高中数学（人教版选修1-1）配套课件：第3章 导数及其应用3.3.2

1、3.3.2函数的极值与导数,第三章 3.3 导数在研究函数中的应用,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近 其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值. (2)极大值点与极大值

2、如(1)中图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 、 统称为极值点， 和 统称为极值,答案,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,极大值点,极小值点,极大值,极小值,思考极大值一定大于极小值吗？ 答案不一定,答案,知识点二求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时： (1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 . (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)

3、是,极大值,极小值,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一求函数的极值,反思与感悟,解函数的定义域为R,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,由上表可以看出： 当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3； 当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1,令f(x)0，得x1，或x1,反思与感悟,反思与感悟,求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；

4、如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值,解析答案,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表,因此当x1时，f(x)有极小值f(1)3,解析答案,题型二利用函数极值确定参数的值 例2 已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1. (1)求常数a，b，c的值； 解f(x)3ax22bxc. x1是函数f(x)的极值点， x1是方程f(x)3ax22bxc0的两根,又f(1)1，abc1.,解析答案,2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值,当x1时，f(x)0

5、， 当1x1时，f(x)0， 函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数， 在(1,1)上是减函数， 当x1时，函数取得极大值f(1)1， 当x1时，函数取得极小值f(1)1,反思与感悟,反思与感悟,1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性,解析答案,跟踪训练2已知函数f(x)ax3bx2cx在xx0处取得极大值5， 其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值； 解由图象可知，在(，1)上f(

6、x)0， 在(1,2)上f(x)0， 在(2，)上f(x)0. 故f(x)在(，1)，(2，)上单调递增， 在(1,2)上单调递减， 因此f(x)在x1处取得极大值，所以x01,解析答案,2)a，b，c的值. 解f(x)3ax22bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1)5,解得a2，b9，c12,解析答案,题型三函数极值的综合应用 例3设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解f(x)3x26，令f(x)0,解析答案,2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. 解由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示,直线ya与y

7、f(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)a有三个不同的实根,反思与感悟,反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数,解析答案,跟踪训练3设a为实数，函数f(x)x33xa. (1)求f(x)的极值； 解f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1. 因为当x(，1)时，f(x)0， 当x(1,1)时，f(x)0， 当x(1，)时，f(x)0， 所以f(x)的极小值为f(1)a2，极大值为f(1)a2,解析答案,2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实

8、数a的值；若不存在，请说明理由,解因为f(x)在(，1)内单调递减， 且当x时，f(x)，f(x)在(1，)内单调递减， 且当x时，f(x)， 而a2a2， 即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于0时，极小值小于0， 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点， 即方程f(x)0恰好有两个实数根， 所以a20，a2，如图1所示,解析答案,当极小值等于0时，极大值大于0， 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点， 即方程f(x)0恰好有两个实数根， 所以a20，a2，如图2所示. 综上所述，当a2或a2时， 方程f(x)0恰有两个实数根,思想方法,等价转化思想的应用,解析答案,返回,解析答案,分析(1

9、)对原函数求导，将导函数问题转化为由二次函数的根的分布探求开口方向的问题，从而证得a0； (2)利用x1，x2为导函数的两个根，将0 x11x22等价转化为不等式组，利用线性规划求a2b的最大值与最小值. (1)证明由函数f(x)在xx1处取得极大值， 在xx2处取得极小值，知x1，x2是f(x)0的两个根. 由题意，得f(x)ax22bx2b， 所以f(x)a(xx1)(xx2). 由题意，知在xx1的左侧有f(x)0. 由xx10，xx20，得a0,此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线2b0， a3b20,4a5b20所围成的ABC的内部，如图所示,返回,当堂检测,1,2,3,4,5

10、,解析答案,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)() A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析f(x)的符号由正变负， 则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正， 则f(x0)是极小值， 由图象易知有两个极大值点，两个极小值点,C,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为(,1,2,3,4,5,解析f(x)3x22pxq，根据题意，知x1是函数的一个极值点,所以f(x)3x24x1,

11、当x1时，f(x)有极小值为0，故选A. 答案A,1,2,3,4,5,3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A.12 D.a6 解析f(x)3x22ax(a6)， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 那么(2a)243(a6)0， 解得a6或a3,D,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2， 且x1x21，则实数a的值为_. 解析f(x)18x26(a2)x2a,所以a9,9,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20， 此时f(x)没有极值； 若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)， 当3x1时，f(