大变形问题的基本方程

1、2.应变度量代入（1式得第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法） 5-1物体的运动分析和应变度量严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。但在小变形情 况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满 足工程要求。而研究大变形物体的变形过程一必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。研究方 法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步建立它的增量运动方程一一即 变形体质点的运动规律。要选取某一坐标系：初始（initial）坐标系；相邻（adjacent, neighboring）坐标系；瞬时（current）坐标

2、系1. 物体运动方程：物体构形（configuration） 一点P的增量运动方程。选择两个固定坐标系，以t时刻物体构形作为参考构 形的坐标系ai,以/+时刻物体构形作为参考构形 的坐标系Xi研究（7T7+M）具有普遍意义/.时刻 %）;t+d 时刻 PV；）t增量步，P的变形(1)研究心时间步物体一点P的变形。最简便的办法是 将两个坐标系重合在一起。研究P点附近线素变形在FT7+&时间步西T陀线素变形将叫在勺坐标系中，在P点处作一阶泰勒展开并考虑到（dij= O得du. = # das同理将州在Xi坐标系中，在P点处作一阶泰勒展开，并考虑到（冋）p = 0得代入（1）,式du血=_訂心附：若

3、位移I心是坐标的单值连续函数，则可在空间中P点处展成泰勒级数du. = (dui)p +电呦+竺血+些血=da da2 da3 丿 dx.d旳=(“ +dux . dux . du.-da. + dg + del.、da da2 da3du. . , du. du.da. da da.血=（如“ +如呦+些血+些肋 da da2 da36ch代入（1）式dxi = dai + duicla写成量形式:同理若将位移血在形坐标系中，点处展成泰勒级数并取一阶项:殂血+殂弘+竺加= 0时，和=0。因 此，线性应变理论不适用于大变形状态。3、关于相对位移量和不对称性在a坐标系下，表示位移dtif ,则d

4、u, = -da： = u, :da：,其中u, =-称相对位移利 7 冲7M 利量,即dudu.daxda.厶dayda.1dihdudity1du1=JJ. = J. = 12）3）oni dui _ duk duk同理,6a j dada da将（2Y代入（5T(跻(dS)2(dSj =dx心厂血心：=(竺+学+字竺)敗心 CXj oxi cxi cxj将(8)和(8)，代入(5)和(5)得&=丄(些+些+些吨)2 da, da： da, da:统一表示为：Eij(or ei) = |(Uij + u戸 +(10)(10)式恰好反映了 /增量步，线素P0 (P点)的应变量，坊是以f时刻的

5、物体构形为参考构形建立的坐标系来描述的，而切是以/+/时的坐标描述的。前者称为Green应变，取相对坐标系。后者称为Almansi应变，取即时坐标系。 讨论：如果将初始构形心和变形后的构形兀看作是同一构形，即变形比较小，且位移的一阶导数项竺(竺)也比较小，则可认为平方项(如坐)趋近于零，那么(9)式 da. ox如 odj和(9)，式就完全相同。和切退化为通常的线性应变。5-2物体一点的应力度量引言：就应力的概念而言，是定义在变形物体所处平衡状态的一点位置上的。也就是 定义在某一时刻的物体位形上。由于上面应变是定义在不同构形所相应的参考坐标系下， 所以应力在不同坐标系下也有多种应力表示。设力向

6、量戸表示作用在物体处于某一平衡位形下，微面积ds上的合力，在直角坐标 系下尸的各分量为耳(i=l, 2, 3)，微面积ds的外法线方向上单位向量;i,各分量h为 外法线的三个方向余弦。该点应力向量定义为：cr = lim ods1、Euler 应力(True stress)该应力时定义在变形后的物体微面积ds上，用勺表示则山Cauchy公式得：dPj = bj jds(13)该应力和Almansi应力相对应 分量形式：=(a1I/1 + 712/2 +(T13/3)j5* dP2 =(+ Lagrangion 应力(nominal stress) (1th Pida-kirchhoff)把变形

7、后微面积ds上的应力，定义在变形前的微面积ds。即用初始坐标系来表示。将ds 上的力dPi,转向初始位形相应的微面积dSo,而在转换过程中保持力的大小和方向不变。力平移 jpoi = dp(14)并在初始微面积上定义(15)即将物体变形后微面积ds的应力用初始位移下相应微面积ds上的力来表示。称为Lagrange 应力。3. Kirchhoff 应力(back transformed stress)(2nd pida-Kirchhoff stress)(16)将变形后物体微面积ds上的合力dPi,按照量变换，转换到初始位形的相应微面积ds。上， 而不是平移。则矶=hdPJ (= IJjnnn)

8、其中.=cos(xp.) = 在初始构形的微面积上，定义应力Sij称为Kirchhoff应力OtI) OJ o(17)附：关于方向余弦lij量定义x, =hjaj ；厶是不对称量。例在二维平面中alox = OA + Ax=oa cos a + p cos 0 dax dax= oax Ldx dx2Ie.x=alu+a2ll2da da4 Euler应力、Lagrangion应力和Kirchhoff应力之间的关系 将(15), (16)式代入(17)式得：利用变形过程中微元的质量不变条件daP&S = Pq 訂 G 心)其中几和Q分别为初始和变形后的密度将(19)式代入(13) (14)式由

9、(13)式右端二(14)式右端得6声=Vo声由(19)*s =匹叫“sP两(21) 式代入(20)得：b 匹 = T(22) 式代入(18)式S/ojds = 4-耳召匚 hjds。斯 I P斯丿s厂乩也(23) P(18)(19)(20)(21)(22)以上(18) (22) (23)式给出了三种应力之间的关系。上述关系中勺为Eulei应力是对称的。口为Lagrangion应力是不对称的，因为力是通过向量平移过来的。 Sij为Kirchhoff应力是对称的，因为力是通过向量转换过来的。 5.3大变形过程中弹性本构方程这里仅讨论单纯的儿何非线性问题，而材料本构方程仍为弹性的。需要注意的是在不

10、同的坐标系下，采用相应的应变和应力来表示。即在当前构形的坐标系下，釆用Euler和Almansi应变在相对（参考）构形 采用Lagrangion应力和Green应或釆用Kirchhoff应力和Green应变 设变形体在无热交换的保守系统中，物体处于平衡状态下，由本构关系% = “陶弹性阵卩川有岁个）个）系数（24）将上面关系式（12） （22）和（23）它们分别给出了 旬;珀中和山w之间的关系。代入（24）式可得：几=D爲qEpq（25）和Smn = D 阳 pq Epq（26）其中:D爲Q =鲁 5 牛|非对称弹性阵D：U =乩莖些久並並对称弹性阵p da dat dak daL 5.4 L

11、agrangion坐标系下的有限元列式推导釆用拉格朗日法是以某一已知位形位参考位形建立的坐标系，它釆用的是个Green应 变和2nd pida-Kirchhoff应力来描述儿何物理和平衡方程。在釆用增量发求解的过程中，把每个载荷步看成是变形过程中的各个时间增量步，即 每个增量步上都对应物体的一个构形。在L氏表示中，若一初始构形做位参考构形的称为 全局的拉格朗日表示法（Total-Lagrangion）,若以前一个相邻的构形作为参考构形的则称为 修正的 Lagrangion 表示法（Update-Lagrangion）1、T.L表示 （讨论t t+At增量步）设变形体在（时刻的状态是已知的，即相

12、对于初始坐标下的各力学量（位移、应变和 应力是已知的），现在要求在某一增量载荷作用下的增量位移、应变、应力等。1）增量形式的几何关系及其变分形式a）增量儿何关系 设t和t+At时刻的Green应变詁（叫j+5+唤呢）（28）设At时间步的增量位移和增量应变为和厶Etj(29)t+At时刻的应变量县可用t时刻的位移和位移增量表示(30)=I兽仏7)诗心M)诗血+M)鲁仏+M) J111/2空6兀dxi dxW =e _E =-| 巩G | 加农(你)| 6(你)加(你)6(s)9 - u 2|_ 叽记为dxi dxfixj dxXj3xQx jAE. =E.-Etj= +AE, + 畔(31)(

13、32)式中矿=-+2 dx.dx. j 1 duk 6你dukdSuk- :-1 :-2 dx： dx：dx：dx：*jj*_ 1 沁 iq 沁 ig 2(33)dx. dx.1 j /(33)式中第一、二式是未知增量位移的线性项，而第三部分是非线性项。在有限元计算常 写成矩阵形式：E = AElo + AEZJ +(3纣且 AE/0 = LAU , AEZ1 =-AAO + -SA0 f2 2AL2(33)在三维空间中:U = hhw2,w3 (34)dx0ddx20ddxyddxd(35)dudx2dudxydx30dxydxi0dxydu7ox2ondxsduTOAS6,OX)onOAj

14、(36)0(37)6(加)丁dxx6(M)Tdxo(Aw)r6(沙dx36(M)Tdx30(況av36(加)丁dx2dx2a(Aw)rdu汕dxdxxduJ (37), & = dudxxdx2dudSudx.3.(36几 0 =设：O = HUH=若单元位移插值函数u=NqddxddxiddV|ddx3(38)厶为3X3的单位阵则二 NAqA 0= HAu = HNAq = GAq 令：G = HN以上公式代入(32一(33(39)(40)可得: = Lu = LN q =(41)AEyj = A + ! AA& = AGzXq =2 2(42)AEV/ = AA & = AAGAq = B

15、nSq2 2(43)这里：B； = LN(41)，B；严 AG(42)，BG(43)，回代(32)，可得：AE = (B；o + B；i + B；J q(44)令AE = BSq(45)此时(46)b.增量儿何关系的变分形式(46)式反应了在At增量步应变增量和位移增量间的儿何关系。因为在以后研究没已增 量步的平衡关系时，需要利用能量变分原理；故下面推倒其变分儿何关系。即汉比“)=B3(M)B()= B；=BlA = B；a(47)(48)J(AE) = %()J(AE/iL) =-AA-A + -AA J(A9) 2 丿 2 2=AA-J(A) = AAGJ(A7)= 2B；Qq)* SNL

16、 = -AAG令BnL = 2B；iL得 5(AJ = 83(&/)于是5 AE = (B；()+ Bl + 3；z) 5 ()(49)(50)设B = B + BL + Bnl最后得At增量步增量儿何关系的变分形式:5AE = B5(X)2)增量平衡方程和切线刚度矩阵(1) 增量平衡方程(2) 切线刚度矩阵在步釆用能量变分原理，可写出t+At时刻的平衡方程式: Br SdV= f NrF()dV + f 屮AVo%设上式右端项=p,即为单元的等效节点力向量；左端： J Br SdV = 0(S + AS)% = J BrSdV + JBTSdV将式：B = BL. + BL+BNL代入可得j Bt SdV = j(3： + B； JSdV + JBSdV + JBTASdVK.v(l%、 z、_/ f、f_、ZI11III令 1 = R,SJ3 S2】3 SH3n = KQq 其中：K = JGrMGdV ； M =S2J3 *22】3*23【3VOP3J3S33I3DI = j B儿何关系（增量儿何关系及其变