111导数的几种常见题型例析

1、高中数学第十四章导数考试内容：导数的背景导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值.考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c为常数卜y=xn(n N+)的导数公式，会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭 区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.14.导数知识要点41.导数(导函数的简称)的定义：设Xo是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量处有增量 x，则函数值y也引起相应的增量 y

2、f (x0x) f (x0)；比值卫也卫_称为函数 y f (x)在点 x0至卩x0xx在X0x之间的平均变化率；如果极限xlim - lim x)f (x0)存在，则称函数 y f (x)在点xo处可导，并把这个极限叫x 0 x x 0f(x)在X0处的导数，记作f(xo)或ylxx,，即f(xo)= limlim f(xox) f(xo).x 0 x x 0x注： x是增量，我们也称为改变量”因为 x可正，可负，但不为零.已知函数y f(x)定义域为A , y f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f(x)在点xo处连续与点xo处可导的关系: 函数y f (x)在点xo

3、处连续是y f (x)在点xo处可导的必要不充分条件可以证明，如果y f(x)在点xo处可导，那么y f(x)点x。处连续.事实上，令x xox，则x xo相当于 x o .于是lim f (x)X Xolim f(xox ox)limf(x Xo) f%) f(xo)x olimf(xox) f(xo)x f(xo)X oxlimf(xox)_f(xo)lim limf(xo)f(xo)of(xo)f (xo)x oxx o x o如果y f(x)点xo处连续，那么yf(x)在点xo处可导，是不成立的例：f (x) | x |在点xo o处连续，但在点xoo处不可导，因为乂匕1，当x o时,

4、x x1 ；当x v o时，1，故lim y不存在.xxx o x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f (x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y f (x)在点(xo, f(x)处的切线的斜f(xo)，切线方程为率，也就是说，曲线 y f (x)在点P (xo, f (x)处的切线的斜率是yyof(x)(x xo).4. 求导数的四则运算法则：III(u v) u v y fl (x) f2(x) . f n(x) y fl (x) f2 (x) . f n(x)u vu v u(uv) vu v u (cv) c v cv

5、 cv ( C 为常数),2(v o)vv2注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函 数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导一、22例如：设f (x) 2sinx , g(x) cosx ，贝V f (x), g(x)在x o处均不可导，但它们和xxf (x) g(x) sinx cosx在 x 0处均可导.5. 复合函数的求导法则:fx( (x) f(u) (x)或yx yu ux 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x) 0，则y f(x) 为增函数；如

6、果 f(x) v 0,贝U y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=O，贝U y f(x)为常数.注：f (x) 0是f ( x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(,)上并不是都有f(x) 0，有一个点例外即x=0时f ( x) = 0，同样f(x) 0是f( x)递减的充分非 必要条件.一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的7. 极值的判别方法：(极值是在X0附近所有的点，都有f(x) v f(X0),则f(X0)是函数f(x) 的极大值，极小值同理)

7、。当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x) 0,右侧f(x) v 0，那么f(xo)是极大值；如果在 X0附近的左侧f(x) v 0,右侧f(x) 0, 那么f(x0)是极小值.也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x) =0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同) 注： 若点X0是可导函数f (x)的极值点，则f (x) =0.但反过来不一定成立.对于可导函 数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 例如：函数y f

8、 (X) X3 , x 0使f (X) =0，但x 0不是极值点 例如：函数y f (x) |x |，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别： 极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：55i.c0 ( C 为常数)，(sin x)COSX , (arcsin x)n 1nx ( n R )(cosx)sin x (arccos x)1.1 x2II. (In x)1 log a e , (arctan x) X(log a x)(ax) ax lna , (arccotx)1x2 1

9、 o1III.求导的常见方法：常用结论：(In |x|)。形如y (x ai)(x a2).(x an)或xy (x ai)(x a2).(x an)两边同取自然对数，可转化求代数和形式。无理函数或形如 (x bl )(x b2).(x bn)y xx这类函数，如 y xx取自然对数之后可变形 为In y xlnx，对两边求 导可得L lnx x 1 y ylnx y y xx In x xx. yx(一) 利用导数可以解决的几种常见题型例析导数是中学内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关 函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷解决一些实际问题，高考题中已涉及到导

10、 数的概念、几何意义、用导数求单调性(单调区间)、求极值、求最值的应用，体现了导数作为研究函数的工具作用，利用导数可以解决的题型有以下几种：一：求曲线的切线方程例1已知曲线方程为y x2。( 1)求过A(2，4)点且与曲线相切的直线方程；(2)求过B( 3，5)点且与曲线相切的直线方程。评析：求某曲线过定点的切线，应先验证定点是否在曲线上，然后采用对应的方法。二：证明等式与不等式例2已知(1+x)n=i+c1x+C：x2+cnxn，用导数知识证明：123nn-1C n +2 Cn +3C n +nC n = n 2。X3 例 3 已知 Ov xv ,求证：tanx x+ -。23评析：要证明不

11、等式g(x) f(x)成立，可以构造函数F(x)= g(x) f(x)，然后再利用导数研究函数F(x)=g(x) f(x)的单调性。由单调性获得f(x) 0,从而证明了不等式g(x) f(x)。 三：求极值、最值例4求函数f(x)= 3 (2x x2)2的极值。例5求函数f(x) 3x4 2x3 3x2的最值评析：在确定极值时，应注意定义域内不可导点处也可能存在极值。 开区间内函数求最值应注意 x趋向端点时函数值的变化率。 四：求单调区间例6:已知a R,求f(x)x2 eax的单调区间五：求参数的范围例7:已知函数f(x) ln(2 x) ax在区间(0, 1)上是增函数，求实数a的取值范围

12、。评析：解决这类恒成立问题，常采取这种分离参数的方式；另外，若函数f(x)在(a, b)内 厂 0,其中是有限个点 厂=0，则函数f(x)在(a, b)内仍 是增函数。(二) 复习导数时应注意的七项导数在求函数的单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率方面，有着广泛的应用, 但有些同学在实际应用时常会出错，下面指出复习导数时的一些注意事项，供大家参考： 1 注意对定义的理解例1已知函数f(x) 2x35，则lim f(23 x) f(2)x 0A、24B、解： f (x)=6x2,. |im 卫2x 0723 x)xC、 f(2)x24f23 limx 0D、72(3 x)f(2)3 x=3 f

13、 (2) = 72。注：当 X是X在X0处的增量时，3 x也是x在X0处的增量。本题的正确做法是视 3 x 为增量，套用导数定义求得极限。2注意导数存在与极值存在的关系例2：判断函数y ax b ( a 0)在其定义域内是否存在极值。分析：在x=处给增量 x，便有 y =|a ( + x) b|-0= a| x |,得 aaa x 0时,可知当 xa x 0时0时，一y不存在极限。即函数在x=xa处不可导。若因此得出无极值这个答案，则是错误的。因为在某一点处不可导，不能直接断定没有极值。解：在x=附近有f ( x) f (),aa由极值的含义可得f (x )在x=处取得极小值a注意：在某一点处

14、不可导不一定没有极值。3注意对切点位置的判断K(-)=0。a例3：已知曲线f(x) 2x3 3x，过点M (0, 32)作曲线f (x)的切线，求切线方程。分析：本题常会这样解：由导数的几何意义知,k= f (0) = 3，所以曲线的切线方程为y= 3x+32。这是错误的，原因是点M (0, 32)根本不在曲线上。解：设切点坐标为N (X0，2 X03 3 X0)，则切线的斜率 k= f (x0) =6 X02 3，切线方程为y= (6 X02 3) x+32，又因为点N在切线上，所以2 x。3 3 X0= (6 X02 3) x+32，解得X0= 2，所以切线方程为 y=21x+32。注意：

15、导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上。4注意单调性的条件例4:已知函数f (x) =(a为常数)，在(一1，1)内为增函数，求x 1实数a的取值范围。分析：课本上给出的有关单调性的结论是：若f (x)在(a，b)上有f (x) 0，则有 f (x)在(a，b)上为单调递增函数；若 f (x)在(a，b)上有f (x) v 0，则有f (x)在(a， b) 上为单调递减函数。注意这一条件只是单调的充分条件并不是充要条件，这一充 分条件也可扩大为f (幻在(a, b)上有f (x) 0 (或f (x) 0在(1, 1) 上恒成立，即 a x 1x 1 1,而当a=1时，

16、f (x)=0恒成立，所以当a=1时f (x)不是单调递增函数，所以 a 1。5. 注意极值的存在条件例5:已知函数f (x) x3 ax2 bx a2在x=1处有极值10，求a， b。分析：抓住条件“在 x=1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得a，bo a， b有两组值，是否都合题意需检验。f 10解：f:(x)=3x2+2ax+b，根据题意可得，即f1 102ab3 0,2 aab 110,解得a14，或 a23,2f (x) 3x26x 3 3 x 1 2，易得此时,bi11,b23.而当a23时，b23a14f (x)在x=1两侧附近符号相同，不合题意。当1时，f(X)

17、= (3x+11) (xb 11a 41)，此时，f (x)在x=1两侧附近符号相异，符合题意。所以。b 11注意：极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。6. 注意极值与最值是两个不同的概念例6:求函数f(x) x3 2x2 x在3，3上的最值。分析：需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值。1解：f (x)=3x24x+ 仁(3x 1) (x 1)，所以极值点为 x=1 或 x= - o3又f(1)=0，f ( 1) = 4， f( 3)48, f (3)12.所以函数最大值为 12,最小值为48。7. 注意“导数为零

18、的点”与“极值点”是两个不同的概念3例7：函数f(x) (x2 1) 2的极值点是()A、X 1 B、X 1 或 X 1 或 X 0 C、X 0 D、X 1 或 X 1/ 2 / 2误解:f (x) 3(x2 1)?2X即 f (X) 6x(X2 1)/ 2由 f(x) 0有 6x (x2 1)0 x=0 或 x= 1 故选(B)./正解:由 f (x)0 有 x=0 或 x= 1。/f (x) , f (x)随X的变化情况如下表X(- ,0)-(-,0)0(0,1)1(1, m)/f(x)00+0+f(x)无极值极值/无极值/故选(C)(三) 切线问题的求解方法若直线y kx b是曲线y f

19、 (x)在x x。处的切线，包含以下内容：(1)切线斜率是k ；(2)导数yxx。f(x0)，便是切线的斜率k ；(3)隐含曲线上的点(X。，f(x)；(4)(X。，f (X)也就是切线所经过的点，满足f(x) kx0 b .由此可得到某些未知的字母的值.若求曲线y f(x)在x x。处的切线，则根据(2) (4)，利用点斜式方程可以求出切线方程.y f (x0 ) f (X0)(X X0 ).切线问题丰富多彩，只要我们掌握解题规律(设切点、写切线、跟题走)，问题就不难解决.一、过某一点的切线1 38例1已知曲线y x3上一点P 2, ，过点P的切线方程为ax 3y c 0，求 a, c的33

20、值.解：设过点P的切线的切点为(x0, y0)，2 2由y x ,得切线方程y yo x(x xo).将 y0 1x3及 P 2,8 代之，整理得 x； 3x0 4 0，即(X。1)(xo 2)2 0 ,解得33X。 2 或 X。1.82132故过点P的切线方程为y 2 (x 2)或y (1)( 1) (x 1),即3312x 3y 160或3x 3y 20 .比较已知切线方程，得* 3或* 12c 2,c 16.评注：“过点P ”与“点P处”的切线是两个不同的概念.二、公切线例2已知抛物线 G : y x2 2x和C2： y x2 a .问a取什么值时C1和C2有且公有 一条公切线？并写出此

21、公切线的方程.解：设公切线I分别与C1和C2切于点A（x-|, X； 2x1）和B（x2, x； a）.2由y 2x 2, y 2x ,得二重合切线方程y （为2xJ （2为2）（x xj和22x1 2y(X2 a)2x2(x X2),此时x-i (2为X1X2 1,整理，得22消去X1 ,x-ix2 a.整理,注意到X2惟一，则48(a1) 0,求得公切线为4x 4y 10 .评注:公切线未必过同一切点.三、垂直切线例3设直线m与1都是抛物线1y 2(x2 X率小于1，求m与1的方程.2X2,2 2 22) X1 2x1 2x2 X2 a,2得 2X22X2 a 1 0 .11解得a ，此时

22、X2222）的切线，m丄I且I过点P（3,2） , I的斜1解：设切线I的切点为(X。，yo),由y x ,得I的切线方程21 2 12y(x0x02)x0 (xx0) 将 P(3,2)代之，整理得x06x。50,2 2解得X。 1或5 (此y 1，舍去).故切线I : x 2y 1 0 ,此时km2 ,3 23可得m的切点为 ，仝，得切线m:16x 8y 10 .2 8例4已知抛物线方程为x2 2y，有一个半径为1的圆,动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.解：如图，设圆与抛物线的交点为P(x0, y0),由y x，得抛物线在P点处的切线方程为y y0 x0(x X)，注意到两切线在P占I八、处互相垂直，则此切线过圆心Cyox( X)，与 x： (y a)221及x。 2y。联立，消去X。，y。，整理得4a22a注意到y0 ,可得a0，故送.因此，圆心在点40,4时符合要求.圆心C(0, a)，则圆的方程为x2(y a)214评注：相关切线逐一处理.四、平行切线例5已知曲线y ax3bx(a