202X版高中全程复习方略配套课件：7.7空间向量及其运算（数学理·福建专用）

1、第七节 空间向量及其运算,三年10考 高考指数: 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直,1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角问题的基础. 2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及分析问题、解决问题的能力,1.空间向量的概念,模为_的向量,长度（模）为_的向量,方向_且模_的向量,方向_且模_的向量,表示空间向量的有向线段所 在的直线

2、互相_的向量,平行于同一个_的向量,的相反向量为,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,方向,大小,空间中既有_又有_的量,2.空间向量的加、减、数乘运算 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广. 如图，设a,b是空间任意两向量， 若 POC， 加法： =_， 减法： =_, 数乘： =_(R,a+b,a-b,a,空间向量加法、数乘运算满足的运算律 交换律：a+b=_， 结合律：(a+b)+c=_， (a)=_(R,R)， 分配律：(a+b)=_(R,b+a,a+(b+c,a,a+b,即时应用】 判断下列命题的正误(请在括号内填“”或“”). (1)空间任意五边形ABCDE

3、，则 ( ) (2)若ab，则a所在直线与b所在直线平行 ( ) (3)空间任意两非零向量a、b共面 ( ) (4)空间向量a平行于平面，则a所在直线平行于平面 (,解析】由向量加法知(1)正确；当ab时，a与b所在直线平 行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意 两非零向量都可平移到同一起点，故空间任意两非零向量共 面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面内，故(4)是 错误的. 答案:(1) (2) (3) (4,3.空间向量的数量积 两个空间向量a,b,从空间任意一点O出发作 则=AOB就是_，a,b的数量积ab= _. 特别地，a2=aa=|a|2，|a|= ； a

4、b=0ab,a，b所成的角,a|b|cos,空间向量的数量积满足如下运算律: (1)(a)b=_. (2)ab=_. (3)a(b+c)=_,ab,ba,ab+ac,即时应用】 (1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于 向量a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0吗？ 提示:不一定，因为当a0且b0时，若ab，也有ab=0,2)已知向量a与b的夹角为120，且a=b=4，那么 b(2a+b)等于_. 【解析】b(2a+b)=2ba+b2=244cos120+42=0. 答案:0,4.空间向量的分解与坐标 定理1 设 是空间中三个_的_向量,则 (1)空间中任意一

5、个向量 可以写成这三个向量的线性组合： =_. (2)上述表达式中的系数x,y,z由 唯一决定.即 如果 则_. 其中 组成空间的一组基，有序数组(x,y,z)称为 在这 组基下的坐标,两两垂直,单位,x=x，y=y,z=z,定理2 (空间向量基本定理)设 是空间中三个_ 的_向量，则 (1)空间中任意一个向量 可以写成这三个向量的线性组合： (2)上述表达式中的系数x,y,z由 唯一决定. 即：如果 则_,不共面,单位,x=x，y=y,z=z,即时应用】 (1)已知a=(2，-1,3)，b=(-1,4，-2)，c=(7,5，)，若a,b,c 三个向量共面，则实数=_. (2)已知a=(+1,

6、0,2),b=(6,2-1,2)，若ab，则 =_. (3)已知向量a,b,c是空间中三个两两垂直的单位向量，向量 a+b,a-b,c组成空间的一组基，若向量p在基向量a+b,a-b,c 下的坐标为( )，则向量p在基向量a,b,c下的坐标为_,解析】(1)由于a,b,c三个向量共面，所以存在实数m,n使得 c=ma+nb，即 解得,2)由ab得a=kb，从而得 解得 故= . (3)由条件得 故向量p在基向量a,b,c下的坐标为(1,2,3). 答案:(1) (2) (3)(1,2,3,5.点的坐标与向量坐标 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向 线段的_的坐标减去_的坐

7、标. (2)两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离 dAB=_. (3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的_,终点,起点,平均值,6.空间向量运算的坐标公式 (1)向量的加减法 (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=_； (x1,y1,z1)-(x2,y2,z2)=_. (2)向量与实数的乘法 a(x,y,z)=_,x1+x2,y1+y2,z1+z2,x1-x2,y1-y2,z1-z2,ax,ay,az,3)向量的数量积 (x1,y1,z1)(x2,y2,z2)=_. (4)求向量 的模的公式 (5)求向量(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)所成的角的公式 co

8、s=,x1x2+y1y2+z1z2,即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 与 的夹角的大小是_. (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则b-a的最小值为 _,解析】(1)由题意知 =(-2,-1,3)， =(-1,3,-2)，故 所以 (2) 由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)， 当t= 时,b-a取得最小值为 答案:(1) (2,空间向量的线性运算 【方法点睛】 空间向量线性运算的方法,空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同,提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向

9、量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点.进行向量减法时，必须使两向量共起点,例1】(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点. 化简 _,用 表示 ，则 =_. (2)如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面ABCD是平行四边形，E、F、G 分别是A1D1、D1D、D1C1的中点. 试用向量 表示 ； 用向量方法证明平面EFG平面AB1C,解题指南】(1)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合 向量的线性运算. (2)结合四棱柱的特征及向量的线性运算用 表示 利用向量共线可得线线平行，继而可证面面平行,规范解答】(1) 方法一： 方法二： 答案:(1

10、,2)设 由题干图得 即 由题干图得： 与 无公共点. EGAC，EG平面AB1C,又 与 无公共点, FGAB1，FG平面AB1C, 又FGEG=G, 平面EFG平面AB1C,互动探究】本例中(1)的条件不变,结论改为：设E是棱DD1上 的点，且 ，若 ，试求x,y,z的值. 【解析,反思感悟】1.用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来. 2.应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较,变式备选】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ,M,N

11、,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用 a,b,c表示下列各向量： (1) ； (2) ； (3),解析,空间向量的坐标运算 【方法点睛】 1.求向量的数量积的方法 (1)设向量a,b的夹角为，则ab=|a|b|cos； (2)若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则ab=x1x2+y1y2+z1z2.根据 已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算. 2.求向量模的方法 (1) ； (2)若a=(x,y,z),则,例2】已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3，-1，4)， B(-2，-2，2). (1)求|2a+b|. (2)在直线AB上，是否存

12、在一点E，使得 b(O为原点)? 【解题指南】(1)若m=(x,y,z), 则|m|= ； (2)假设存在，点E在直线AB上，可由 设出点E的 坐标，由 b=0列方程求解,规范解答】(1)a=(1,-3,2),b=(-2,1,1)， 2a+b=(0,-5,5)， |2a+b|= (2)假设存在点E，其坐标为E(x,y,z), 则 即(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2), ,E(-3,-1,-2+4,=(-3,-1,-2+4)， 又b=(-2,1,1), b， b=-2(-3)+(-1)+(-2+4) =-5+9=0， ，E( )， 在直线AB上存在点E，使 b,反思感悟】1.解答本题

13、(1)需要利用向量的模的公式.当 a=(x,y,z)时，|a|= . 2.当两个向量垂直时，其数量积为零. 即若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2), 则ab=x1x2+y1y2+z1z2=0,变式训练】已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)， C(1，-1，5). (1)求以 为边的平行四边形的面积； (2)若|a|= ，且a分别与 垂直，求向量a的坐标,解析】(1)由题意可得： =(-2，-1，3)， =(1，-3，2)， 设 与 的夹角为, 则 以 为边的平行四边形的面积,2)设a=(x，y，z)，由题意得 解得 或 向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-

14、1,空间向量的数量积及其应用 【方法点睛】 数量积的应用 (1)求夹角.设向量a,b所成的角为，则cos= 进而可求两异面直线所成的角； (2)求长度(距离).运用公式a2=aa，可使线段长度的计算 问题转化为向量数量积的计算问题； (3)解决垂直问题.利用ab ab=0(a0,b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题,提醒】用ab=|a|b|cos求向量的数量积时，关键是确定向量的长度及夹角,例3】(1)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b 互相垂直，则k=_. (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90，把ADC沿对角线AC

15、折起，使AB与CD成60角，求BD的长,解题指南】(1)利用两向量数量积等于零，列出方程求解即 可； (2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系 和数量关系，然后用 表示 ，根据 求解. 【规范解答】(1)由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2，-2). 所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=0，解得 答案,2)AB与CD成60角， 与 的夹角为60或120， 又AB=AC=CD=1，ACCD，ACAB， | |=2或 . BD的长为2或,互动探究】本例(2)中若折起后BD的长为2，求此时AD与BC所 成的角的余弦值. 【解析】由已

16、知 与 的夹角为135， 在BDC中，由余弦定理得,AD与BC所成的角的余弦值为,反思感悟】1.向量数量积为解决立体几何中的夹角、长度、垂直等问题提供了一种工具，使几何问题转化为数的计算问题. 2.解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题，同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系,变式备选】如图所示，已知空间四边 形ABCD的每条边和对角线长都等于1， 点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点， 计算： (1) ； (2)EG的长； (3)异面直线EG与AC所成角的大小,解析】设 则a=b=c=1， a,b=b,c=c,a=60,即EG的长为,3)由(2)知， 故异面直线EG与A

17、C所成的角为45,满分指导】空间向量解答题的规范解答 【典例】(13分)(2012长沙模拟)已知空间中三点A(-2，0， 2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4),设 (1)若c=3,且c ,求向量c的坐标； (2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，求m,n应满足的关系式,解题指南】(1)求 的坐标，由c= 得c的坐标，根据 c=3求得,可得所求.(2)根据条件得到m(a+b)+n(a-b)和 2a-b的坐标，根据垂直的充要条件可求得m,n满足的条件,规范解答】(1)由条件得a= =(1，1，0)， b= =(-1，0，2)，2分 (-2,-1,2). 3分 c , c= =(-

18、2,-1,2)=(-2,-,2). 4分 c= =1或=-1. 6分 c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). 7分,2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2), 2a-b=(3,2,-2). m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n). 8分 m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直， m(a+b)+n(a-b)(2a-b) =32n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0. m=6n. 12分 即当m=6n时，可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直. 13分,阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议,1.(2012上海模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱 AA1和BB1的中点，则sin的值为(,解析】选B.设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图