利用导数判断函数的单调性课件

1、利用导数判断函数的单调性,1,利用导数判断函数的单调性,利用导数判断函数的单调性,2,4）.对数函数的导数,5）.指数函数的导数,3）.三角函数,1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数,2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1,一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式,利用导数判断函数的单调性,3,2.导数的运算法则,1）函数的和或差的导数 (uv)/u/v,3）函数的商的导数 （ ） / = (v0,2）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u,利用导数判断函数的单调性,4,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导,则复合函数 y = f ( (x) 也可导,且,或,或,复合

2、函数的求导法则,即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则,利用导数判断函数的单调性,5,3. 函数的单调性: 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数,利用导数判断函数的单调性,6,二、新课讲解,我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到,在区间(2,+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)是增函数,

3、即 0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +)内为增函数,在区间(-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)是减函数,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(-,2)内为减函数,2,m,n,2,利用导数判断函数的单调性,7,用函数的导数判断函数单调性的法则,1如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； 2如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间,若在某个区间内恒有 则 为常数,利用导数判断函数的单调性,8,例1如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋

4、转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种,D,利用导数判断函数的单调性,9,解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D,利用导数判断函数的单调性,10,例2确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数,解：f (x)=(x

5、22x+4)=2x2,令2x20，解得x1,当x(1，+)时，f (x)0， f(x)是增函数,令2x20，解得x1,当x(，1)时，f (x)0， f(x)是减函数,利用导数判断函数的单调性,11,例3:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性,解:f (x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数,令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数,利用导数判断函数的单调性,12,故f(x)在(-,1)和 (3,+)内是增函数, 在(1,3)内是减函数,而我们可以从右边的 函数的图象看到上面的结论是正确的,一

6、）利用导数讨论函数单调性的步骤,1):求导数,2)解不等式 0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 0得f(x)的单调递减区间,利用导数判断函数的单调性,13,例4证明函数f(x)= 在(0，+)上是减函数,证明：f (x)=( )=(1)x2=,x0，x20， 0. 即f (x)0,f(x)= 在(0，+)上是减函数,利用导数判断函数的单调性,14,例5求函数y=x2(1x)3的单调区间,解：y=x2(1x)3 =2x(1x)3+x23(1x)2(1) =x(1x)22(1x)3x =x(1x)2(25x,令x(1x)2(25x)0，解得0 x,y=x2(1x)3的单调增区间是(0，,利用

7、导数判断函数的单调性,15,令x(1x)2(25x)0， 解得x0或x 且x1,x=1为拐点,y=x2(1x)3的单调减区间是 (，0)，( ，,利用导数判断函数的单调性,16,练习题,1函数y=3xx3的单调增区间是( ) (A) (0，+) (B) (，1) (C) (1，1) (D) (1，,C,利用导数判断函数的单调性,17,2设f(x)=x (x0)，则f(x)的单调增区间是( ) (A) (，2) (B) (2，0) (C) (， ) (D) ( ，0,C,利用导数判断函数的单调性,18,3函数y=xlnx在区间(0，1)上是( ) (A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(

8、0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数 (D) 在( , 1)上是减函数，在(0, )上是增函数,C,利用导数判断函数的单调性,19,4函数y=x2(x+3)的减区间是 ，增区间是,2，0,，2)及(0，,5函数f(x)=cos2x的单调区间是,k, k+ ), kZ,利用导数判断函数的单调性,20,6函数y= 的单调增区间是,0，1,7证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间( , 0)上是增函数,证明：f (x)= (cosx)=tanx,当x( , 0)时, tanx0, 即f (x)0,函数f(x)=ln(cosx)在区间( , 0)上是增函数,利用导数判断函数的单调性,21,

9、8当x1时，证明不等式,证明：设f(x),显然，f(x)在1，)上连续，且f(1)=0,f (x),x1, 0，于是f (x)0,故f(x)是1，+)上的增函数，应有： 当x1时，f(x)f(1)=0,即当x1时,利用导数判断函数的单调性,22,五、小结,1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间,2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,3.注意在某一区间内 0(0)只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件,利用导数判断函数的单调性,23,6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想,5.若函数f(x)在开区间(