2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式教案北师大版必修4

1、2.7.1点到直线的距离公式整体设计教学分析1. 按教材的安排，本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用，理解向量的工具性，明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看，向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致，活力四射，正逐渐成为高考的新宠但教材的处理是：点到直线的距离公式的向量证明作为一节，几何应用与物理应用放在一节 .这不利于学生的理解掌握，因此在本教案设计时稍作调整，把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上，另一节专门探究向量在物理中的应用.2. 本节的目的是让学生加深对向量的认识 ，更

2、好地体会向量这个工具的优越性 .向量在数学中有着广泛的应用，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为：形刮数|H数的运算|T鬣到形则向量方法的流程图可以简单地表述为：廻迪回戢|T冋讹的运算|T问绘和数到世这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点.3. 用向量方法解决解析几何中的问题，其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析

3、几何中的几何问题转化成向量运算，并且这种向量运算简单明快，令人耳目一新.有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组 ，求出方程组的解，从而解决问题.使用向量方法时，要注意向量 起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1. 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2. 通过点到直线的距离的向量证明方法，了解向量在解析几何中的应用.3. 通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性，

4、活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中 的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段重点难点教学重点：用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程 导入新课 思路1.（直接导入）向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.（情境导入）由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何、解析几何图形的许多性质，

5、如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用推进新课新知探究提出问题19 你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗？ 平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？ 你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？ 你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：教师引导学生画出直线，点如图2 所示，M（x o，y o）是直线外一定点，P

6、（x，y）是直线上任意一点，由直线l:ax+by+c=O，可以 取它的方向向量 v=（b，-a）. 一般地，称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量设 n=（a，b），因为 n v=（a，b） （b， -a）=ab-ab=0，所以n丄v，故称n为直线I的法向量，与n同向的单位向量为门0=丄=（.a ，）1 n 1.a2 b2a2 b2于是，点M（xo，y o）到直线I:ax+by+c=0的距离等于向量 PM在no方向上射影的长度d= | PM no | = | (x o-x，y o- y) (ab2ab2)*(xo 二x)y=y)l严_by=(ax_by)|、a2b2、 a2 b2又因为P

7、（x，y）为I上任意一点，所以c=-（ax+by）. 教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦 有些性质的得出比较简单 让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法证明：方法一：如图3.图3作 CEL AB 于 E,DF丄 AB 于 F,则 Rt AD磴 Rt BC

8、E. AD=BC,AF=BE由于aC=aE+cE=(ab+be)2+cE=a+2ab be+bE+cW=aB+2ab be+b6. bD=bF+dF=(ab-af)2+dF=aB-2AB af+aF+dF=aB-2AB af+aD=aB-2AB be+bC. AC+BD=2(AB +BC).方法二：如图4.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设 B(a,O),D(b,c), 则 C(a+b,c).2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |AC| =(a+b) +c =a +2 ab+b +c ,|BD| =(a-b) +(-c) =a -2 ab+b +c .2 2 2

9、2 2 2 2 |AC| +|BD| =2 a +2 (b +c )=2 (|AB|+|AD| ).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现，由于向量 能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性 .因为平行四边形对边平行且相等，考虑到向量关系 DB = AB - AD , AC= AB + AD ,教师可点拨学生设 A

10、B =a, AD =b,其他 线段对应向量用它们表示 ，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算| AC | 2与2 2 2 2AB| =|a| ,| AD | =|b| DB| .因此有了方法三.方法三：设 AB =a, AD =b,则 AC =a+b, DB =a- b,| AC | 2= AC aC =( a+b) ( a+b) =a a+a b+b a+b b=|a| +2a b+|b | . nnn同理 | DB | =| a| - 2 a b+| b| .观察两式的特点，我们发现,+得| AC |2+| DB|2=2 (| a|2+| b| )=2(| AB | 2+| A

11、D | 2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时地引导学生归纳用向量方法处 理平面几何问题的一般步骤由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、 线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译” 成几何关系，得到几何问题的结论这就是用向量

12、方法解决平面几何问题的“三步曲”，即(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系这个“三步曲”用流程图表示为 ：母到向量向量的运聲-向量和數列形讨论结果：能 能想出至少三种证明方法 略应用示例例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.活动:本例是直接应用点到直线的距离公式由学生自己完成解:由点到直线的距离公式，得d2 1 1 2一.5，所以点P(1,2)到直线l的距离为5.点评：通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路

13、变式训练(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a平移，使图像上点的坐标由(1，0)变为(2,2)， 则平移后的图像的解析式为()A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2”,八p2=1+h, rh =1,解析:由已知，得即2=0+k, k=2,J平移公式为x =x +1,y=y +2,x =x 1即 r x ，代入 y=f(x),得 y -2=f(x -1), y =y-2,即 y =f(x -1)+2.平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2.答案:C例2 如图5, UABCD中，点E、F分别是 AD DC边的中点,BE、

14、BF分别与AC交于R、T两点, 你能发现AR RT、TC之间的关系吗？图5活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中 AR RT TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形,测量AR RT、TC的长度,让学生发 现AR=RT=TC拖动平行四边形的顶点 ,动态观察,发现AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想 AR=RT=TC事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR RT TC之间的关系,只需分别判断AR RT TC与AC的关系即可.又因为AR RT、TC AC共线,所以只需判断 AR , AT与AC之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几

15、何问题的“三步曲”很容易地可得到结论第一步，建立平面几何与向量的联系 ，用向量表示问题中的几何元素 ，将平面几何 问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR=RT=TC.解：如图 5,设 AB =a, AD =b, AR=r,则 AC =a+b.由于AR与AC共线，所以我们设r=n( a+b),n R又因为 EB=AB - AE = (a- 1 b), ER与 EB 共线,2r-1所以我们设 ER =mEB =m(a- - b).2因为 AR = AE + ER,所以 r= b+m(a- b),2 2因此 n(a+b)= 1 b

16、+m(a- 1 b), 即(n-m) a+(n+ m 一1) b=0.2 2 2n - m = 0,由于向量a,b不共线，要使上式为0,必须 m_.n += 0.I. 2解得n=m=1.3所以AR=1 AC.同理，TC =丄AC.3 3p 1 于是 RT =1 AC.所以 AR=RT=TC.3因此在书写时可简点评：教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的化一些程序.指导学生在今后的训练中，不必列出三个步骤.变式训练如图6,AD、BE、。卩是厶ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点A图6证明：设BE、CF相交于点H,并设AB =b, AC=c, AH =h,则 BH =

17、h-b, CH =h-c, BC=c-b.因为BH丄AC, CH丄AB ,所以(h-b) c=0,( h-c) b=0,即(h-b) c=(h-c) b.化简，得 h ( c- b)=0.所以AH丄BC.所以AH与AD共线,即AD BE、CF相交于一点H.例3如图7,已知在等腰 ABC中,BB、CC是两腰上的中线，且BB丄CC ,求顶角 A的 余弦值.活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐

18、标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点 的坐标，然后让学生独立完成.解:建立如图7所示的平面直角坐标系，取A(O,a),C(c,O), 则B(-c,0),OA=(0,a), BA =(c,a), OC=(c,0), BC=(2c,0).因为 BB、CC 都是中线，所以 BB = 1( BC + BA)= 1 : (2c,0)+(c,a): =(-).2 2 2 2同理,CC =(- 3c a).2 22因为 BB 丄 CC ,所以-9J 空=o,a2=9c2.4 42 a2-c9c22 c42 ac29c2c2-5所以 cosA= AB *AC|AB|

19、AC|点评：比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题 1有所不同，但其本质是一致的，教学 中引导学生仔细体会这一点，比较两例的异同，找出其内在的联系，以达到融会贯通、灵活运 用之功效.变式训练(2004湖北高考)如图8,在Rt ABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：PQ与BC的夹角0取何值时，BP CQ的值最大？并求出这个最大值Q解：方法一,如图8./ AB 丄 AC, a AB AC =0.B / AP =- AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC,a BPCQ =( AP - AB ) ( AQ- AC)=AP AQ - AP AC- A

20、B AQ+AB AC22=-a - AP AC+AB AP =-a +AP ( AB - AC)1=-a + PQ BC =-a +a cos 0 .2故当cos 0 =1,即0 =0, PQ与BC的方向相同时，BP CQ最大，其最大值为0.方法二：如图9.图9以直角顶点 A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐 标系.设 |AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(c,0),C(0,b), 且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则 Q(-x,-y).a BP=(x-c,y), CQ =(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,

21、-2y).2 2+y )+cx-by.a BP CQ =(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x/ cos 0=PQ *BC ex - by2| PQ | BC |aa cx-by=a 2cos 0 .2 2a BP CQ =-a +a cos 0 .故当cos 0 =1,即0 =0, PQ与BC的方向相同时，BP CQ最大，其最大值为0.知能训练1. 如图10,已知AC为OO的一条直径，/ ABC是圆周角 求证：/ ABC=90 .C证明：如图10.设 AO=a, OB=b,则 AB =a+b, OC =a, BC=a-b,| a|=| b|.22因为 AB BC=(a+b) (a-b)=

22、| a| -| b| =0,所以AB丄BC.由此,得/ ABC=90 .点评：充分利用圆的特性，设出向量.2. D、E、F分别是 ABC的三条边 AB BC CA上的动点，且它们在初始时刻分别从 A B、C 出发，各以一定速度沿各边向 B、C A移动.当t=1时，分别到达B、C、A.求证:在OW t W1的任一时刻11, DEF的重心不变图11证明：如图11.建立如图所示的平面直角坐标系，设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻11 (0,1),因速度一定，其距离之比等于时间之比，有器二罟厂氏=壮=入，由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at 1,0),

23、(a+(m-a)t1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得 DEF的重心坐标为 .am n、 ( ,).33当t=0或t=1时， ABC的重心也为(-),33故对任一 11 0,1, DEF的重心不变.点评：主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系，只要证 ABC的重心和时刻11的厶DEF 的重心相同即可课堂小结1. 由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤，即“三步曲” 特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度2. 本节都学习了哪些数学方法 ：向量法，向量法与几何法

24、、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点作业课本习题2 7 A 组1,2.设计感想1. 本节设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段 ，引导学生展开观察、归纳、猜想、 论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰 点地激发学生的智慧火花2. 由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时，注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇，提高学生综合解决问题的能力.3. 平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言，学

25、生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力.备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推 理，可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用 .1. 简化向量运算例1如图12所示，0 A

26、BC的外心，H为垂心，求证：OH=OA+OB+OC.图12证明：如图12,作直径BD，连接DA，DC，有OB=-OD，且 DALAB，DCL BC，AHLBC，CHLAB，故CH/ DA，AH/ DC得四边形 AHCD是平行四边形从而AH = DC.又 DC= OC- OD=OC + OB，得 OH = 0A+ AH =OA+DC， 即 OH =OA+OB+OC.2. 证明线线平行例2 女口图13,在梯形 ABCD中，E,F 分别为腰 AB,CD的中点.求证：EF / BC,且 I EF |= 1 (| AD |+| BC |).2图13证明：连接 ED,EC,t AD/ BC,可设 AD =

27、入 BC （入0）,又 E,F 是中点， EA + EB =0,1且 EF =丄（ED + EC）.2而 ED+EC=EA + AD + EB + BC=AD + BC =（1+ 入）BC ,1r EF = - BC .EF与BC无公共点，2 EF/ BC.又入0,| EF |= 1 （| BC |+| 入 BC |）= 1 （| AD |+| BC |）.2 23. 证明线线垂直例3 如图14,在厶ABC中，由A与B分别向对边 BC与CA作垂线 AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证:CH丄AB.证明：由已知 AHLBC,BH丄AC,有 AH BC =0, BH AC =0.又 AH

28、 =AC+CH , BH =BC +CH ,故有（AC + CH） BC =0,且（BC+CH） AC=0,b- *b- h_两式相减，得 CH （ CB- CA）=0,即 CH AB =0, CH 丄 AB .4. 证明线共点或点共线例4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的图15解:已知： ABC的三边中点分别为 D,E,F（如图15）.求证:AE,BF,CD共点,且AGAEBGCG 2BFCD证明：设AE,BF相交于点G,AG=入iGE, 由定比分点的向量式有BG =牛十HJBA+Lbc,1 又F是AC的中点，BF =丄（BA +BC ）,2设 BG=入 2BF ,1

29、、三则1-人BA+1BC丄 A-2”BA + 丄 BC V1十人2，1 +人2(1 +為)22扎2(1f0 212测AGBG2九人=2,-,即-.1十打2（1+為）3AFBF3又 CG=CA2CE) (CA CB) =2CD ,1 -133 23 C,G,D共线,且二、备用习题AG BG CG 2AE - BF CD 31.有一边长为 1 的正方形 ABCD设 AB =a, BC=b, AC =c,则 |a-b+c|=2. 已知| a|=2,| b|=J2,a与b的夹角为45 ,则使 入b- a与a垂直的 入=3. 在等边 ABC 中，AB =a, BC=b, CA=c,且| a|=1,贝U

30、a b+b c+c a=.4.已知三个向量OA=（k,12）,OB=(4,5),OC=(10,k),且 A,B,C 三点共线，则 k=5. 如图16所示，已知矩形ABCD,AC是对角线,E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M,交BC 于点N,试运用向量知识证明 AM=CN.R c图166. 已知四边形ABCD满足| AB |2+| BC | 2=| AD | 2+| DC| 2,M为对角线 AC的中点.求证:| MB |=| MD |.7. 求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补参考答案：31.2 2.2 3-4.-2 或 112a b5. 证明：建立如图17所示的平面直角坐标系，设BC=a,BA=b,则C(a,O),A(O,b),E(-，