高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.2.1.1 综合法 精讲优练课型

1、2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法 第1课时综合法,自主预习】 综合法 (1)定义:利用_和某些数学_、_、 _等,经过一系列的_,最后推导出所要证 明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,已知条件,定义,定理,公理,推理论证,2)框图表示:用P表示已知条件、已有的定义、定理、 公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示 为,即时小测】 1.以下命题中,正确的是() A.综合法是执果索因的逆推法 B.综合法是由因导果的顺推法 C.综合法是因果互推的两头凑法 D.综合法就是举反例,解析】选B.综合法就是从已知条件(因)出发,利用已有知识进行证明结论(果)的方法,2.已知a,

2、b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,且a2+b2-c2=ab,则角C的值为(,解析】选A.由余弦定理知,3.已知等差数列an,Sn表示前n项和,a3+a90,S90. S9= =9a50. 所以S5最小. 答案:S5,知识探究】 探究点综合法 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理? 提示:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推理,2.综合法的推证一定正确吗? 提示:不一定,综合法的推理过程是演绎推理,只有在大前提、小前提和推理形式都正确时,推证才一定正确,归纳总结】 1.综合法的特点 综合法的特点是从“已知”看“未知”,逐步推理,实际上是寻找使结论成立的必要条件

3、,2.综合法的书写格式 从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“因为,所以”或“,易错警示:综合法是“由因导果”的推理过程,即从已知到未知的推理过程.由因导果的过程中“因”必须是充分的,否则会出现错误的“果,类型一用综合法证明不等式 【典例】1.若ab0,则下列不等式中,总成立的是 (,2.在不等式“a2+b22ab”的证明中:因为a2+b2-2ab =(a-b)20.所以a2+b22ab.该证明用的方法是 _. 3.(2016沈阳高二检测)已知a,b,cR,且a+b+c=1. 求证:a2+b2+c2,解

4、题探究】1.典例1中,不等式正确与否的判断依据是什么? 提示:不等式的性质. 2.典例2中,证明过程从什么出发的? 提示:从已知的不等式出发的. 3.典例3中,怎么利用a+b+c=1这一条件? 提示:将a+b+c=1两边平方,然后利用重要不等式即可,解析】1.选A.因为ab0,所以 0, 所以a+ b+ . 2.由题设知:本题中证明是从已知的不等式(a+b)20 出发,经过推理得出结论,是综合法. 答案:综合法,3.因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca 于是(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+ (a2+b2)+(b2+c2)+(c2+

5、a2)=3(a2+b2+c2) 所以a2+b2+c2 (a+b+c)2= . 当且仅当a=b=c时取等号,原式得证,方法技巧】综合法证明不等式的主要依据 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式,其中常用的有以下几个: a20(aR); (a-b)20(a,bR),其变形有a2+b22ab, ab,a2+b2,若a,b(0,+),则 ,特别地, 2; a2+b2+c2ab+bc+ac(a,b,cR),由不等式a2+b2 2ab,a2+c22ac,b2+c22bc,易得a2+b2+c2ab+bc+ ac,此结论是一个重要的不等式,在不等式的证明中的 使用频率很高,a+b+

6、c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),体现了a+b+c, a2+b2+c2与ab+bc+ac这三个式子之间的关系. 易错警示:应用上述不等式来证明问题时,首先弄清式中字母的取值范围.如中a,b(0,+),以免用错,变式训练】(2016武汉高二检测)已知a,b,c为不全等的正实数. 求证:,证明】因为 又a,b,c为不全等的正实数. 而 且上述三式等号不能同时成立. 所以 6-3=3,即,类型二用综合法证明三角等式 【典例】1.在ABC中,三边a,b,c成等比数列,求证: acos2 +ccos2 b. 2.证明:sin(2+)=sin+2sincos(,解题探究】1.典例1中,在三

7、角形中,条件“acos2 +ccos2 ”如何转化? 提示:先借助降幂公式把cos2 ,cos2 化为cosC,cosA, 再借助余弦定理实现角转换为边,2.典例2中等式两边的角有何特点？ 提示：等式左边是2+，等式右边是(+)和,证明】1.因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 当且仅当a=c时取等号,所以acos2 +ccos2 b,2.因为sin(2+)-2sincos(+) =sin(+)+-2sincos(+) =sin(+)cos+cos(+)sin-2sincos(+) =sin(+)cos-cos(+)sin =sin(+)-=sin.所以原命题成立,延伸探究】 1.在典例

8、2中令=,求证:sin3=3sin-4sin3. 【证明】左边=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos2+(1-2sin2)sin =2sin(1-sin2)+sin-2sin3 =2sin-2sin3+sin-2sin3=3sin-4sin3=右边. 所以sin3=3sin-4sin3,2.试证明:cos3=4cos3-3cos. 【证明】左边=cos(2+)=cos2cos-sin2sin =(2cos2-1)cos-2sin2cos =2cos3-cos-2cos(1-cos2)=4cos3-3cos =右边. 所以cos3=4cos3-3cos,方法技巧】证明

9、三角等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,补偿训练】(2016东营高二检测)在锐角三角形ABC 中,已知3b=-2 asinB,且cosB=cosC,求证:ABC是正 三角形. 【证明】因为ABC为锐角三角形, 所以A,B,C . 由正弦定理及条件可得3sinB=2 sinAsinB,因为sinB0,所以sinA= ,所以A= . 又cosB=cosC且B,C ,所以B=C. 又B+C= ,所以B=C= . 所以ABC是正三角形,类型三用综合

10、法解决函数、数列问题 【典例】1.(2016温州高二检测)已知方程(x2-mx+2) (x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列, 则|m-n|=_. 2.(2015山东高考)定义运算“”:xy= (x,y R且xy0),当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为_,3.对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足以下条件: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)=1,若x10,x20,x1+x21都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数. 试判断g(x)=2x-1(x0,1)是否为理想函数,如果是,请予证明;如果不是,请说明理由,解题探

11、究】1.典例1中方程的四个根具有什么特点? 提示:四根成等比数列,等比数列的首项为 ,满 足根与系数的关系. 2.典例2解题的关键是什么? 提示:根据新定义运算,写出解析式,3.判断g(x)=2x-1(x0,1)是否为理想函数需要检验什么条件? 提示:对任意的x0,1,总有g(x)0; g(1)=1; 若x10,x20,x1+x21都有g(x1+x2)g(x1)+g(x2,解析】1.方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 x2-mx+2=0 或x2-nx+2=0.设方程两根为x1,x4,方程两根为 x2,x3.则x1x4=2,x1+x4=m,x2x3=2,x2+x3=n.因为方程 (x2

12、-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的 等比数列,所以x1,x2,x3,x4分别为此数列的前四项且 x1= ,x4= =4,公比为2,所以x2=1,x3=2,所以,m=x1+x4= +4= ,n=x2+x3=1+2=3,故|m-n|= 答案,2.由新定义运算知,(2y) ,因为 x0,y0,所以xy+(2y)x= 当且仅当x= y时取等号,所以 xy+(2y)x的最小值是 . 答案,3.g(x)=2x-1(x0,1)是理想函数,证明如下: 因为x0,1,所以2x1,2x-10, 即对任意x0,1,总有g(x)0,满足条件. g(1)=2-1=1,满足条件,由于x10,x2

13、0,所以g(x1+x2)-g(x1)+g(x2)0, 因此g(x1+x2)g(x1)+g(x2),满足条件, 故函数g(x)=2x-1(x0,1)是理想函数,延伸探究】若函数f(x)是理想函数,证明f(0)=0. 【证明】令x1=x2=0,则满足x10,x20,x1+x21, 于是有f(0+0)f(0)+f(0), 得f(0)0.又由条件知f(0)0,故必有f(0)=0,方法技巧】 1.综合法证明问题的步骤,2.综合法解决数列问题的依据,变式训练】(2016郑州高二检测)不相等的三个数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数() A.成等比数列,而非等差数列 B.成等差数列,而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列,解析】 选B.由已知条件知 由得a=