线性代数及概率论与数理统计-多套复习试题压缩打印版(含答案)

1、 1.已知正交矩阵P使得100010002TPAP?=?，则20061()TPAAAP?+= 2设A为n阶方阵，12,n?是A的n个特征根，则det( TA)= 3设A是nm矩阵，则方程组BAX=对于任意的m 维列向量B都有无数多个解的充分必要条件是： 4若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不为3，则t= 523151315227()5439583xDxxx=，则0)(=xD的全部根为： 1n阶行列式111110100?的值为（ ）A1? B，(1)n? C，(1)2(1)nn? D，(1)2(1)nn+? 2对矩阵nmA施行一次列变换相当于（ ）。 A左乘一个m阶

2、初等矩阵 B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵 D右乘一个n阶初等矩阵 3若A为mn 矩阵，()rArn=，|0,nMXAXXR=。则（ ）。 AM是m维向量空间B， M 是n维向量空间 C，M是m-r维向量空间 D，M是n-r维向量空间 4若n阶方阵A满足，2A =E，则以下命题哪一个成立（ ）。 A， ()rAn= B， ()2nrA= C， ()2nrA， D，()2nrA 5若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不不不不成立（ ）。 A矩阵-AT为正交矩阵 B矩阵-1A?为正交矩阵C矩阵A的行列式是实数D矩阵A的特征根是实数 1若A为3阶正交矩阵， 求det (E-2A)2计算

3、行列式abbbbabbbbabbbba。 3设020200,001AABAB?=?，求矩阵A-B。 4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)=的的秩。 5、 向量在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(?=下的坐标（4，2，-2），求在,+下的坐标。 四、（12分）求方程组123451234512345223273251036xxxxxxxxxxxxxxx+?+=?+=?+?+=? 的通解（用基础解系与特解表示）。 五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123123(,)4fxxxxxx=+ 六、设

4、0，12,r?是线性方程组AX=对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组AX=的一个解，求证对于任意的常数a，12,raaa+?线性无关。 一 填空题 （1） 2 -2 -5*220052.1n3.m=r(A)=r(A,B) n 4.t=-8 5.1,2,-3 二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D 三 解答题(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1 所以det (E-2A)= det （E-A） det （E+A） =0 （2）311(3)111000(3)(3)()000000abbbbbbbabbabbabbbabbabbbba

5、bbabbbabababababab=+=?+=+? (3)由AB=A-B，有AEABABEA1)(,)(?+=+， 111203312021()2100,330021002AE?+=? 1242003333020212402000333300111000022B?=?=? 4248003333020248420000333300111000022AB?=?=? （4）?=?021100110101012142110011210121214321而021120011101020011101121?= 故秩为3。 （5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），则有： 422xzxyyz+=+=

6、+=? 解得： 202xyz=?所求的的坐标为()2,0,2? 四 解： ?=0000001012102112114048404048402112116131051237213211221A原方程组同解下面的方程组： 122243254321=?=+?+xxxxxxxx 即432543212122xxxxxxxx+=?+=+令0543=xxx,求解得：（1，1，0，0，0）=。 齐次方程组基础解系为：332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(aaa+?=?=通解为 五解：123123(,)0202000012020(1)(2)(2)011,2,2

7、fxxxAAEA=?=?=?=?+?=? 当11=时，由()03211=?xxxAE，求得基础解系：001? 当12=时，由()03212=?xxxAE，求得基础解系：110? 当32=?时，由()03213=?xxxAE，求得基础解系：110? 单位化：11220110,22100?令1102211022100U?=?，则100020002UAU?=?若,UY=则22212322Ayyy=+?。 六，证明证：设11()()0rraaaab+?+=， 则111()0rrraaaaaab+?+?+=， 于是：111()0rrrAaaaaaab+?+?+=即：1()0raaaabA+?+= 但0=

8、A，故 1()raaaab+?+=0。从而 rraa+?+11=0。 但r，?1线形无关，因此raa,1?全为0，于是b=0,由此知：1,raa+?+线形无关。 （1） 设A是nm矩阵，B 是m 维列向量，则方程组BAX=无解的充分必要条件是： （2） 已知可逆矩阵P使得1cossinsincosPAP?=?，则12007PAP?= （3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A为2n阶正交矩阵，*A为A的伴随矩阵， 则*A= （5） 设A为n阶方阵，12,n?是A的n个特征根，则1niiEA=? = （6） 将矩阵nmA的第i列乘C加到第j

9、列相当于对A： A乘一个m阶初等矩阵B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵D，右乘一个n阶初等矩阵 （2）若A为mn 矩阵，B 是m 维 非零列向量，()min,rArmn=。集合:,nMXAXBXR= AM 是m维向量空间B M是n-r维向量空间CM是m-r维向量空间D A，B，C都不对 （3）若n阶方阵A，B满足，22AB= ，则以下命题哪一个成立 A， AB= B， ()()rArB= C， detdetAB=， D， ()()rABrABn+? （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立： A矩阵1A?为正交矩阵B矩阵 -1A?为正交矩阵C矩阵*A为正交矩阵D，矩阵 -*A

10、为正交矩阵 （5）4n阶行列式111110100?的值为：A，1， B，-1 C， n D，-n 1求向量513?=?，在基1231110,1,1101?=?下的坐标。 2设1020200,001AABAB?=?，求矩阵1B?-A 3计算行列式1335199251272712518181625? 4.计算矩阵1340926631039693394120A?=?列向量组生成的空间的一个基。 5. 设120201012.nnnabbbbabbAbbabbbba?=? 计算det A 二、 证明题 设12,r?是齐次线性方程组0AX=的一个基础解系， 不是线性方程组0AX=的一个解，求证,21+r?

11、线性无关。 五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,)42fxxxxxxxxx=+? 六、（8分）a 取何值时，方程组1231231232325106xxxaxxxaxxx+?=?+=?+?=? 有无数多个解？并求通解 七、（4分）设矩阵A，B，A+B都是可逆矩阵，证明矩阵11AB?+也是可逆矩阵。 1.rankArank(A|B)或者rankArank(A|B)2.cos2007sin2007sin2007cos2007?3.t=42143i 4.1 5.0 二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A 三 解答题(1

12、) 设向量在基123,下的坐标为123(,)Txxx，则 112323(,)xxx?=? ?=+?=+=+3153132321xxxxxxx?=326321xxx （2）?=?=+=+=+=+?=?100042024200012021100002020)()()(111111EAABBEAABAEAABEABAAB则 (3) 138240238119480238101901115)96(31042395111063224262084780120242402012605331?=?=?=?=? （4）1351340913409002380023800692400005008122700000()

13、3(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)TTTArankA?=?=?=?一个基 （5）0121210110220100000000000000000000()()1ninniinnniiababbbbabbbabbaababbaababbaababnaabiiiabbab=?=?=?=+?=?原式 四 证明： 1231122112212123,()(),()0(1)3()(),()040,()05rrrrrrrkkkkkkkkkAAkkkkAXkkkkkA+=?+=?=+=?反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，为方程的一个基础解故不12

14、3112212311221212300061070010rrrrrrrrAXAkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk=+=?+=?+=?是的解故所以由（）得（）又，线性无关 五、A=021210101?, |AE? |=221210(1)(5)0101?=?=?1211,2= P=121121042221422211445422214222122254222142221?+?+?+?+? （7分）21231(,)fxxxy=+1212+22y+1212?23y （8分） 六，证明 112112112()312400254002213115106151064006511211200063400

15、6532324006500063aaaABarrarraaaarrarraaa?=?+?+?方程组的增广矩阵232()24()2630620123244111128rankArankABaxxxaxxxcxc?=?=?=?+?=?=?=?=?=+?=?如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于1111111111111111,()2,()ABABABAEEBABBAABABABABABABABAB?+=+=+=+?+都是可逆矩阵有可逆也可逆-3也是可逆矩阵是可逆矩阵-4 （1） 设A是nm矩阵，B 是m 维列向量，则方程组BAX=有唯一解的充分必要条件是： （2） 已知可逆矩阵

16、P使得1cossinsincosPAP?=?，则120072007()PAAP?+= （3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩r不为3，则r= （4） 若A为2n+1阶正交矩阵，*A为A的伴随矩阵， 则*A= （5） 设A为n阶方阵，12,n?是A的n个特征根，则221niiEA=? = （1）将矩阵nmA的第i列乘c相当于对A： A左乘一个m阶初等矩阵B右乘一个m阶初等矩阵 C左乘一个n阶初等矩阵D右乘一个n阶初等矩阵 （2） 若A为mn 矩阵，()min,rArmn=。集合:0,mMXXAXR=则 A，M是m维向量空间 B M是n-r维向量空间 CM是m-r

17、维向量空间 D， A，B，C都不对 （3）若n阶方阵A，B满足，224AB= ，则以下命题哪一个成立 A， 2AB= B， ()()rArB= C， det2detAB=， D， 都不对 （4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立： A矩阵1A?为初等矩阵B矩阵 -1A?为初等矩阵 C矩阵*A为初等矩阵，D，矩阵 -*A为初等矩阵 （5）4n+2阶行列式111110100?的值为：A，1，B，-1 C， n D，-n 1求向量013?=?，在基1231110,1,1101?=?下的坐标。 2设1020200,2001AABAB?=+?，求矩阵1B?-A 3计算行列式113351199251

18、372712519181625? 4.计算矩阵134092663103969300233A?=?列向量组生成的空间的一个基。 5. 设120201012.nnnabbbbabbAbbabbbba?=? 计算det A 二、 证明题（10分）设12,r?是齐次线性方程组0AX=的一个基础解系， 不是线性方程组0AX=的一个解，求证12,r?线性无关。 五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22212311223(,)2fxxxxxxxx=+ 六、（8分）a 取何值时，方程组无解？ 1231231232325106xxxaxxxaxxx+?=?+=?+?=? 七、（4分）设

19、矩阵A，B，A+B都是可逆矩阵，证明矩阵11AB?+也是可逆矩阵。 二 填空题 每个四分 （1） rankA=rank(A|B)=n （2）2cos2007002cos2007?（3）r=2 （4） 1（5）0 二 选择题(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B 三 解答题(1) 设向量在基123,下的坐标为123(,)Txxx，则 112323(,)xxx?=? 1232313013xxxxxxx+=?+=?+=?123132xxx=?=?=? (2) 111111()()020120420()200210240001002002ABABAEBAAEABAAEBBAAE?=

20、?+=+=+=?=+=?则 (3) 138240238119480238101901115)96(31042395111063224262084780120242402012605331?=?=?=?=? （4）1351340913409002380023800692400005008122700000()3(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)TTTArankA?=?=?=?一个基 （5） 0121210110220100000000000000000000()()1ninniinnniiababbbbabbbabbaababbaababbaababnaabiiiabb

21、ab=?=?=?=+?=?原式 四 证明： 1231122112212,0(1)3(,)040,050006rrrrrrkkkkkkkkkAAkkkkAXkAAXAk+=?+=?=?=?反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，为方程的一个基础解故不是的解故所以 由11221122121231070010rrrrrrkkkkkkkkkkk+=?+=?（）得又，线性无关 五、A=1111001?, (2分) |AE? |=110110(1)(2)0001?=?=? 1,0,2= P=1102211022100? （7分）21231(,)fxxxy=+223y 112

22、112112()3124002540022131151061510640065112112000634006532324006500063aaaABarrarraaaarrarraaa?=?+?+?方程组的增广矩阵232()24()2630620123244111128rankArankABaxxxaxxxcxc?=?=?=?+?=?=?=?=?=+?=?如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于 七 1111111111111111,()2,()ABABABAEEBABBAABABABABABABABAB?+=+=+=+?+都是可逆矩阵有可逆也可逆-3也是可逆矩阵是可逆矩阵-4 1._,2)(2101210211的值为则的秩若矩阵aAraaA=?