高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 精讲优练课型

1、第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及 其初步应用,自主预习】 1.回归分析 (1)概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法. (2)步骤：画_求_用回归方程进行 _,散点图,回归方程,预报,2.线性回归模型 (1)在线性回归方程 = + x中， =_ =_， =_，其中 =_， =_， ( ， )称为变量_，回归 直线过样本点的中心,样本点的中心,2)线性回归模型y=bx+a+e，其中e称为_， 自变量x称为_变量，因变量y称为_变量,随机误差,解释,预报,3.刻画回归效果的方式,残差,样本,编号,身高数据,体重估计值,越窄,越小,解释,预报,即时小测】 1.

2、对于两个变量x，y，若当x取一定值时，y的取值 具有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系 叫做() A.函数关系B.线性相关 C.相关关系D.回归分析 【解析】选C.根据相关关系的定义知选C,2.散点图在回归分析过程中的作用是() A.统计个体个数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关 【解析】选D.根据散点图的意义及作用知选D,3.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A.模型1的相关指数R2=0.98 B.模型2的相关指数R2=0.80 C.模型3的相关指数R2=0.50 D

3、.模型4的相关指数R2=0.25,解析】选A.因为回归模型的相关指数R2的值越大，拟合效果越好,4.已知回归方程 =2x+1，而试验得到一组数据是(2， 4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和等于 _. 【解析】(4.9-5)2+(7.1-7)2+(9.1-9)2=0.03. 答案：0.03,知识探究】 探究点1线性回归分析 1.相关关系是确定性关系吗？ 提示：相关关系是一种不确定性的关系,2.具有线性相关关系的两个变量，其散点图具有什么特征？ 提示：散点图中的点大部分分布在一个带形区域内.即分布在某条直线的附近,归纳总结】 对回归分析的三点说明 (1)回归分析的前提是两个变量

4、之间具有相关关系. (2)对两个变量之间数量变化进行一般关系的测定，确定一个相应的数学表达式，即线性回归方程，达到由一个已知量推测或控制另一个变量的值的目标，是统计的一个重要方法,3)线性回归方程是根据样本数据得到的一个确定性的函数关系，是用来对未知变量进行预测的，为了预测的效果更好，减小误差，应在求线性回归方程时尽量多地选取样本，选择代表性较强的样本，使得预测值尽量地接近真实值,特别提醒：在对两个变量进行线性回归分析时，要首先结合观察数据画出散点图，确定它们之间具有线性相关关系后，再进行线性回归分析,探究点2非线性回归分析 1.如何评价回归模型拟合效果的优劣？ 提示：计算相关指数R2的值.R

5、2越接近于1效果就越好. 2.对于非线性回归模型，如何处理？ 提示：对于非线性回归模型可转化为线性回归模型来研究,归纳总结】 1.数据拟合效果的比较 对于给定的样本点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，两个含有未知参数的模型,1) 和 (2) 其中a和b都是未知参数，可以 按如下的步骤来比较它们的拟合效果,分别建立对应于两个模型的回归方程 =f(x， ) 与 =g(x， )，其中 和 分别是参数a和b的估计值. 分别计算模型(1)和模型(2)的R12，R22. 若R12R22，则模型(1)的拟合效果比模型(2)好；若 R12R22，则模型(1)的拟合效果不如模型(2,2.常见的几种

6、变形形式 (1)幂函数曲线y=axb. 两边取对数变形为lny=lna+blnx，令y=lny. x=lnx，a=lna，从而得到y=a+bx,2)指数函数曲线y=aeb x. 两边取对数变形为lny=lna+bx，令y=lny，a=lna，从而得到y=a+bx,3)负指数函数曲线y= 两边取对数变形为lny=lna+ ，令y=lny， x= ，a=lna，得y=a+bx. (4)对数函数曲线y=a+blnx. 令x=lnx，得y=a+bx,类型一线性回归模型 【典例】1.(2016东营高二检测)有下列说法：线 性回归分析就是由样本点去寻找一条直线方程，刻画 这些样本点之间的关系的数学方法；利

7、用样本点的 散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性,相关表示；通过线性回归方程 及其回归系 数 ，可以估计和预报变量的取值和变化趋势；因 为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程， 所以没有必要进行相关性检验.其中正确说法的个数 是() A.1B.2C.3D.4,2.(2014湖北高考)根据如下样本数据 得到的回归方程为 ，则(,3.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)画出散点图. (2)求y关于x的回归方程,解题探究】1.典例1中，给定两个变量的一组样本点数据，都能进行线性回归分析吗？ 提示：不是，只有当它们具有线性相关关系

8、时，才能进行线性回归分析，否则没有意义,2.典例2中，回归直线方程中， ， 的几何意义是什 么？ 提示： 是回归直线的斜率. 是回归直线在y轴上的 截距,3.典例3中，画散点图的目的是什么？如何求关于x的回归直线方程？ 提示：画散点图的目的是分析变量x，y之间是否存在线性相关关系；利用最小二乘法求y关于x的回归直线方程,解析】1.选C.反映的是最小二乘法思想，是正确 的；反映的是散点图的作用，是正确的；反映的 是求线性回归方程 的目的，也是正确的； 不正确，在求回归方程之前，必须进行相关性检验， 以体现变量的相关关系.故有3个正确说法,2.选A.由散点图及 ， 的意义知A正确. 3.(1)散点

9、图如图所示,2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算,于是可得 =50-6.55=17.5. 于是所求的回归方程是 =6.5x+17.5,方法技巧】 1.求线性回归方程的三个步骤 (1)算：根据数据计算 (2)代：代入公式求 ， 的具体数值. (3)求：由上面的计算结果求方程,2.求线性回归方程的关键点 相关性的验证：求线性回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关关系，或者它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的,特别提醒：回归直线一定过样本点的中心( ， )， 这在很多问题的求解中起着很重要的作用,变式训练】已知一个回归直线方程 =1.5x+45

10、， xi1，5，7，13，19，则 =() A.53.5B.55.5C.58.5D.60.5,解析】选C.因为回归直线过样本点的中心( )， 又 所以 =1.5 +45=1.59+45=58.5,类型二线性回归分析 【典例】为研究质量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示,1)作出散点图，并求线性回归方程. (2)求出R2. (3)进行残差分析. 【解题探究】本例中如何进行残差分析？ 提示：通过残差表或残差图进行残差分析,解析】(1)散点图如图所示,因为 (5+10+15+20+25+30)=17.5， (7.25+8.12+8.95+9.9

11、0+10.9+11.8) 9.487， =2275， =1076.2. 计算得 0.183， 6.285， 所以所求线性回归方程为 =6.285+0.183x,2)列表如下,所以 所以 所以回归模型的拟合效果较好,3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量成线性关系,延伸探究】1.在条件不变的情况下，画出残差图. 【解析】如图所示,2.当x=35时，估计y

12、的值. 【解析】当x=35时， =6.285+0.18335=12.69,方法技巧】残差分析的思路 (1)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否 可以用线性回归模型来拟合数据. (2)通过残差 来判断模型拟合的效果，判断 原始数据中是否存在可疑数据，这种分析工作称为残 差分析，可以借助残差图来进行观察,补偿训练】对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(,解析】选A.用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，拟合精度越高.故选A,类型三非线性回归分析 【典例】电容器充电

13、后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表,试求电压U对时间t的回归方程.(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题,解题探究】本例中如何对等式“U=Aebt”变形，使其符合线性回归分析？ 提示：对U=Aebt两边取对数得lnU=lnA+bt，令y=lnU，a=lnA，x=t，则y=a+bx，进而借助线性回归分析求解，最后回代便可,解析】对U=Aebt两边取对数得lnU=lnA+bt，令y=lnU，a=lnA，x=t，则y=a+bx，得y与x的数据如下表,根据表中数据作出散

14、点图，如图所示,从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由 表中数据求得 =5， 3.045，进而可以求得 -0.313， =4.61，所以y对x的线性回归方程为 y=4.61-0.313x. 由y=lnU，得U=ey，U=e4.61-0.313x，因此电压U对时间t 的回归方程为U=e4.61-0.313t,方法技巧】求非线性回归方程的步骤 (1)确定变量，作出散点图. (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数. (3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程,4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果. (5)根据相应的变换，写出非线性

15、回归方程,变式训练】若将函数y=axb转化为线性函数u=c+bv，则所作的变换是() A.u=lny，v=lna，c=lnx B.u=lnx，v=lny，c=lna C.u=lna，v=lnx，c=lny D.u=lny，v=lnx，c=lna,解析】选D.对y=axb两边取对数，得lny=lna+blnx. 令u=lny，v=lnx，c=lna，得u=c+bv,补偿训练】(2016南京高二检测)A地六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如表所示,由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有近似如下的关系：y=abxe0，其中a，b为正数，求y关于x的回归方程,解析】对y=abxe0两边

16、取自然对数得lny=lnae0+xlnb，令z=lny，则z与x的数据如表： 由z=lnae0+xlnb及最小二乘法公式得： lnb0.0477，lnae02.378， 即 =2.378+0.0477x，故 =10.81.05x,自我纠错求回归方程 【典例】在一化学反应过程中，某化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了如表所示的8组数据，试建立y与x的回归方程,失误案例,分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案. 提示：错误的根本原因是解题前没有审好题，原题求的是回归方程，并不是回归直线方程，因此应首先进行相关性检验，然后再求回归方程，不能盲目地求回归直线方程，正确解答过程如下,解析】根据收集的数据作散点图，如图所示,根据样本点的分布情况，可选用指数型函数模