2013-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案

1、2013-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析一填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1设方程的根大于，且小于，则实数的范围是 2从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 3设实数，满足x2-4x+y2+30，则的最大值与最小值之差是 4若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是 5若三角形的三边，成等差数列，则的取值范围是 6若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是 7已知，则 8设，且满足，则的最大值为 9复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1+z2|6，则|z1-z2| _10将小王和小孙

2、现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 二解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11在中，分别是角的对边，设求的值12如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、证明：四边形是梯形13设关于x的一元二次方程2x2tx20的两个根为a、b，(t为实数，ab) 若x1，x2为区间a，b上的两个不同点，求证：4x1x2t(x1x2)40； 设f(x)，f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)fmaxfmin

3、，求g(t)的最小值14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点11在中，分别是角的对边，设求的值分析化角为边转化为三角关系处理解由正弦定理及角变换求解由，得再由三角形内角和定理及得，所以，又，代入到中得，由得，从而，所以13设关于x的一元二次方程2x2tx20的两个根为a、b，(t为实数，ab) 若x1，x2为区间a，b上的两个不同点，求证：4x1x2t(x1x2)40； 设f(x)，f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)fmaxfmin，求g(t)的最小值(湖南省2002年高中数学竞赛)解 考察函数h(x)=2

4、x2tx2由于ax1，x2b，故2x12tx120，2x22tx220，两式相加得2(x12x22)t(x1x2)40又4x1x22(x12x22)所以4x1x2t(x1x2)42(x12x22)t(x1x2)40。对于t0，及tx40，f(x)=(4)此时f(x)单调增所以 fmaxf(b)，fminf(a)所以g(t)f(b)f(a)( )=()2(ba)，对于t0，此结果也成立所以g(t)的最小值为42014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1若，则函数的最小值是 2已知函数若，则的值是 83已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前

5、项和，且满足， ，则数列的通项 4若函数是奇函数，则实数的值是 5已知函数若关于的方程的实根之和为， 则的值是 16设、都是锐角，且，则等于 7四面体中，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为 8若满足，的恰有一解，则实数的取值范围是 9设集合，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是 76910如果正整数可以表示为 (，)，那么称为“好数”问1，2，3，2014中“好数”的个数为 881二解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知，为正实数，求的值12已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的

6、垂直平分线与轴交于点若，求双曲线C的离心率13如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点以为直径的半圆交的延长线于点求证：14（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论2015年全国高中数学联赛江苏赛区

7、初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1已知点P(4，1)在函数f(x)loga(xb) (b0)的图象上，则ab的最大值是 解：由题意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，从而ab4，当ab2时，ab的最大值是42函数f(x)sin(2x)在x 处的值是 解：2x2，所以f()sin3若不等式|ax1|3的解集为x |2x1，则实数a的值是 解：设函数f(x)|ax1|，则f(2) f(1)3，故a24第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，

8、取出的球颜色相同的概率是 解：有两类情况：同为白球的概率是，同为红球的概率是，所求的概率是5在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的离心率e，则e的值是 解：若cb，则，得ab，矛盾，因此cb，且有，解得eABCDE（第6题图）A1B1C1D16如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点记四棱锥EABCD的体积为V1，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则的值是 （第6题图）ABCDEOA1B1C1D1解：记四棱锥B1ABCD的体积为V如图，DEDB1，从而V1V又VV2，所以7若实数集合A31x，65y与B5xy，4

9、03仅有一个公共元素，则集合AB中所有元素之积的值是 解：因为31x65y5xy4032015xy若xy0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy0，从而AB中所有元素之积的值为08设向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，y7中有2个为a，其余为b则xiyi的可能取值中最小的为 解：因为aabb1，ab0，所以xiyi的最小值为2（第9题图）1220159在33的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 解：如图，

10、设幻方正中间的数为x，则由题意知a2012，从而对角线上三个数的和为x2011因此bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9题图）ecdab122015x由bexx2011，解得x这9个数的和为3(2011)，所以幻方中其余6个数之和为201810在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x0，y0，xyxy19的点(x，y)形成的区域（其中x是不超过x的最大整数）则区域D中整点的个数为 解：区域D中整点的个数为1231055二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11在等比数列an中，a22，q是公比记Sn为an的前n项和，Tn为数列a的前n项和若S2n2Tn，求q的值解

11、：若q1，则ana22，a4，则S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，则an2(1)n，a4，则S2n0，Tn4n，S2n2Tn 5分若q1，则an2qn2，a4q2n4，从而S2n，Tn 15分由S2n2Tn，则1，q2q40，解得q综上，q的值为和 20分ABCDP(第12题图)E12如图，ABC中，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分线与ADE的外接圆交于A、P两点求证：A、P、B、C四点共圆ABCDP(第12题图)EF证明：如图，连结PD，PE，PC因为四边形APDE是圆内接四边形,所以PADPED，PAFPDE又因为AP是BAC的外角平分线，所以PA

12、DPAF，从而PEDPDE，故PDPE 10分又ADPAEP，所以BDPCEP又因为BDCE，所以BDPCEP，从而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四点共圆 10分xOyO1l(第13题图)O2P13如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：ykx及x轴正半轴相切若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l的角平分线上若直线l的斜率ktan，设ttan，则k圆心O1，O2在直线ytx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt)交点P(2，2)在第一象限，m，n，t0 4分所以O1：(xm)2+(ymt

13、)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以即 8分所以 m，n是方程X2(4+4t)X8=0的两根，mn8由半径的积(mt)(nt)2，得t2，故t 16分所以 k，直线l：yx 20分14将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色（1）当k2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由解：（1）设正十一边形的顶点A1，A2，A3，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以Ai(i1，2，3，11)为顶角顶点的等腰三角形有5个，这些三角形

14、均不是等边三角形，即当ji时，以Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155个 5分当k2时，设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个，以Am为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)2327个注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728个 10分（2）若11个顶点中k个染红色，其余11k个染蓝色则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有条，两端点染蓝色的有条，两端点染一红一蓝的有k(11k)条并

15、且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，3x1x33， 3x2x43， 2x32x43k(11k)， 由得 3(x1x2)x3x4k(k1)(11k)(10k)，用代入得 x1x2 k(k1)(11k)(10k)k(11k)(3k233k110)当k5或6时，(x1x2)min(546556)10 即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k5或6 20分2016年全国高中

16、数学联赛江苏赛区初赛1、关于x的不等式的解集为，则ab的值是 。2、从1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 。3、已知是周期为4的奇函数且当时,则的值是 。4、己知直线是函数图象的切线，当的斜率最小时的方程是 。5、在平面直角坐标系xOY中，如果直线将圆平分，但不经过第四象限，那么的斜率的取位范围是 。6、己知等边ABC的边长为2,若,则APQ面积是 。7、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在棱BC上，点Q为棱CC1的中点.若过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP的取值范围是 。8、己知数列an

17、的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列.且对任意nN*，都有 anan+1，若a1=1. a2=2,.且数列an的前10项和S10=75，则a8= 。9、己知正实数x，y满足则 。10、设M表示满足下列条件的正整数n的和:n整除，且2016整除.那么M的所有不同正因子几的个数是 。11、已知求。12、如图，点P在ABC的边AB上且 AB=4AP，过点P的直线MN与ABC外接圆交于点M, N，且点A是弧M N的中点.求证： (1)ABNANP。（2）证明：BM+BN=2MN.13、在平面直角坐标系xOY中.双曲线C:与双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线l交曲线

18、C于A.B两点.若OF.AB=FA.FB,.求双曲线C的离心率e.14、己知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值.若九个内角中有一个角等于1200，试求常数的值.2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）1.已知向量，则向量与的夹角等于 答案：2.已知集合，且，则实数的取值范围是 答案：3.已知复数，其中是虚数单位，则 答案：4.在平面直角坐标系中，设分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，且，则双曲线的离心率为 答案：55.定义区间的长度为若函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最

19、小值的差为 答案：3.6.若关于的二次方程的两个互异的根都小于1，则实数的取值范围是 答案：7.若，则 答案：8.棱长为2的正方体-在空间坐标系-中运动，其中顶点保持在轴上，顶点保持在平面上，则长度的最小值是 答案：9.设数列满足：，成等比数列若，则满足条件的不同的数列的个数为 答案：1509910.对于某些正整数，分数不是既约分数，则的最小值是 答案：二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11.设数列满足：，求证：（1）数列是递增数列； （2）对如图任意正整数，证明：（1）因为且，所以所以所以数列是递增数列（2）因为所以当时，又所以对任意正整数，12.在平面直角坐标系中，设椭

20、圆，直线若椭圆的离心率为，原点到直线的距离为（1）求椭圆与直线的方程；（2）若椭圆上三点到直线的距离分别为，求证：可以是某三角形三条边的边长解：（1）由题设条件得，从而故所求的椭圆直线（2）设，则其中所以又故因为所以可以是某个三角形的三条边的边长13.如图，圆是四边形的内切圆，切点分别为与交于点与交于点，与交于点，与交于点求证：四边形是平行四边形证明：连接因为圆是四边形的内切圆，所以是的平分线，且在中，由三线合一，点是线段的中点同理点是线段的中点，所以同理所以四边形是平行四边形14.求满足的所有素数和解：满足题设条件的素数只有假设则所以，即又因为，且为素数，而从而这与矛盾所以因为是素数，所以或当时，即所以当时，所以或，或经检验，或，或时，所以满足条件的素数只有2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷时间：120分钟 满分：150分 姓名： 一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线