中考数学 第5章 四边形 第2节 矩形 菱形 正方形复习

1、知识点1 矩形的性质与判定,1.矩形：有一个角是直角的_叫作矩形. 2.矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. （2）矩形的四个内角相等且都是_. （3）矩形的两条对角线_. （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴,平行四边形,直角,相等,2,3.矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线_的平行四边形是矩形. （3）有_是直角的四边形是矩形,相等,三个角,知识点2 菱形的性质与判定,1.菱形：有一组邻边_的平行四边形叫作菱形. 2.菱形的性质： （1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. （2）菱形的四

2、条边都_,相等,相等,3）菱形的对角线互相_，每条对角线平分一组对角. （4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴,垂直且平分,2,3.菱形的判定： (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)四条边都_的四边形是菱形. (3)对角线相互_的四边形是菱形. 4.菱形面积的计算： (1)可以作为平行四边形来计算面积：S=_. (2)利用菱形的对角线的长度计算：S=两条对角线乘积的 _,相等,垂直且平分,底高,一半,知识点3 正方形的性质与判定,1.正方形的性质： （1）正方形具有矩形和菱形的所有性质；正方形的四个角都是_，四条边都_；正方形的两条对角线相等且_，每条对角线平分一

3、组对角. （2）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴,直角,相等,垂直平分,4,2.正方形的判定： （1）有一个角是_的菱形是正方形. （2）有一组邻边_的矩形是正方形. （3）有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形. （4）对角线相等且相互_的四边形是正方形,直角,相等,垂直,3.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的菱形，还是特殊的矩形，他们之间的关系如图,名师指点】本考点主要考查矩形的判定及性质的运用. 解答这类问题时，既要注意运用矩形的特殊性质，也要注意运用矩形作为一般平行四边形所具有的性质,考点1 矩形的性质与判定,分析】由四边形ABC

4、D是矩形，得出AB=CD，B=C，再由BF=CE，得出BE=CF,从而证明ABEDCF，即可证明AE=DF. 【解答】四边形ABCD是矩形， AB=CD，B=C=90. 又BF=CE， BF+FE=CE+EF.即BE=CF. ABEDCF,AE=DF,2014贵州安顺）如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN是ABC的外角CAM的平分线,CEAN,垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当ABC满足什么条件时, 四边形ADCE是一个正方形？ 并给出证明,分析】(1)四边形ADCE中已知有两个直角,要判定其是矩形,只需再证明有一个角是直角即可,通过观察可知,判断D

5、AE是直角比较方便. (2)此题是条件结论都开放型问题,答案不唯一.一般地,使矩形变为正方形可以添加邻边相等或是对角线垂直,可以通过添加ABC的条件间接获得证明,解答】(1)在ABC中,AB=AC,ADBC, BAD=DAC. AN是ABC的外角CAM的平分线, MAE=CAE， 又ADBC,CEAN, ADC=CEA=90， 四边形ADCE为矩形,2)例如,当BAC=90时,四边形ADCE是正方形. BAC=90,AB=AC,ADBC于点D, ACD=DAC=45, DC=AD. 由(1)知四边形ADCE为矩形, 矩形ADCE是正方形,1.(2015高新一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2

6、，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长是( ) A.2.5 B.2.8 C.3 D.3.5,2.(2015天桥二模)如图，在矩形ABCD中， BAD的平分线交BC于点E，DHAE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：AED=CED；OE=OD；BH=HF；BC-CF=2HE；AB=HF.其中结论正确的是_(填序号,3.(2014济南)如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC,解：在ABE和DCE中， AB=DC,AE=DE,EAB=EDC, ABEDCE, EB=EC,4.（2015聊城）如图，在

7、ABC中，AB=BC，BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE. 求证：四边形BECD是矩形,证明：四边形ABED是平行四边形， BEAD,BE=AD. AB=BC,BD平分ABC, AD=CD, 四边形BECD是平行四边形. AB=BC， ABC是等腰三角形,又BD平分ABC， BDAC. 即BDC=90. 四边形BECD是矩形,名师指点】本考点主要考查菱形的判定及性质的运用.菱形具有四条边都相等，对角线相互垂直平分，且每条对角线都平分一组对角的特殊性质，又有一般平行四边形的性质.在解答有关菱形的问题时，要灵活运用这些性质,考点2 菱形的性质与判定,2015济南

8、)如图，在菱形ABCD中，AB=6，DAB=60，AE分别交BC，BD于点E，F，CE=2，连接CF，以下结论：ABFCBF；点E到AB的距离是 ABF的面积为 其中一定成立的是_. (把所有正确结论的序号都填在横线上,分析】利用SAS证明ABFCBF，从而正确；根据含30角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是 从而正确；进而得出ABF的面积及tanDCF的值，从而判断的正误,解答】四边形ABCD是菱形， AB=BC=6. DAB=60， AB=AD=DB，ABD=DBC=60. 在ABF和CBF中， AB=BC，ABF=FBC，BF=BF， ABFCBF. 故正确,过点E作EGAB，过点

9、F作MHCD，MHAB，如图： CE=2，BC=6，ABC=120，BE=6-2=4. EGAB，EG= 即点E到AB的距离是 故正确,BE=4，EC=2， SBFESFEC=42=21， SABFSFBE=32， ABF的面积为 故错误,故正确. 【答案,2015济宁)如图，在ABC中，AB=AC，DAC是ABC的一个外角. 实践与操作： 根据要求尺规作图，并在图 中标明相应字母(保留作图痕 迹，不写作法,1)作DAC的平分线AM； (2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点 E，连接AE,CF. 猜想并证明： 判断四边形AECF的形状并加以证明,分析】(1)回顾用尺规作一

10、个角的角平分线的方法作出角平分线. (2)回顾用尺规作一个线段的垂直平分线的方法作出线段AC的垂直平分线，先证明四边形AECF为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形AECF为菱形,解答】(1)如图,2)猜想：四边形AECF是菱形. 证明：AB=AC，AM平分CAD， B=ACB，CAD=2CAM. CAD是ABC的外角， CAD=B+ACB， CAD=2ACB, CAM=ACB， AFCE,EF垂直平分AC， OA=OC，AOF=COE=90， AOFCOE， AF=CE. 在四边形AECF中，AFCE，AF=CE， 四边形AECF是平行四边形. 又EFAC， 四边形AECF是菱形,1.(2

11、015历下一模)如图,在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( ) A.ABDC B.OA=OC C.ACBD D.AC=BD,2.(2014历城一模)如图，已知菱形ABCD的对角线AC， BD的长分别为6 cm，8 cm，AEBC于点E，求AE的长,解：四边形ABCD是菱形， CO= AC=3 cm,BO= BD=4 cm,AOBO, BC= =5 cm, S菱形ABCD = =BCAE，即 68=5AE. 解得AE= cm. 答：AE的长是 cm,3.（2015贵州遵义）在RtABC中，BAC=90，D是 BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线 于

12、点F. （1）求证：AEFDEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积,解:（1）AFBC,AFE=DBE. 点E是AD的中点， DE=AE. 又AEF=DEB, AEFDEB,2）点D是BC的中点，BD=DC. 由（1）知AEFDEB， AF=BD, AF=DC. 又AFBC，四边形ADCF是平行四边形. 又在RtABC中，点D是斜边BC的中点， AD=DC, 四边形ADCF是菱形,3）S四边形ADCF =2SADC， SRtABC =2SADC， S四边ADCF=SRtABC= ABAC= 54=10,名师指点】本考点考查正方形的判定及性质运

13、用，正 方形是一类比较特殊的平行四边形，它既具有矩形的性 质，也具有菱形的性质，因此正方形的判定方法和性质 比较多，在解答有关正方形的问题时，要注意根据题干 中提供的条件选择合适的方法,考点3 正方形的性质与判定,2015济南)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相 交于点O，ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点.若AM=2，则线段ON的长为(,分析】作MHAC于点H，由正方形的性质得MAH=45，则AMH为等腰直角三角形，进而 再根据角平分线的性质得 于是利用正方形的性质得 所以 然后证明CONCHM，再利 用相似比可计算出ON的长,解答】作MHAC于点H，如图,四边形ABCD为正

14、方形，MAH=45, AMH为等腰直角三角形， CM平分ACB,BDAC，ONMH, CONCHM, ON=1. 【答案】C,2015日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB=BC；ABC=90；AC=BD；ACBD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是( ) A. B. C. D,分析】A.四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当ABC=90时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误； B.四边形ABCD是平行四边形，当ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，

15、无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项正确,C.四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，平行四 边形ABCD是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故 此选项错误； D.四边形ABCD是平行四边形，当ABC=90时， 平行四边形ABCD是矩形，当ACBD时，矩形ABCD是正 方形，故此选项错误. 【答案】B,1.(2015历城模拟)如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边 在一条直线上，O是EG的中点，EGC的平分线GH过点D，交BE于 H，连接OH，FH，EG与FH交于M，对于下面四个结论： GHBE； 点H不在正方形CGFE的外接圆上； GBEGMF. 其中正确的结论有

16、( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,2.（2015湖北黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若CBF=20，则AED=_度,65,3.(2015市中二模)如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AEEF，EFFC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形的边长为_,4.(2015槐荫二模)如图，现有一张边长为4的正方形纸 片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合) 将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH,1)求证：APB=BPH； (2)当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； (3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S.求出S与x的函数关系式.试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由,解:(1)PE=BE， EBP=EPB. 又EPH=EBC=90， EPH-EPB=EBC-EBP. 即PBC=BPH. 又ADBC， APB=PBC, APB=BPH,2)PHD的周长不变，为定值 8. 证明：过B作BQPH，垂足为Q. 由(1)知APB=BPH， 又A=BQP=90，BP=BP， ABPQBP, AP=QP,AB=BQ. 又AB=BC， BC=BQ,又C=BQH=90，BH=BH， BCHBQH, CH=QH