7不可压缩理想流体的平面运动

1、1,7不可压缩理想流体的平面运动,基本内容： 掌握有旋运动与无旋运动 掌握势函数与流函数及其存在的条件 熟悉势函数和流函数的求法,2,平面运动是指整个流场中流体速度都平行于某一平面，且流体各物理量在与该平面垂直的方向上没有变化的流动。例如空气横向绕过塔设备、高楼等的流动,可视为垂直于柱体的平面流动。在工程实际中，常见的是不可压缩理想流体的平面运动。 研究不可压缩理想流体的平面流动，首先要建立运动微分方程，然后结合边界条件求解,3,7.1流体微团的运动分析 在流体流动时，流体微团除了平动和转动之外，还伴有变形运动。 在对流体微团进行变形运动分析时，不是看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。

2、分析流体微团运动的基本量： 线变形速度 剪变形速度 平均旋转角速度,4,一、线变形速度 首先看一维情况。t时刻，在x轴上取一微小流体线段AB=x,A点的速度为vx，按泰勒级数展开，B点的速度可表示为,5,经过t时间后，AB运动到AB，其长度的改变量为,6,则单位长度在单位时间内长度的改变量为,把x叫做线段AB在x轴的线变形速度,7,对于三维问题则有,下标x,y,z表示变形发生的方向,这就是不可压缩流体的连续方程,对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不发生改变，则有,8,二、剪变形角速度,9,经t时间后，流体微团发生变形，AB边转过的角度为，BC边转过的角度为。则,10,则定义剪变形角速度为,即

3、单位时间内直角改变量的一半,同理对三维空间可写出,剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半,11,三、平均旋转角速度,虚线是初始位置，经过t时间后，流体微团运动到ABCD。由几何关系,12,则单位时间内角平分线转过的角度为,对于三维问题同理可得出,13,矢量式为,14,7.2有旋运动和无旋运动 一般来说，粘性流体的流动是有旋的，而理想流体的流动可能是无旋的，也可能是有旋的。流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋转来确定的，而不是根据流体质点的运动轨迹是否弯曲来判定,根据旋度的概念,15,速度场的旋度与平均旋转角速度相比较,所以平均旋转角速度不仅是分析流体微团在运动过程中旋转运

4、动的特征量，同时也是判断流体的运动是有旋运动还是无旋运动的标准,16,17,18,例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知流体速度分布为,其中c为常数，试判断流动有旋还是无旋,19,在极坐标系下的判断条件为,代入速度分布可得,故该流动是无旋的,20,7.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程 工程上有许多问题可简化为理想流体的 无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难,21,7.3.1速度势函数 对于无旋流动，速度的旋度为零，即,此时流体质点都要满足以下条件,22,由数学分析，上面的三个方程是,成为某一函数

5、的全微分的充分必要条件，该函数记为(x,y,z,t)。 当以t为参数时，该函数的全微分是,23,所以有,按矢量分析有,函数称为速度势函数，简称速度势。速度势的梯度就是流场中的速度,24,当流体作无旋流动时，不论其是否可压缩，总有速度势存在，所以无旋流动又称为有势流动。 对于不可压缩流体，有下式存在,称为拉普拉斯方程。2称为拉普拉斯算子,25,在平面极坐标中，速度和速度势之间的关系是,拉普拉斯方程为,26,速度势函数的意义： 在势流中，如果已知速度势函数，则 可根据速度与速度势之间的关系很容易地计 算出速度矢量分量，从而将求解速度场的问 题转化为求解速度势函数的问题,27,例题：已知一个平面不可

6、压缩定常有势流动的速度 势函数为,求在点(2.0 , 1.5)处速度的大小,28,29,练习：不可压缩流体平面流动的势函数,试确定： 1.该平面流动的速度场。 2.该流动有旋还是无旋？ 3.该流动是否满足连续性方程,vx=2x+1,vy=-2y,无旋,满足,30,7.3.2 流函数 在平面流动中，对不可压缩流体，由微分形式的连续性方程,得,31,该式是,成为某一函数(x, y)全微分的充要条件，即,因此有,32,33,关于流函数的物理意义,经A、B两点的实线为流场中的两条流线，虚线AB与流场中的所有的流线正交，现求通过虚线AB的流量,在虚线AB上取一微元弧段dl，显然，vxdy是经dl从区I进

7、入区II的流量， vydx是经dl从II区 进入I区的流量，那么经dl从I区进入II区的净流量为,34,对虚线积分可得到两条流线之间的总流量,流函数的物理意义是：平面流动中两条流线之间通过的流体流量，等于两条流线上流函数的差。而且，沿流线全长两流线之间的流量保持不变,35,与的关系： 由速度与速度势及流函数的关系可得,上式表明，等势线与流线相互正交,36,7.3.3流函数和势函数的求解方法 例：设平面流动的速度分布为,求: (1)是否满足连续性方程 (2)势函数 (3)流函数,37,解： (1,所以满足连续性方程,2,38,积分路径如图。所以,39,3)因为满足连续方程，所以存在流函数,积分路

8、径同上，则,40,练 习,试求下面不可压缩流场的流函数及速度势,其中k为常数,41,7.4 简单的平面势流及其叠加 一、直均流 所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平行地作等速直线运动。如图，流动方向为x轴。其速度分布为,42,因为,所以是无旋运动，存在速度势,在极坐标系中,43,将速度分布函数带入连续性方程，因为满足,所以存在流函数,在极坐标系中,44,二、源或汇 流体从平面一点均匀地向四周流出，一直流向无穷远处，这样的流动称为平面点源。流体流出的点称为源点，单位时间流出的体积流量称为源强，用qv表示。将坐标原点取在源点处，得极坐标系中速度分布,45,满足势函数和流函数的存在条件的证明：

9、 势函数存在的条件为无旋流动，在该平面流场中,所以存在势函数。 而流函数存在的条件为连续性方程只有两项的平面流,46,极坐标系下连续性方程为,该流场显然满足要求，因此存在流函数。 势函数为,47,流函数为,流函数的等值线是为常数的射线族,48,汇是流体从无穷远处均匀地流向一点,是源 ，是汇,49,三、简单平面势流的叠加 在势流理论中，经常通过解拉普拉斯方程或利用流场叠加的方法得到速度势，再利用速度势求速度和压强场，最后求得流体对物体的作用力。 用叠加法求速度势的基本点是要保证满足所求问题的内外边界条件。要满足内边界条件，就必须形成一条流线与物体表面完全重合。这条流线的作用与物体表面完全相同。下面举例说明叠加法的基本思想,50,例1：如图为理想流体在宽为H的渠道中流动，求流场的速度势,显然这是直均流，在该流场中，相距为H的两条流线的作用与渠道两壁的作用完全相同，因此所求的速度势就是直均流的速度势。即,51,例2：一个直均流绕一个卵形柱体流动，求流场的速度势,52,在这个流场中，物体对直均流的影响是一个近场效应，即在物面附近对直均流影响较大，在无穷远处仍然是直均