识点3 圆的对称性12下列图形中，对称轴条数最多的是( b )13下列语句中，不正确的是( c )a圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 b圆既是轴对称图形，又是中心对称图形c当圆绕它的圆心旋转8957时

7、，不会与原来的圆重合 d圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个14如图，圆中的小四边形均是正方形，则阴影部分的面积与空白部分的面积的比是_11_.知识点4 垂径定理及推论15如图，o的直径abcd于点e，则下列结论可能错误的是( b )acede baeoe c. doceode16已知：如图，o的半径为9，弦ab半径oc于点h，sinboc，则ab的长度为( b )a6 b12 c9 d317(福建三明一模)如图，ab，bc是o的两条弦，aobc，垂足为d，若o的半径为5，bc8，则ab的长为( d )a8 b10 c4 d418(安徽宿州萧县期末)如图，有一圆弧形门拱的拱高ab为1 m，跨度

8、cd为4 m，则这个门拱的半径为_m.19(安徽合肥十校联考)如图，在o中，弦ad，bc相交于点e，连接oe，已知adbc，adcb.(1)求证：abcd；(2)如果o的半径为5，de1，求ae的长解：(1)证明：adbc，即，abcd.(2)如图，过点o作ofad于点f，作ogbc于点g，连接oa，oc，则affd，bgcg.adbc，afcg.在rtaof与rtcog中，rtaofrtcog(hl)，ofog，四边形ofeg是正方形，ofef.设ofefx，则affdx1.在rtoaf中，由勾股定理，得x2(x1)252，解得 x3(负值舍去)则af314，即aeaf37.20如图，o的弦

9、ab8，m是ab的中点，且om3，则o的半径等于( d )a8 b4 c10 d521如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽ab为0.8 m，则排水管内水的深度为_0.8_m.22某公园新建的圆形人工湖如图所示，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边先取a，b，c三根木桩，使得a，b之间的距离与b，c之间的距离相等，并测得b到ac的距离为3 m，ac的长为60 m，请你帮他们求出人工湖的半径解：设圆心为点o，连接oa，ob，ab，bc，ob交ac于点d，如图abbc，obac.adcd30 m.设oax m，则有x2(x3)2302，解得x151.5，人工湖的半径为151.

10、5 m.知识点5 圆心角及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系23下面四个图中的角，为圆心角的是( d ) 24如图，ab是o的直径，点c，d在o上，boc100，adoc，则弧ad所对圆心角的度数为( a )a20 b60 c50 d4025已知o的半径为6，弦ab的长为6，则弦ab所对的圆心角aob_60_.26(安徽淮北相山区四模)如果两个圆心角相等，那么( d )a这两个圆心角所对的弦相等 b这两个圆心角所对的弧相等c这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 d以上说法都不对27(江苏泰州泰兴月考)已知，如图，aobcod，下列结论不一定成立的是( d )aabcd b. caobcod daob，

11、cod都是等边三角形28如图，已知a，b，c，d是圆上的点，ac，bd交于点e，则下列结论正确的是( c )aabad bbecd cacbd dbead29圆的一条弦等于其半径，这条弦所对的圆心角是_60_度30(安徽合肥一六八中学一模)如图，已知ab是o的直径，papb，p60，则所对的圆心角等于_60_度31如图，在abo中，ab，o与oa交于点c，与ob交于点d，与ab交于点e，f.求证：.证明：如图，连接oe，of，则oeof，oefofe.ab，aoeoefa，bofofeb，aoebof，.知识点6 确定圆的条件32下列条件中，能确定唯一一个圆的是( c )a以点o为圆心的圆 b

12、以2 cm长为半径的圆c以点o为圆心，5 cm长为半径的圆 d经过已知点a的圆33.已知a，b，c为平面上三点，ab2，bc3，ac5，则( c )a可以画一个圆，使a，b，c都在圆上 b可以画一个圆，使a，b都在圆上，c在圆内c可以画一个圆，使a，c都在圆上，b在圆内 d可以画一个圆，使b，c都在圆上，a在圆内34如图所示，点a，b，c在同一直线上，点m在ac外，经过图中的三个点作圆，可以作_3_个知识点7 三角形的外接圆35(浙江金华模拟)如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口a，b，c，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞(到三个洞口的距离相等)，这只花猫最好

13、蹲守在( d )aabc的三边高线的交点p处 babc的三条角平分线的交点p处cabc的三边中线的交点p处 dabc的三边垂直平分线的交点p处36如图，在55的正方形网格中，一条圆弧经过a，b，c三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( b )a点p b点q c点r d点m37下列说法正确的是( d )a三点确定一个圆 b圆有且只有一个内接三角形c三角形的外心到三角形三边的距离相等 d三角形有且只有一个外接圆38(广东广州越秀区二模)如图，在平面直角坐标系中，点a(0，3)，点b(4，3)，点c(0，1)，则abc外接圆的半径为_2_.39如图，在abc中，o是它的外心，bc24 cm，o到bc的距

14、离是5 cm，求abc的外接圆的半径解：如图，连接ob，过点o作odbc于点d，则od5 cm，bdbc12 cm.在rtobd中，ob13(cm)即abc的外接圆的半径为13 cm.知识点8 反证法40(教材p24，练习，t4改编)用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设( d )aa不垂直于c ba，b都不垂直于c cab da与b相交41用反证法证明“若o的半径为r，点p到圆心的距离d180，这与三角形的内角和等于180相矛盾，因此假设不成立，即a，b，c中至少有一个角不大于60.【易错盘点】1（不能准确理解弦、弧、半圆、直径的概念）下列命题中正确的有( b )直径是

15、圆中最长的弦；半圆是弦；过圆心的直线是直径；半圆是圆弧a1个 b2个 c3个 d4个2（忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”）下列说法中错误的有( c )过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；弦的垂线平分它所对的两条弧；过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧a1个 b2个 c3个 d4个3.（不能正确理解弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系）已知a，b，c，d是o上四点，且2，则弦ab与弦cd的关系是( c )aab2cd bab2cd cab2cd d不能确定【能力培优提升】1若o所在的平面内有一点p，它到o上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径

16、为( c )a2 b4 c2或4 d不能确定2(安徽安庆期末)在平面直角坐标系中，o的圆心为点(1，0)，半径为2，则下面各点在o上的是( c )a(2，0) b(0，2) c(0，) d(，0)3(山东泰安中考)如图，m的半径为2，圆心m的坐标为(3，4)，点p是m上的任意一点，papb，且pa，pb与x轴分别交于a，b两点若点a、点b关于原点o对称，则ab的最小值为( c )a3 b4 c6 d84(广西梧州中考)如图，在半径为的o中，弦ab与cd交于点e，deb75，ab6，ae1，则cd的长是( c )a2 b2 c2 d4 5(安徽合肥庐阳区二模)如图，ac是o的直径，弦bdac于点

17、e，连接bc，过点o作ofbc于点f.若bd12 cm，ae4 cm，则of的长度是( a )a. cm b2 cm c. cm d3 cm6(江苏扬州邗江月考)如图所示，小华从一个圆形场地的a点出发，沿着与半径oa夹角为的方向行走，走到场地边缘b后，再沿着与半径ob夹角为的方向折向行走按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于上，则的取值范围是( b )a3645 b4554 c5472 d72907(浙江舟山中考)用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( d )a点在圆内 b点在圆上 c点在圆心上 d点在圆上或圆内8(山东济宁汶上期末)如图，小明为检验m，n

18、，p，q四点是否共圆，用尺规分别作了mn，mq的垂直平分线交于点o，则m，n，p，q四点中，不一定在以o为圆心，om为半径的圆上的点是( c )a.点m b点n c点p d点q9 (重庆期中)如图，o是abc的外心，则123( c )a60 b75 c90 d10510(安徽马鞍山二中一模)在平面直角坐标系xoy中，p的圆心是(2，a)(a2)，半径为2.函数yx的图象截得p的弦ab的长为2，则a的值是_2_.11(湖北孝感中考)已知o的半径为10 cm，ab，cd是o的两条弦，abcd，ab16 cm，cd12 cm，则弦ab和cd之间的距离是_2或14_ cm.12.如图，d，e分别是o的

19、半径oa，ob上的点，cdoa于点d，ceob于点e，cdce，则与的关系是_相等_13(浙江杭州下城区二模)已知c是优弧ab的中点，若aoc4b，oc4，则ab_4_. 14(山东济宁期中)如图，在扇形oab中，aob110，将扇形oab沿过点b的直线折叠，点o恰好落在上的点d处，折痕交oa于点c，则的度数为_50_.15若ab4 cm，则过点a，b且半径为3 cm的圆有_2_个16已知点p，q，且pq4 cm.(1)画出下列图形：到点p的距离等于2 cm的所有点组成的图形；到点q的距离等于3 cm的所有点组成的图形(2)在所画图形中，到点p的距离等于2 cm，且到点q的距离等于3 cm的点

20、有几个？请在图中将它们表示出来解：(1)如图，到点p的距离等于2 cm的所有点组成的图形是p；到点q的距离等于3 cm的所有点组成的图形是q.(2)到点p的距离等于2 cm，且到点q的距离等于3 cm的点有2个，即图中的点c和点d.17如图所示，bd，ce是abc的高，求证：e，b，c，d四点在同一个圆上证明：如图，取bc的中点f，连接df，ef.bd，ce是abc的高，bcd和bce都是直角三角形，df，ef分别为rtbcd和rtbce斜边上的中线，dfbfcfef.e，b，c，d四点在以点f为圆心，bc为半径的圆上18如图，在rtabc中，acb90，acbc2，以bc为直径的半圆交ab于

21、点d，p是上的一个动点，连接ap，求ap的最小值解：如图，取bc的中点e，连接ae，交半圆于点p2，在上任意取点p1，连接ap1，ep1，则ap1ep1aeap2ep2，即ap2是ap的最小值ae，p2e1，ap21，ap的最小值为1.19如图，在半径为5的扇形aob中，aob90，点c是 上的一个动点(不与点a，b重合)，且odbc，oeac，垂足分别为d，e.(1)当bc6时，求线段od的长(2)在doe中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由解：(1)odbc，bdbc63.bdo90，ob5，bd3，od4，即线段od的长为4.(2)存在de保持不

22、变连接ab，如图aob90，oaob5，ab5.odbc，oeac，d和e分别是线段bc和ac的中点，deab，de保持不变20如图，aob90，c，d是的三等分点，ab分别交oc，od于点e，f，求证：aecd.证明：如图，连接ac.aob90，c，d是的三等分点，aoccod30，accd.又oaoc，ace75.aob90，oaob，oab45，aecaocoab75，aceaec，aeac，aecd.21如图，a，b是o上的两点，aob120，c是的中点(1)求证：ab平分oac；(2)延长oa至点p，使得oaap，连接pc，若o的半径r1，求pc的长解：(1)证明：如图，连接oc.a

23、ob120，c是的中点，aocboc60.oaoboc，oac和obc是等边三角形，oaacobbc，四边形aobc是菱形，ab平分oac.(2)由(1)可得oac是等边三角形，oaac.又oaap，apac，pacp.又oac60，apc30，poc是直角三角形，op2oc2，pc.22如图，在abc中(1)若a是钝角，作abc的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)若abc是直角三角形，两直角边长分别为6，8，求它的外接圆的半径解：(1)如图所示(2)两直角边长分别为6和8，斜边长为10.圆心在斜边中点处，这个直角三角形的外接圆的半径为5.23(安徽中考)如图，o为锐角三角形abc

24、的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出bac的平分线，并标出它与劣弧bc的交点e(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点e到弦bc的距离为3，求弦ce的长解：(1)如图，ae即为所求(2)ce.24某城市广场有一块圆形场地，市政府拟在此区域内修建一个菱形花坛(如图)花坛中心a与圆形场地的圆心重合，a到菱形的顶点b的距离为6 m，b到圆周上c点的距离为4 m，点a，b，c在同一条直线上，四边形defg为矩形，且菱形的四个顶点分别位于它四条边的中点上，则花坛的边长是多少米？解：如图，连接af.由题意知a的半径acabbc6410(m)由菱形的性质得acam于点a.四边形defg为矩形，四边形amfb为矩形又矩形的对角线相等，bmafac10 m，即花坛的边长是10 m.24某地有一座圆弧形拱桥，如图所示，桥下水面宽度ab为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，顶部为长方形并且高出水面2 m的货船要经过这里问此货船能顺利通过拱桥吗？解：如图所示，设所在圆的圆心为点o，作odab，垂足为点d，od的延长线交mn于点h，交于点c.连接oa，on.由题意知dc2.4 m设oar m，则odoccd(r2.4)m，adab