初中教育几何常见辅助线作法口诀

1、实用标准初中几何常见辅助线作法口诀文档人说几何很困难，难点就在辅助线。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形辅助线，如何添？把握定理和概念。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线, 线段垂直平分线, 三角形中两中点, 四边形平行四边形出现, 平行移动对角线, 等积式子比例换, 斜边上面作高线, 圆半径与弦长计算, 切线长度的计算, 是直径，成半圆, 圆周角边两条弦, 要想作个外接圆, 如果遇到相交圆, 若是添上连心线, 辅助线，是虚线, 等腰三角形来添。 常向两端把线连。 连接则成中位线。对称中心等分点。 补成三角形常见。 寻找线段很关键。 比例中项一大

2、片。弦心距来中间站。 勾股定理最方便。 想成直角径连弦。角平分线加垂线，三线合一试试看。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中有中线，延长中线等中线。梯形里面作高线，平移一腰试试看。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 内外相切的两圆，经过切点公切线。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 假如图形较分散，对称旋转去实验。直径和弦端点连。 各边作出中垂线。 不要忘作公共弦。 切点肯定在上面。 画图

3、注意勿改变。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。作法图形平移腰，转化 为三角形、平行四 边形。A d/VB _ CAE DRGF NC平移对角线。转化为三角形、平行四边形。AD八、EC8CAD=延长两腰，转化为三角形。E a/ d 八C作咼，转化为 直角三角形和矩 形。VC EF C中位线与腰中点连线。B MJ作辅助线的常用方法在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的

4、不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1 : D、E为ABC内两点， 求证:AB+AOBD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交 AB、AC于 M、N ,在AAMN 中，AM+AN MD+DE+NE; （ 1）在 ABDM 中，MB+MDBD ；（ 2）在 ACEN 中，CN+NECE ；（ 3）由（1）+（2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+AOBD+DE+EC（法二：图 1-2 ）延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G,在AABF和AGFC和AGDE中有:AB+AF BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1 ）GF+FO

5、GE+CE （同上）.-.（2）DG+GEDE （同上）：（3 ）由(1) + (2) + ( 3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC 。在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两 点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角 处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1 :已知D为KBC内的任一点，求证：/ BDCZBACo|分析:因为ZBDC与ZBAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/BDC处于在外角的位置，/ BAC处于

6、在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDC是AEDC的外角，zBDC /DEC，同理/ DEC /BAC ,./BDC /BAC证法二：连接 AD，并廷长交 BC于F，这时/ BDF是AABD的外角,/BDF/BAD，同理，/ CDF /CAD , /BDF+ZCDF ZBAD+ /CAD，即：/ BDC /BAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。二、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构 造全等三角形，如：例如：如图3-1 :已知AD为KBC的中线，且/仁 / 73=Z4

7、,求证：BE+CFEF。|分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明， 须把BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知/1= / ,/3= /4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等 对应边相等，把 EN , FN , EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取 DN=DB，连接NE , NF，贝U DN=DC在ADBE 和 ANDE 中：DN=DB（辅助线作法）丿/仁/（已知）ED=ED（公共边）.ZDBE 也 JNDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FNEF （三角 形两边之和大于第三边）BE+CFEF。注意：当证题

8、有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三 角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1 : AD为AABC的中线，且/1= Z2,/3= Z4，求证：BE+CFEF证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM , MF。在ABDE 和ACDM 中，BD=CD （中点定义）/仁Z5（对顶角相等）Ed=MD（辅助线作法）公BDE zCDM（SAS）又/仁 /2,/3= Z4 （已知）Z1+ Z2+ Z3+ 74=180 平角的定义）Z3+ 72=90 即:/EDF=90 /FDM= ZEDF =90

9、 在AEDF和AMDF中ED= MD（辅助线作法）VEDF= ZFDM（已证）BF=DF（公共边）AEDF也 JMDF（ SAS）EF=MF （全等三角形对应边相等）在ACMF中，CF+CMMF （三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。四、在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1 : AD为 ABC的中线，求证：AB+AO2AD。|分析：要证 AB+AO2AD ，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CD A

10、D +AD=2AD ，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去A证明：延长 AD至E,使DE=AD，连接BE, CETAD为AABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在AACD和AEBD中BD=CD （已证）7仁72（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）公CD 也 ABD （ SAS）BE=CA （全等三角形对应边相等）在KBE中有：AB+BEAE （三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD 。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以 为直角边各向外作等腰直角三角

11、形，如图EF=2AD。例如：已知如图6-1 :在 AABC 中，ABAC，/仁Z2 , P为AD上任一点求证：AB-AOPB-PC。分析：要证:AB-AOPB-PC ，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于 AC，得 AB-AC=BN再连接 PN，贝U PC=PN，又在 PNB 中，PB-PNBN即: AB-AOPB-PC 。证明：（截长法）在AB上截取 AN=AC 连接PN , 在APN 和APC中AN=AC （辅助线作法） *= Z2 （已知）AP=AP （公共边）.念PN也ZAPC （SAS）

12、, PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边 ）AB-AOPB-PC 。六、延长已知边构造三角形:五、截长补短法作辅助线。例如：如图7-1 :已知AC=BD , AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD=BC分析：欲证 AD=BC，先证分别含有 AD , BC的三角形全等，有几种方案： ADC与厶BCD，AOD 与BOC，ABD 与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA , CB,它们的延长交于 E点,T

13、AD丄AC BC丄BD（已知）ZCAE= ZDBE =90 （垂直的定义）在ADBE与CAE中彳DBE= /CAE （已证）Bd=ac （已知）ZE= ZE （公共角）ZDBE 也/CAE（ AAS ）ED=EC EB=EA （全等三角形对应边相等）ED- EA= EC- EB即：AD=BC 。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1 : AB /CD , AD /BC 求证：AB=CD分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC （或BD）TAB /

14、CD AD /BC （已知）O等） Z= Z2,Z3=Z4 （两直线平行，内错角相在ABC与MDA中,（已证）OD=OD（公共边）Z3=（已证）XBC /CDA（ASA ）AB=CD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 :在 RtABC 中，AB=AC , ZBAC=90 ,Z= Z , CE丄 BD 的延长于实用标准要将/1= Z2（已知）求证：BD=2CE|分析:要证BD=2CE，想到要构造线段 2CE , 同时CE与/ABC的平分线垂直，想到其延长。证明：分别延长 BA，CE交于F。BE丄CF（已知）ZBEF= /BEC=90 （垂

15、直的定义） 在BEF 与 ABEC 中,BE=BE （公共边） 曲EF= ZBEC （已证）/ZBEFzBEC（ASA）CE=FE= -CF （全等三角形对应边相等）2VZBAC=90 BE 丄 CF （已知）ZBAC= ZCAF=90 Z1+ ZBDA=90 Z+ ZBFC=90ZBDA= ZBFC在ABD与AACF中ZBAC= ZCAF（已证）/bDA= ZBFC（已证）AB=AC（已知） ZABD zACF（AAS）BD=CF（全等三角形对应边相等）BD=2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1 ; AC、BD相交于0点，且AB=DC , AC=BD，求证：/ A

16、=ZD。分析：要证/ A= ZD，可证它们所在的三角形 ABD和厶DCO全等，而只有 AB=DC 和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC ,AC=BD，如连接 BC,则 ABD和ADCO全等，所以，证得Z A= ZD。证明：连接 BC 在AABC和ADCB中AB=DC（已知）AC=DB（已知）文档图10 1实用标准文档BC=CB（公共边）./ABC BJDCB （sss）么=ZD（全等本角形对应边相等）取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1 : AB=DC，ZA= ZD 求证：Z ABC= ZDCB。 分析：由 AB=DC , ZA= ZD，

17、想到如取 AD的中点 N，连接 NB , NC ,再由 SAS 公理有 ABN 也zDCN ,故 BN=CN , ZABN= ZDCN。下面只需证Z NBC= ZNCB，再取BC的中点 M，连接MN ,则由SSS公理有 NBM也/CM，所以Z NBC= ZNCB。问题得图111证。AD , BC 的中点 N、M，连接 NB , NM , NC。贝U AN=DN,BM=CM ，在ABN 和 /DCN 中l=DN i= ZD =DC（辅助线作法）（已知）（已知）z.ABN /DCN(SAS)ZABN= ZDCN NB=NC(全等三角形对应边、角相等)在ANBM与ANCM中B=NCM=CMM=NM（

18、已证）（辅助线作法）（公共边） ZNMB 也/CM , (sss) ZNBC= ZNCB(全等三角形对应角相等) ZNBC+ ZABN = ZNCB+ ZDCN即ZABC= ZDCB。1圆中作辅助线的常用方法：（1 ）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2 ）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，禾U用垂径定理的推论得出结果。(3 )若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。(4 )连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。(5 )若题中有与半径(或直径)垂直的线段，如图1，圆0中，BD丄OA

19、于D，经常是： 如图1 (上)延长BD交圆于C,利用垂径定理。 女口图1 (下)延长 A0交圆于E,连结BE, BA，得RtABE。图1 (下)图 1 （上）(6)若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，(7 )若题目中有“两圆相切”(内切或外切)，往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线(连心线过切点)以沟通两圆中有关的角的相等关系。(8 )若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。(9 )有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。(10 )对于圆的内接正多边形的问题，往

20、往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。* 0例题1 :如图2，在圆0中，B为叩的中点，BD为AB的延长线，/ OAB=50 ,求ZCBD 的度数。解：如图，连结 OB、0C的圆0的半径，已知/ OAB=50 -B是弧AC的中点弧 AB=弧 BCAB=BC又OA=OB=OC AOB 也OC （S.S.S）zOBC= /ABO=50 0/ABO+ ZOBC+ /CBD=180 0zCBD=180 0 - 50 0- 50 0zCBD=80 0答:ZCBD的度数是80 0.例题2:如图3,在圆O中，弦AB、CD相交于点1数=（弧AD+弧BC）的度数。2证明：连接 ACU/DPA= ZC+ ZA1

21、zC的度数=一弧AD的度数21ZA的度数=弧BC的度数21zAPD=（弧 AD+ 弧 BC）的度数。2一、造直角三角形法交O O于D,过D作O1. 构成Rt 常连接半径例1.过O O内一点M，最长弦AB = 26cm,求AM长；2. 遇有直径，常作直径上的圆周角例2. AB是O O的直径,AC切O O于A,CBO的切线，交AC于E.求证:CE = AE;3. 遇有切线，常作过切点的半径例3 .割线AB交O O于C、D,且AC=BD,AE 切O O于E,BF切O O于F.求证:ZOAE = ZOBF;4. 遇有公切线，常构造Rt 斜边长为圆心距，一直角边为两半径的差，另一直角边为公切线长) 例4 .小 O Oi与大O 02外切于点 A,外公切线BC、DE分别和O Oi、O O2切于点B、C和 D、E,并相交于 P,/P = 60 。求证：O Oi与O 02的半径之比为 1 : 3 ;5 .正多边形相关计算常构造Rt 例5. O 0的半径为6,求其内接正方形 ABCD与内接正六边形 AEFCGH的公共部分的面积二、欲用垂径定理常作弦的垂线段 例6. AB是O 0的直径,CD是弦,AE丄CD于E,BF丄CD于F.(1)求证:EC = DF;若AE = 2,CD=BF=6, 求O O的面积；三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例7. AB是O O直径，弦CD丄AB,M是Ac