大学数学A第一章极限与连续

1、第一章 极限与连续,第一节 映射与函数教学内容及要求,主要内容： 基本初等函数 复合函数 初等函数及其性质 教学要求： 理解初等函数、复合函数的概念、 会分解复合函数；了解有界函数的概念,一、基本概念,1.集合,具有某种特定性质的事物的总体,组成这个集合的事物称为该集合的元素,有限集,无限集,第一节 映射与函数,数集分类,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系,例如,不含任何元素的集合称为空集,例如,规定,空集为任何集合的子集,2.区间,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,

2、区间长度的定义,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度,4.常量与变量,在某过程中数值保持不变的量称为,常量与变量是相对“过程”而言的,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为,常量与变量的表示方法,用字母x, y, t等表示变量,常量,变量,注,函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、yF(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号,设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即

3、DfD,1、定义,二、函数,说明： 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值,为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素,定义域与对应法则,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,定义,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,1) 符号函数,几个特殊的函数举例,2) 取整函数： y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,3) 狄利克

4、雷函数,例1,已知函数图形如下图所示，写出函数表达式,解,解,的定义域,设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界,1) 有界性,如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在X上有下界,如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界,2、函数的几种特性,2）函数的单调性,3）函数的奇偶性,偶函数,奇函数,4）函数的周期性,通常说周期函数的周期是指其最小正周期,设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆

5、映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数,按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D,若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数,反函数,3、反函数与复合函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称,设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量,复合函数,函数 g与函数 f 构成的复合函数通常

6、记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x,说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数,幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x,5.初等函数,反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x .,基本初等函数,由

7、常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数,都是初等函数,例如, 函数,初等函数,应用上常遇到的双曲函数是,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,双曲函数,五、小结,基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性,反函数与复合函数,初等函数,作业： P9: 1 、2、 3,第二节 数列极限,教学要求： 理解数列极限和函数的极限 利用左右极限判断极限的存在性 教学内容： 数列极限和函数的极限 函数的左右极限,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1

8、、割圆术,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题,一尺之棰，日截其半，万世不竭,二、数列的定义,例如,注意,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,三、数列的极限,问题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定,问题,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,通过上面演示实验的观察,四、数列极限的性质,1、有界性,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,3.单侧极限,例如,左右极限存在但不相等,例5,证,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性

9、,作业:P16 4（110）、5,第三节 无穷大与无穷小,教学要求： 理解无穷大和无穷小的概念 掌握无穷小的性质 了解无穷小与函数极限的关系 教学内容： 无穷大与无穷小定义 无穷小的 应用,一、无穷小,1、定义,极限为零的变量称为无穷小,例如,注意,1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆,2）零是可以作为无穷小的唯一的数,2、无穷小与函数极限的关系,证,必要性,充分性,意义,1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小,3、无穷小的运算性质,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,推论1 在同一过程中,

10、有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆,3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,不是无穷大,无界,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,三、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同,不可比,观察各极限,定义,例如,例1,解,证,必要性,充

11、分性,用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小,意义,例,解,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理,证,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换,注意,例,解,例,解,解,错,例6,解,四、小结,1、主要内容,两个定义;四个定理;三个推论,2、几点注意,无穷小与无穷大是相对于过程而言的,1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数,2）无穷多个无穷小的代数和（乘积

12、）未必是无穷小,3） 无界变量未必是无穷大,无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较,等价无穷小的代换,求极限的又一种方法, 注意适用条件,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶,作业:P19 3、4,第四节 极限的运算法则,教学要求： 掌握函数极限的四则运算法则 会用等价无穷小求函数的极限 教学内容： 等价无穷小、函数极限的四则运算 应用无穷小的性质,一、极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,推论1,常数因子可以提到极限记号外面,推论2,有界,二、求极限方法举例,例1,解,小结,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得

13、,例2,解,消去零因子法,例3,例4,解,无穷小因子分出法,小结,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,解,例5,原式,2,解,例6,求,例7,解,左右极限存在且相等,意义,例8,解:原式,三、小结,1、极限的四则运算法则及其推论,2、极限求法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限,3、复合函数的极限运算法则,作业P26 3,第五节 两个重要极限,教学要求： 掌握 两个重要极限 利用重要极限解决问题 教学内容： 两个重要极限的性质 两个

14、重要极限及其应用,两个重要极限,1,例3,解,2,例4,解,例5,解,三、小结,两个重要极限,作业,26 3（17）、7（13,第六节 函数的连续性与间断点,教学要求： 理解函数连续的定义 掌握分段函数连续的判定方法 利用连续的性质求极限 教学内容： 函数连续的定义及判断方法 连续函数的性质及应用,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,研究函数,例1,在点x=1,x=2处的连续性,解,是连续点,是跳跃间断点,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,例如,例3,证,二、函数的间断点,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件,3.间断点的分类与判别,2.区间上的连续函数,第一类间断点,第二类间断点,间断点,作业 P34 4、5,第六节 函数的连续性与间断点,教学要求： 理解函数连续的定义 掌握分段函数连续的判定方法 利用连续的性质求极限 教学内容： 连续性的判定、间断点的判定 连续性的应用,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.