江苏省徐州市年中考数学试题研究二次函数综合题练习

1、24二次函数综合题. . 2 1. 如图，已知抛物线 y = x + bx+ c与x轴交于点 A 1, 0)和点B(3 , 0)，与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E, D是抛物线的顶点.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 直接写出点 C和点D的坐标;b 4ac b2(2a，4a ) 若点P在第一象限内的抛物线上，且&ABP- 4SCOE求P点坐标.注：二次函数2 _ y = ax + bx+ c(a 0)的顶点坐标为1IVZfA/0X第1题图1 b+ c= 0解：由 A 1, 0), B(3 , 0)得，9+ 3b+ c= 0b = 2解得 ，c = 3抛物线的解析式为 y= x2

2、 + 2x + 3 ；(2) qo , 3) , Q1 , 4);【解法提示】T抛物线与y轴交于点C,将x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3, C(0,3),：抛物线与x轴交于A(-1 , 0),B (3, 0), 对称轴为直线2x=-=1 , y=-1+2+3=4 , D (1, 4).-1 2(3)设 P(x, y) ( x0,y0),/Smoe= 3X 1X 1= |, Smbp= 4X y x2= 2y,T Sa abp= 4Sa coe3- 2y=4X 2， y = 3,又点P在抛物线上，将y = 3代入2得x + 2x+ 3= 3,解得X1 = 0(不合题意，舍去)，X2 =

3、2,- P(2 , 3). 2.如图，抛物线y= a(x 1)( x 3)与y轴交于A, B两点，与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.写出C, D两点的坐标（用含a的式子表示）; 设bcd Sabd= k,求k的值；（3）当厶BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.第2题图2 2解： t y = a(x 1)( x 3) = ax 4ax+ 3a= a(x 2) a,令 x = 0, y= 3a, C(0 , 3a) , D(2 , a)；(2)由(1)得 C(0 , 3a) , D(2 , a),得直线CD的解析式为y = 2ax+ 3a,令 y= 0，则 x= 3 ,如解图，设CD交x

4、轴于点M 则 m2 , 0),第2题解图由题意知点A的坐标为（1 ,0） , B的坐标为（3 ,0)， bm= I ,.SbcdSVABDQdmbScmbSVABD31 3a -22 2-2a23a(3) t B(3,0) , C(0 , 3a) , D(2 , a), BC= 32+ (3 a)2= 9+ 9a2,cD= 22 + ( a 3a) 2= 4+ 16a2 ,BD= (3 2)2+ a2= 1+ a2 ,/ BCD/ BCO90 BCD为直角三角形时，只能有两种情况， 当/ CBD= 90 时，则有 BC+ bD= CD,即 9 + 9a2 +1 + a2= 4+ 16a2，解得

5、 a= 1 或 a=- 1(舍去)，此时抛物线的解析式为 y = x2 4x + 3; 当/ CDB= 90时，则有 CD+ BD= BC,即卩4+ 16a2+ 1+ a2= 9+ 9a2,解得a = #或a= #(舍去)，此时抛物线的解 析式为 y= -22x2 2 2x + 乎.综上所述，当 BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y = x2 4x + 3或y = #x2 2j2x+ 学.一 1 1 2 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y= qx + 2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y= qx + bx+ c经过A C两点，与x轴的另一交点为点 B(1) 求抛物线的函数表达式；(

6、2) 点D为直线 AC上方抛物线上一动点.S 连接BC CD设直线BD交线段AC于点E,A CDE勺面积为$, BCE勺面积为S,求的最大值； 过点D作DF丄AC垂足为点F,连接CD是否存在点D,使得 CDF中的某个角恰好等于/ BAC的2倍？若存在，求点 D的横坐标；若不存在，请说明理由.第3题图备用图解：(1)据题意得 A 4, 0) , C(0 , 2),1 2/ y =尹+ bx+ c过点A C两点,16-4b +c，解得_ 3b 2,2=cc=21 23- y =只* + 2 ；1 23令 y= 0，只2 2x+ 2= 0,解得 X1 = 4, X2 = 1,-B(1 , 0),如解

7、图，过 D作DML x轴交AC于M过B作BNL x轴交AC于N,DIM/ BNS DE DMS = BBN1 3令 D(a, 2a2 qa + 2) (-4a0),1 Ma,尹 + 2),- B(1 , 0),5-N(1 , 2)，尹2 2a12 45(a+ 2) + 5,当a=2时，S的最大值为5；存在;-A 4, 0),耳1 , 0) , C0 , 2), - AC= 2 5, BC= ；5, AB= 5,- aC+ bC=aB, ABC是以/ ACB为直角的直角三角形，如解图，取AB中点P,连接PC - P( 3, 0),第3题解图 PA= PC= PB= 5,2/ CPQ 2/ BAC

8、OC 24tan / CPE OP=3 = 3；2如解图，作 QA/ DF, Q在CD延长线上,QHL x轴于点H,情况1：/ DCF= 2/ BAC 即/ QCA= 2/ BAC4- tan / QC矢 3，AQ_ AQ _ 4AC 2 5 3，- AQ=/ QAH-/ HQ= / CAQ-Z OC= 90,QAH- / CA= 90, / CA= / HQA/ QA= / ACQAQ AH QHAc= QC= AQAQ- QCAH= aacc HQAH- AQQC， ah= 3, HQ=罟,20 16、亍3），又C(0 ,2),1 QC的解析式为y = x + 2,y联立y=0, X1 =

9、 0(舍),X2 = 2, Xd= 2;情况2:如解图，/ FDC 2/ BAC即/ AQ= 2/ BACAC 2.彳54AQ= AQ = 3， AQ= ， QH/VA AOC AH= 2, HQ= 3,11 Q y, 3），又 qo, 2）,2 QC的解析式为y=石x + 2,2x111 2 -x211y联立y扩+ 2fx = 0, X1= 0（舍去）,X2= 2929 Xd= 77.11一29综上所述，D点的横坐标为-2或-石. 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A 1, 0）, B（4 , 0） , C（0， 4）三点，点 P 是直线 BC下方抛物线上一动点.(1)求

10、这个二次函数的解析式； 是否存在点 戸，使厶POC1以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由;(3)动点P运动到什么位置时， PBC面积最大求出此时 P点坐标和厶PBC勺最大面积.第4题图解：(1)由于抛物线与y轴交于点 A 1, 0) , B(4 , 0)，可设抛物线解析式为y = a(x + 1)( x4),将点 C(0， 4)代入得：a(0 + 1)(0 4) = 4,解得a= 1,所求抛物线解析式为y= (x + 1)( x 4),2即 y= x 3x 4.存在.如解图，取0C的中点DO2)，过D作PDL y轴，交抛物线于点 P,且点P在第四象限，则点 P的

11、纵坐标为一2,满足条件的P点的坐标为x =宁 （宁-2）;负值舍去)，/ 点耳4 , 0），点 C（0， 4）,直线BC的解析式为y = x 4,设点P的坐标为(t, t1 I Sa pbc=pc卄 Sapbc= PQ Xb= PQ 3t 4),如解图，过 P作PQ/ y轴交BC于 Q则点Q的坐标为(t, t 4),.| PQ = t 4 （t2 3t 4） = t2 + 4t = （t 2）2+ 4,当t = 2时，PQ取最大值，最大值为4,4= 2PQ当PQ最大时，& PBC最大，最大值为8.此时点P的坐标为(2 , 6).2 1 5.如图，抛物线 y= x + bx+ c与直线AB交于A

12、 4, 4) , B(0 , 4)两点，直线 AC y= ?x 6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点 E作EFLx轴交AC于点F,交抛物线于点 G(1) 求抛物线y= x2 + bx+ c的表达式；(2) 连接GB EO当四边形 GEO是平行四边形时，求点 G的坐标；(3) 在y轴上存在一点H,连接EHHF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F ,H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E, H的坐标;在的前提下，以点 E为圆心,1求qAMb CM的最小值.解：抛物线2y = -x + bx+ c 的图象过 A 4, 4) , B(0 , 4)两点,16 4b c4，解得b 2 ,c 4抛物线

13、表达式为2y= x 2x + 4;如解图，设l ab的解析式为y= m灶n代入 A 4, 4) , B(0 , 4)两点,4m n 4” + m 2，解得，n 4直线 AB的表达式为y = 2x+ 4./ B(0 , 4) , OB= 4,2设 E(x, 2x + 4) , G(x, x 2x+ 4),2 2 GE= ( x 2x + 4) (2 x+ 4) = x 4x.四边形GEO是平行四边形， OB/ GE GE= BO2 即：一x 4x = 4,解得 X1 = X2= 2 ,当 xg= 2 时，yG= 4, G( 2 , 4);1 如解图，设 E(a , 2a+ 4) , F(a ,

14、?a 6),过A作AK! y轴于点K,交GF于点Q 过点H作HP! GF于点P, AK= 4 , OK= 4 , BC= 10 , KC= OC- OK= 6 4= 2 , BK= BC- KC= 10 2 = 8 ,aC= aK+ kC= 4 + 2 = 20 , aB = aK+ bK= 4 + 8 = 80, bC= 10 = 100 , ac+ aB = bC ,即/ BAC= 90 , / AEK90, / AF呂90 ,四边形 AEHF以/ AEF, / AFE为内角时不是矩形,当/ BA& 90且四边形 AEHF是平行四边形时，四边形 AEHF是矩形, EH/ AF EH= AF

15、HEPZ AFQ/ EPH=Z FQA= 90 , EPHm FQA PH= AQ EP= FQ 0 a = a ( - 4),解得 a= 2 ,- E( 2 , 0),1yH= 4 ( qa 6),解得 yH= 1,点H的坐标为(0 , 1);如解图，EM= EH= 12+ 22 = ,5 , AE= 2 + 42 = 2 .5 ,设在EA上存在点N,Z NE=Z MEAt EN EM 当 EM=EA时， enm emaEN EM MN EN ：5 MN.一 = 一=-即=EM EA AM 即：52. 5 AMJ5i EN=y , MN=利1 一 2AMF CM= MNb MO NQ两点之间

16、线段最短)，1即当N M C三点共线时，NC就是所要求的AMF CM的最小值.厂逅症 / AN= AE- EN= 2 一5牙=才, NC= #aN+ aC =寸(学)2+(亦)2=学，即2-amf cm的最小值为U 第5题解图 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 y = ax 2/ y = x 2x+ 3= (x + 1) + 4, 顶点D的坐标为(一1, 4);易求直线AD的解析式为y= 2x + 2, 直线AD与 y轴的交点为(0 , 2),1 1 四边形 acdb= Saabd+ SLacd= tX 4X 4 + 二 X 1 X 2= 9. + 2ax+ c的图象与y轴交于

17、点 Q0 , 3)，与x轴交于 A B两点，点B的坐标为(一3, 0).(1)求二次函数的解析式;(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OMS四边形ACD分成面积为1 ：2的两部分，求出此时点 M的坐标;点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时厶CPB勺面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.2解：将点 Q0 , 3), B( 3, 0)代入 y= ax + 2ax+ c 得:c= 39a 6a+ c = 0解得:a= 1二次函数的解析式为y = x2 2x+ 3;22(2) 由 y = x 2x + 3,令 y= 0,则一x 2x + 3= 0,解得 xi = 1,

18、X2= 3.点 A(1 , 0).如解图，连接 OD AD AC CD直线0L必与线段BD相交，易得直线BD的解析式为y= 2x+ 6; 设直线0M与直线BD交于点己，则厶OBE勺面积可以为 3或6.1 一当&ob戸3X 9= 3时，易得点E的纵坐标为2,将y= 2代入直线BD解析式求得x= 2, E点坐标（2, 2）,则直线OE勺解析式为y = x,设M点坐标为（x, x）,代入抛物线解析式得： x= x2 2x+ 3,),2当 &OB= -X 9= 6时，同理可得 M点坐标.3 M点坐标为（1, 4）;综上所述，点 M的坐标为（1 13,卫）或（一1, 4）; 如解图，连接 OP设P点的坐

19、标为（m n）,第6题解图点P在抛物线上,- n= m 2讨 3,S CPB= S CPO SOPB SCOB=OC- ( m + OB n ?OC OB=*n-m- 3)2m+ 3n)一 3叶 3)2+ 27.2 2 8/- 3v m 4 5 -2。12 3 4 5工图图第7题图2解：令 y= 0,即X + 2x + 3= 0,解得 Xi = 1, X2= 3,点A在点B的左侧， A 1, 0),耳3 , 0),当 x= 0 时，y= 3，则 C(0 , 3),设直线BC的解析式为y = kx + 3,把 R3 , 0)代入，得 0= 3k+ 3,解得k= 1,直线BC的解析式为y = x

20、+ 3;(2)由(1)可知OB= 0(= 3，则 BOC为等腰直角三角形， / AB(= 45, / APB=Z AB(= 45，且 PA= PB如解图，过点 B作BDL PA于点D,设对称轴与x轴交于点巳则厶PBD为等腰直角三角形,设 BD= PD= m4.2丿。1E2 3卜 4 5 v第7题解图由勾股定理得pb= ,；2m PA= PB= ：2m AD= ( ,;2 1)m2 2 ,2在Rt ABD中，根据勾股定理得 aD+ bD= aB,即(护一1)m 2+ m= 42,2 8解得m=2-迈在 Rt PBE中, PE = PB BE= 2吊22 = 2X 4= 8承 + 12= (2灵

21、+ 2)2,2寸2 PE= 2 :2 + 2,点 P 的坐标为(1 , 2 .2 + 2)或(1 , 2 2 2);如解图，点A关于y轴对称的点F的坐标为(1 , 0)，连接CFV第7题解图/ OC=Z OCF设直线CF的解析式为y = m対n,把点qo , 3)、F(1 , 0)代入n= 3n= 0，解得n= 3n= 3则直线CF的解析式为y = 3x + 3,与二次函数联立得y = 3x + 3y = x + 2x + 3解得x = 0 x = 5y = 3或 y =- 12,直线CF与抛物线的交点坐标为(0, 3) , (5 , - 12),由抛物线知，当点 Q在直线CF的下方的抛物线上

22、时,/ od OCA 即卩 a5.2 2 8.如图，一次函数y= x 4与x轴交于点B,与y轴交于点C经过点B、C两点的抛物线y = ax + bx+ c也经过点 A 2, 0) (1)求抛物线的解析式;点M是线段AB上的一个动点，过点 M作MN/ BC交AC于点N,连接CM当厶CMN勺面积最大时，求点 M的坐标;(3) 点D(4 , k)在抛物线上，点F为抛物线上一动点，在 y轴上是否存在点E,使以A D E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E,解:(1)由2y= 3x4 可知 B(6 , 0) , C(0， 4),设抛物线的解析式为y= a(x+ 2)( x 6

23、),将点C( -2 , 0)的坐标代入，解得a= 3，1 24抛物线的解析式为 y= 3X x 4； 设点M的坐标为(m 0)，过点N作NHLx轴于点H,如解图,第8题解图点A的坐标为(一2, 0)，点B的坐标为(6 , 0),AB= 8, AM= mF2,/ MN/ BCNH AMCO ABNH_ n2才=_8NH=1 1 &CM= &代 &AM= 2AM2 2am nh1耐2=紳 2)(4 )1 2=_m+ 耐 34=Rm-2)2+ 4,当n= 2时，&cmn有最大值为4,此时，点M的坐标为(2 , 0);1 24 存在，理由如下：点Q4 , k)在抛物线y= 3X x4上,当 x = 4

24、 时，y = 4,- D(4 , 4),设点F的坐标为(n, n)，点E的坐标为(0 , t),由题意得：若AF为平行四边形的边，如解图，则有:第8题解图yD yF= yE yXd Xf= Xe Xa4 n= t4 m= 21 24, n= 3m 3m 4,4 fm+ 3m+ 4= t4 m= 2解得：m= 2, n = 136, t = 3. Ei（0 , 3） , Fi（2 ,罟）;若AF为平行四边形的对角线，如解图,yF yD= yE yXf Xd= xe Xan+ 4= tm 4= 2-n =44，1 23m4-m- 4 + 4= tm 4= 2解得 m= 6, n= 0, t = 4

25、, E2（0 , 4） , F2（6 , 0）,综上所述，存在 E(0, 3) , %2 ,-16)或6(0, 4) , F2(6 , 0)使得以A D E、F为顶点的四边形为平行四边形. 9.如图，抛物线y= 2( x 3)2 1与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D(1)试求点A B, D的坐标；连接CD过原点O作OEL CD与抛物线的对称轴交于点 E,求OE的长;P,过点P作OO的切线，切点为 Q当PQ以中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点的长最小时，求点 P的坐标.第9题图1解： 由 y= 0 得2(x 3)2- 1 = 0,解得 X

26、1= 3 ：2, X2= 3 + 2,又点A在点B的左侧，A点坐标为(3 ,2，0)，B点坐标为(3 + _2 0),1 2 一由抛物线解析式 y= (x 3) 1可得顶点D的坐标为(3 , 1);如解图，过点 D作DG_ y轴于点G设CD与 x轴交于点F,第9题解图由题意可得，/ DCGZ CFO= 90,/ EOM/CFO= 90,/ Dd EOM又/ CGBZ OME90, CDW OEMCG DG3 3 OM= EM 即 2 = EM EM= 2, E点坐标为(3 , 2), OE= ,32 + 22= . 13; 如解图，由O E的半径为1,由勾股定理得 PQ= EP 1,要使切线长 PQ最小，只需EP长最小，即Eh最小,第9题解图设 P点坐标为(x, y)，则 PQ= x 3, EQ= 2 y,由勾股定理得 eP= (x 3) + (2 y)1 2 - y = 2(x 3) 1,2 (X 3) = 2y+ 2, EF2= 2y+ 2 + x2 4x+ 4= ( y 1)2+ 5,当y= 1时，EF为最小值，1 2将 y= 1 代入 y= 2(x 3) 1，得 X1= 5, X2= 1, F点坐标为(1 , 1)或(5 , 1).点F在对称轴右侧的抛物线上, X2= 1