数值分析作业答案

1、第2章插值法1、当x=1, -1 , 2时，f(x)=O , -3 , 4,求f(x)的二次插值多项式(1) 用单项式基底。(2) 用 Lagrange 插值基底。(3) 用 Newton 基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：(1)用单项式基底22X。2X1设多项式为：P(x) ao ax a?x ，1x所以：A1x11x2f(Xo)Xo2Xo1Xo2Xof(xjX2X11X12X1仏)X22X2/1X22X2x。2X。2Xo0 13 1421111 12 4146f(x。)f (xj11x112X12X11Xof(Xo)1Xo2Xoa21X1f(xj1X2X11X2f(X2)/1X2

2、2X2f区)X22X22X2111/!7 35 2所以f(x)的二次插值多项式为：P(x)X X3 26(2)lo(x)用Lagrange插值基底1)(x2)(xX1)(XX2)(x(XoX1)(XoX2)(11)(12)h(x)(xXo)(XX2)(x1)(x2)(X1Xo)(X1X2)(11)( 12)l2(X)(XXo)(XX1)(x1)(x1)(X2Xo)(X2X1)(21)(21)Lagrange插值多项式为：L2(X)f(Xo)lo(X)f(Xi)li(X)f(X2)l2(X)110 ( 3) -(x 1)(x 2) 4 -(x 1)(x 1)635 2 37X x -6 2373

3、5所以f(x)的二次插值多项式为：L2(x)7-x-x2326(3)用 Newton 基底：均差表如下：Xkf(X k)一阶均差二阶均差1P 0-1-33/2247/35/6Newton插值多项式为：N2(x) f (X0) fX0,X1(X X。)fX0,X1,X2(X Xo)(X Xj350 (x 1) (x 1)(x 1)265 2 37x x -6 237 35 2所以f(x)的二次插值多项式为：N2(x)x x3 26由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。&在4 X 4上给出f(x) eX的等距节点函数表，若用二次插值求eX的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的

4、步长h应取多少? 解：以Xi-1 ,X i,X i+1为插值节点多项式的截断误差，则有R,(x)1f ( )(X Xi 1)(X Xi)(XXi 1),(X 1,X 1)式中 xi 1x h,xi 1 x h.R2(x)6e4xmXaXl(X (x Xi)(x X1)6334令h310 6得 h 0.006589.3插值点个数4 ( 4)11216.8 1217N 1是奇数，故实际可采用的函数值表步长4 ( 4)8h0.006579N 112168、f(x) x7 x43x 1，求 f20,21, ,27及 f20,21, ,28。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：f(n)()fx,

5、X1, ,Xn,a,bn!所以有：吃影1,27 f 。 17!7!f20J,28牛鲁 015、证明两点三次Hermite插值余项是R3(x)f ()(x xQ2(x Xk1)2/4!,(XkXj并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明：利用Xk，Xk+1上两点三次Hermite插值条件H3(xQ f (Xk), H3(Xk 1) f (Xk 1)H3 (Xk) f (Xk),H 3 (Xk 1) f (Xk 1)知R3(x)f (x) H3(x)有二重零点Xk和k+1。设R3(x) k(x)(x Xk)2(x Xk 1)2确定函数k(x):当x xk或Xk+1时k(x)取任何有限值均

6、可；当X Xk, Xk 1时，X (Xk, Xk 1)，构造关于变量t的函数g(t) f (t) H3(t) k(x)(x Xk)2(x Xk 1)2显然有g(xQ 0, g(x) 0,g(XkJ 0g (xj 0,g (Xk i) 0在xk,xx,x k+i上对g(x)使用Rolle定理，存在1(Xk，x)及 2 (x ,Xk i)使得g ( i) 0,g ( 2) 0在(xk，1) , ( 1, 2) , ( 2,Xk 1)上对 g (x)使用 Rolle 定理，存在(Xk, i),k2 ( 1,2)和 k3 ( 2，Xk 1 )使得g ( ki) g ( k2) g ( k3)0再依次对

7、g (t)和g (t)使用Rolle定理，知至少存在(x-x)使得g(4)( ) 0而 g (t) f(4)(t)k(4)(t)4!，将 代入，得到1k(t) - f (4)( ), (Xk,Xk 1)4!推导过程表明依赖于Xk,Xk 1及X综合以上过程有：R3(x)f(4)( )(x Xk)2(x Xk i)2/4!确定误差限：记lh(x)为f(x)在a,b上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。Xka kh, (k 0,1, n), h在区间X k，Xk+i上有f(x) Ih(x)f(4)( )(x Xk)2(x Xk 1)2 /4!1 max4! a X b(x) max (x

8、xk)2 (xXk X 为 1Xk i)2而最值 max (x xk)2(x xk 1 )2xk x xl 1进而得误差估计：f (x) Ih (x)max s2 (s 1)2 h4 h4, (x xk sh)0 s 1 16h4 max f (4)(x)384 a x b16、求一个次数不高于4次的多项式p(x)，使它满足p(0) p (0)0，p(1)P(1) 0，p(2) 1。解：满足 H3（0） H3（0） o, H3（1） H3（1）1 的 Hermite 插值多 项式为(Xo0, Xi1)1Ha(x) H3(Xj)aj(x) H3(Xj) j(x)j 0(x 1)202x1 设 P

9、(x) H3(x) Ax2(x 1)2，令 P(2)1 得 A -4于是P(x) 2x2 x3 -x2(x 1)21 x2(x 3)244第3章曲线拟合的最小二乘法解：经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型sa bt, span1,t ，16、观测物体的直线运动，得出以下数据:i012345时间t/s0距离s/m010305080110求运动方程。计算离散内积有:1,1512j 01,t5tjj 00 0.9 1.93.03.9 5.0147t,t5t2j 0020.921.923.023.925.0253.631,s5Sjj 010 30 5080110 280t,s5tjSjj 0

10、0 0.9 101.930 3.0 503.9 805.0 110 1078求解方程组得:614.728014.7 53.631078a7.855048,22.253761解:spa n1,x2计算离散内积有:1,1412j 05,1,x42Xjj 0192 252 3平 382 4425327x2,X；j 0194254 314384 44472776991,yy 19.0 32.3 49.073.3 97.8271.42x ,y42Xjyj19219.0 252 32.3 31249.0 382 73.3 442 97.8 3693215运动方程为：s 7.855048 22.253761

11、平方误差：2522sjs(tj)2.1 102j 017、已知实验数据如下:i01234X1925313844Y用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式，并计算均方差j 0求解方程组得：55327a271.45327 7277699b369321.5a 0.972579，b0.050352所求公式为：y 0.972579 0.05035x14 2 2均方误差：y(Xj) yj0.1226j 0第4章数值积分与数值微分1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精 度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) f(x)dx A1f ( h) Agf(0) A

12、f(h)；h2hf(x)dx2hAfh) A0f(0) AJ(h)；(3)11 f(x)dxf( 1)2f(xJ 3f(X2)/3 ；h0 f(x)dxhf(0)f(h)/2 ah2 f (0) f (h)。h解：(1) hf(x)dx Aif( h) Aof (0) Af(h);将f (x)1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等，得hA1 AJdx 2hhhA i 0 Ao hAixdx 0hh2h2A 1 Ao 0 h2A|x2dxh3h3解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于 故hhf(x)dx 3f( h) 4hf(0) hf(h)具有3次代数精确度2h(2)2h f(x)d

13、x A1f( h) A0f (0) Af(h)f (x) 1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等，得2hA0 A11dx 4h012hhA10 A。2hhAxdx 02h(h)2A1 A0 0h2A12h x2dx2h2h1 3x32h解得：a 1 a h, A032h令 f (x) x3，得x3dx2h/2h /令 f(x) x，得 2hxdx4h3c 8h /0 8h(5 2hx5 2hh)38h3h3 0如8h( h)4型曲5333故求积分公式具有3次精确度1(3)f (x)dx f ( 1) 2f(xJ 3f (x2)/31当f(x) 1时，易知有11 f (x)dx f( 1)

14、2f(xJ 3f(X2)/3令求积分公式对f(x) x, x2准确成立，即1xdx 01x2dx则解得X20.2898979亠为 0.6898979或0.5265986 沁 0.1265986将f (x) x3代入已确定的积分公式，则11 f (x)dx f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/3 故所求积分式具有2次代数精确度。h(4)0 f (x)dx h f (0)2f (h)/2 ah f (0)f (h)当f(x) 1,x时，有h1dx0h1 1/2 ah200xdx h0h/2 ah211故令f (x) x2时求积公式准确成立，即h 2 2 20 x dx h0 h /2 ah 02

15、h解得a 。12将f (x) x3,x4代入上述确定的求积分公式，有h 3x3dx4hxh0040h 4 .x dx5 xhh00503122h3/2h20 3h2121h4/2h20 4h412故所求积公式具有3次代数精确度2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分1 x(1) 2dx ,n 8;04 x2(2) 1 ,xdx ,n 4;(3)6204 sin d ,n解(1)复化梯形公式,T8h7-f(0) 2f(xk)2k 10.1114024复化辛普森公式,S6f(0)4f(Xk1)4f (xk)f(1)k 02k 1h32 ,T4f(1)2f (Xk)f(9)2k 133f(1)4f

16、W1)4f (xk)f(9)k 02k 1h5,T6f(0)2f (xk)f (-362k155f(0)4f(xk1)4f (Xk)f (-k 0k2k 1677(2)h(3)h$ hs 6h60.111571817.306000516.72375051.03576391.03568415、bf (x)dxa推导下列三种矩形求积公式：4(b2Sb2b) f ()ba f (x)dxba f(x)dx(b(ba)f(a)a)f(a)a)2 ；a)2 ；a)f(a2 24 (b a) 0解：(1)左矩形公式，将f(x)在a处展开,(bf(x) f (a) f ( )(xa),(a,x)两边在a,b

17、上积分，得bbbf (x)dx f (a)dx f ( )(x a)dxaaab(b a) f (a) f ( )(x a)dxa2由于x-a在a,b上不变号，故由积分第二中值定理，有(a,b)bf (x)dx (b a) f (a) a从而有ba f (x)dx (b a) f (2)右矩形公式，同(bf (x)dx (b a) f abf( )a(Xa)dx(3)中矩形分式，将12 f ( )(b1)，将 f12 f ( )(b2a) ,(a, b)(x)在b点处展开并积分，得a)2,(a,b)f(x)f(两边积分并用积分中值定理，得b f(x) a /)f(af(x)在处展开，得2F)(

18、x )f ( )(xa b)2(a,b)f(2)(b a) f ()(x )2dxb)(ba)bf ( ) (xaf(兮)(ba)丄 f ( )(b24a)3,(a,b)6若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分10exdx，问区间0,1应分多少等份才能使截断误差不超过 -10 5。解：由于 f(x) exf (x)f(4)(x),bb a 2 rR f12 h f()由复合梯形公式的余项有:丄12105解得n 212.85可取n 213由辛普森公公式的余项有：尺fb ah4f(4)()2880解得n 3.707可取n 42880“41058、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过1

19、0 5(2) xsin xdx ;018、用三点公式求f(x)(乙在x1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。的(3) q x . 1 x2dx。hn 1Tn - f(X。)仁召)2f(Xj ,k 0解:(1)Tk(k)2k4kT (k 1) T (k 1)22,k 1,2,3丄4k 1kTn(k)T0(k)T1(k)T (k)I 20n 1Tn(0)- f(X。)f(Xn) 2 fg2i 11T(1) 4T2n(0) Tn(0)n4 1242 t (1) t (1) T (2)4 I2nInTn.2.41343T T 丁 4 12nIn1 n341kT0(k)T1(k)0*10-61*

20、10-7*10-21值由下表给出:xf(x)解：三点求导公式为f(X。)12h3f(x。) 4f(xJf(X2)3(o)f (Xi)12hf (Xo)f (Xi)6(i)1h2f(X2)不 f(Xo) 4f(Xi) 3f(X2) Tf (2)i(XoX),i0,1,2取表中x 1.0,1.1,1.2，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。由于f ( i)maxf (X)4!250.75X三点公式误差理论解1.0 x 1.2从而可求得误差上限与导数值如下:数值积分法,令(x) f (x)，由Xk 1f(Xk 1)f (Xk)(x)dx对积分采用梯形公式，得2(Xk)(Xk 1)(Xk 1

21、Xk )3-1-(k), k(xk,Xk1)令 k=0；1,得(X)(G2hf (X1)f (X0)2(X1)(X2)hf (X2)f (X1)同样对Xkf (Xk 1) f (Xk)Xk 1f (Xk 1)f (兀 1)Xk 1(x)dxXk 1f(Xk1)k 1(xk 1)(xk 1)(兀 1 XkJ312(k ), k ( Xk 1 , xk 1)从而有1(Xo)(X2)f(X2)f(Xo)h代入数值，解方程，即得(xjk 0,1,2如下X三点公式误差理论解第5章解线性方程的直接方法7、用列主元消去法解线性方程组12x-| 3x2 3x31518x1 3x2 x315X1X2X3并求出系

22、数矩阵A的行列式的值X38、1215183, X2182276615 :311518311577173115 :0361867173100226661867718002,X11用直接三角分解求线性方程组的解。k 1解：由公式111X1X2X3456111X_X2_x3451X1X22X3988U1ia1i(i1,2,L , n),S 不/ 2,3丄,nr 1UriarilrkUki,i r, r 1丄，n;nA LU41 0 03236 1060451315b LY1 0094-10 Y 8382 36 19111456UX011X Y60451300154154X1227.08, X2 476.92, X3177.6994154lir (air likUkr)/Urr,i r 1,L ,n丁 n 知 k 111145631