数形结合的思想方法

1、数形结合的思想方法每一个几何图形中都蕴藏着一左的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观 性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的在联 系，将数的问题利用形来观察，提示英几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代 数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题 思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起 来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方而，其应用 大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直

2、观性来阐明数之间的联系，即以形作为手 段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质：或者是借助于数的精确性和 规严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地 阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想 分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的 代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析英几何意义又分析其代数意义：第二是恰当设 参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化

3、：第三是正确确定参数的取 值围。一、解题方法指导1. 转换数与形的三条途径： 通过坐标系的建立，引入数疑化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为 勾股左理或平而上两点间的距离等。 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2. 运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： “由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关 系，反映几何图形在的属性。 “由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映岀它们 相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 “数形转换”：就是根据“数”与“形”既对

4、立，又统一的特征，观察图形的形状, 分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。二、数形结合的思想方法的应用（一）解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐， 求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结 合起来，达到研究、解决问题的目的.1. 与斜率有关的问题【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(-L 1), Q(2, 2) 若直线1 : x+my+m=O与有向线段PQ延长相交，数m的取值国.解:直线1的方程x+my+m=O可化为点斜式:y+l=- (x-0

5、),易知直线1过定点M (0, -1),且斜率为 1与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线1的斜率 趋近于最小：当过点M、Q时，直线1的斜率趋近于最大.2-1_ 1、 _ 2-(-1) _3纸一 2-(-1厂丁吨一_T*设I的斜率为血，由得-【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程. 本题是化为点斜式方程后，可看岀交点M(0,-1)和斜率此类题目一般结合图形可 判断出斜率的取值围.2. 与距离有关的问题【例 2】求：y= (cos0-cosa+3) 2+ (sm0-sina-2) ?的最大(小)值.【分析】可看成求两动点P (cosO,

6、 sm0)与Q (cosa-3, srna+2)之间距离的最值问题.解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=l和(x+3) 2+ (y-2) 2=1,转化为求两曲线上两点 之间距离的最值问题如图：3. 与截距有关的问题【例3】若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值用.解：曲线“是单位圆x2+y2=l的右半圆(xR) , k是直线y=x+k在y轴上的截距.由数形结合知：直线与曲线相切时，k=,由图形：可得k=,或-lkl.4. 与定义有关的问题【例4】求抛物线y2=4x上到焦点F的距离与到点A (3, 2)的距离之和为最小的点P 的坐标，并求这个最小值.【分析】要求PA+PF的最小值，

7、可利用抛物线的立义，把PF转化为点P到准线的距 离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题.解：P是抛物线yL4x上的任意一点，过P，作抛物线的准线1的垂线，垂足为D,连 PT (F为抛物线的焦点)，由抛物线的泄义可知：过A作准线1的垂线，交抛物线于P,垂足为Q,显然，直线AQ之长小于折线APD 之长，因而所求的点P即为AQ与抛物线交点.V AQ直线平行于x轴，且过A (3, 2),所以方程为y=2,代入y?=4x得x=l. P (1, 2)与F、A的距离之和最小，最小距离为4.【点评】(1)化曲线为直线是求距离之和最有效的方法，在椭圆，双曲线中也有类 似问题.（2）若点A在抛物线外，则点P即为

8、AF与抛物线交点（分AF）.（二）数形结合在函数中的应用1.利用数形结合解决与方程的根有关的问题方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的 解决得到简化.【例5】已知方程x2-4x+3=m有4个根，则实数m的取值围.【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化 为求两条曲线的交点的个数问题来解决.解：方程xMx+3=m根的个数问题就是函数y=xMx+3与函数y=m图象的交点的个数.作出抛物线y=x2-4x+3=（ x-2 ）2-1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去,得到y=x2-4x+3 的图象，再作直线尸m,如图所

9、示：由图象可以看出，当0ml时，两函数图象有4交点, 故m的取值I围是（0, 1）.数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题 的前提.2.利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的一条重要性质，也是髙考中的热点问题之一在解决有关问题时，我 们常需要先确左函数的单调性及单调区间，数形结合是确左函数单调性常用的数学思想，函 数的单调区间形象直观地反映在函数的图象中.【例6】确定函数=的单调区间.画岀函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为（。，0 ,1, +0 ,函数的单调递减区间为0, 1.3. 利用数形结合解决比较数值大小的问题【例7已知立义在

10、R上的函数y=f （x）满足下列三个条件：对任意的XGR都有f （x+4）=f(X):对任意的0xiX22,都有f (Xi) f (X2):y=f (x+2)的图象关于y轴对 称.则f (4.5) , f (6.5) , f (7)的大小关系是.解：由：T=4：由：f(x)在0, 2上是增函数；由：f (一x-2) =f(x+2), 所以f (x)的图象关于直线x=2对称.由此，画出示意图便可比较大小.显然，f (4.5) f (7) f (6.5).4. 利用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题，是高考中的难点利用数形结合常能使 我们找到解决此类问题的捷径.【例8

11、】设f (x) , g (x)分别是泄义在R上的奇函数和偶函数，在区间a, b (ab0,且 f (x) -g (x)有最小值一5 .则函数y=f (x) -g (x)在区间b, -a上().A. 是增函数且有最小值一 5B. 是减函数且有最小值一 5C. 是增函数且有最大值5D. 是减函数且有最大值5【解析】f (x) g (x) +f (x) g (x) = f (x) -g (x) f0.y=f (x) -g (x)在区间a, b (ab0)上是增函数，又V f (x) , g (x)分别是泄义在R上的奇函数和偶函数.y=f (x) -g (x)是奇函数.因此它的图象关于原点对称，作出示

12、意图，易知函数y=f (x) -g (x)在区间-b, -a上 是增函数且有最大值5,因此选C.(三) 运用数形结合思想解不等式1. 求参数的取值围【例9】若不等式ax的解集是x|(Xxax的解集是x|(Xx4,即要求半圆在直线的上方，由图可知a0,所以选C.【点评】本题很好的体现了数形结合思想在解题中的妙用.【例10若XG ( 1 , 2)时，不等式(x-1) 2logax恒成立，则a的取值围是()A. (0, 1)B. ( 1 , 2 )C. ( 1 , 2D. 1 , 2 解：设 yi= (x1) 2 (lx2) , y2=logax.由图可知若yiy?(lxl.yi=(x-1) 2过(

13、2 , 1 )点，当y2=logax也过(2 , 1 )点，即a=2时，恰有屮今?(lx2). 1迟2时(x-1) 20), 那么不等式xf(X)0的解集是().A. xlOxaB. xl-axaC. xl-axaD. xlx-a 或 0x0),可得到f(x)图象，又由已知xf (x) 2的取值用.【解法1】由f (x) 22得222 = 2.)二|幻|-|乍-I-2)二 2x知总-【点评】本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的 解集直观地表现岀来，体现出数形结合的思想，给我们以“柳暗花明“的解题情境.(四) 运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年的高考试题，巧妙地

14、运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化 计算，宵省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.【例13】函数f (x) =sinx+2sinx, xe 0 , 2兀的图象与直线y=k有且仅有2个不 同的交点，则k的取值用是.【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得岀答案，在有时间限 制的高考中就能大肖约时间，提高考试的效率.解：函数f (x)=由图彖可知：lk3.【例14当0。时，函数f (x)=的最小值为().A. 2B. 2 C. 4D. 4解：尸则y为点A (0,5)与点B (sin2x, 3cos2x)两点连线的斜率，又点B 的轨迹方程(0曲)，即x2+= 1 (x

15、0),如图，当过点A的直线1 : y=kx+5与椭圆 x2+= 1 (xvO相切时，k有最小值4.故选C.【例 15若 siiia+cosa=taiia (0a),则 aG ()解:令 f (x) =sinx+cosx=sin (x+ ) (0a.再令a=,则sin+cos= 1 .366, tan=1.7321.367,由图象知 xP应小于.故选C.【点评】本题首先构造函数f (x) , g (x),再利用两个函数的图象的交点位宜确 定a,淘汰了 A、B两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确左选项C,起到了岀 奇制胜的效果.【例16】已知函数f(x)是宦义在(一 3, 3)上的奇函数，当Ov

16、xv3时f(X)图象如下图所示，那么不等式f (x) cosx0的解集是()70/ 2 3戈尹 U01)LK今丿厶解：函数f (X)定义在(一 3, 3)上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f(x)在(一3 , 0 )上的图象如图所示，若使f (X) cosx0,只需f (x)与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图可知，有三部分区间符合条件要求，即(一,1 ) U ( 0 , 1 ) U (, 3 ),故选 B.【点评】已知函数的一部分图象，根据函数的性质可得到函数的另一部分图象，利用数形结合的思想，可以先画岀完整的函数图彖，再研究有关问题.【例17 AA B C中，A=, B

17、 C = 3 ,则ZA B C的周长为（）解：本题是我们常用三角恒等变形和正弦泄理通过一左量的汁算来完成的，但是应用 数形结合，可以很快解决问题为此，延长CA到D,使AD = AB,则CD = AB + AC, ZCBD = ZB+, ZD = ,由正弦定理即 A B + A C = 6 sin （ B+）,故选 C （五）运用数形结合思想解复数题【例18】设zj=5,zj=2,21-| = 713求乞的值。-乙2【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解【解】如图，设z = OA. z2 = OB后，则Tx=oc = 0D如图所示由图可知，冒4 ZAOD=ZBOC,

18、由余弦定cosZAOD=52 +22 -(V13)22X5X24理得：J加1囲i【另解】设乙严丙、云=丽如图所示。则2 =二 .*f、DS 2cosZAOD= 5 42x5X2)= ? * sinZA0D=所以尹加=2|i，即才=2土訂【注】本题运用“数形结合法”，把共辄复数的性质与复平而上的向量表示.代数运算 的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利 用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质 求解。本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z】=5（cos0 |+ i sinO J, z2 = + i sin

19、0 J ,贝lj 丨zi _ 石 | = | (5cos 0 t 2cos 0 J + (5sin()t +2sin 0 2) i | = _43J29-20cos(q + 0)=皿,所以 cos(0 + 0 2) = -,sin(0 】+ 0 ?)= 土，J1z25竽(一？+ 简(严)今o , + e 2)+ i sin +。再 G2(cos 02 +1 sin l时，关于x的方程ax=logax无实解正确与否.错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax的图象（al）（如图1）,可见它 们没有公共点，所以方程无实解，命题正确.【评析】实际上对不同的实数a, y=ax和y=log

20、ax的图象的延伸趋势不同例如当a=2时, 方程无实数解：而当吐时，x=2是方程的解说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直 线y=x上.2、注意图象伸展“速度”【例20】比较2与2的大小，英中必2,且nN+.错解：在同一坐标系中分别作出函数戶2、及y=x2的图象（如图2）.由图可知，两图象有一个公共点.当 x=2 时，2x=x2；当 x2 时，2x2,且 neN+时，2nn2.错因是没有充分注意到 两个图象在x2时的递增“速度！要比较两个图象的递增速度，确实很难由图象直观而得. 本题可以先猜想，后用数学归纳法证明.本题的正确答案是当 n=2、4 时，2=112；当 n=3 时，2n5 时，n

21、w N+时,2n2.证明略.3、注意数形等价转化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有两个实数在-1与3之间，求k的取值用.错解：令f （x） =x2+2kx-3k,结合题意画出图象3中的（1）,再由图象列出不等解略.【评析】事实上，不等式组（*）并不与题意等价，图象3中的（2）也满足不等式组（*）, 但两实根均大于3,还可以举出两实根均小于-1的反例若不等式组（*）与图3中的（1） 等价，需加上条件-3kb0）有四组实数解,求a、b、m应满足的关系.错解：已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程，原方程组有四组实数解等价 于椭圆与抛物线有四个不同的公共点由图4知，mob,且a, R

22、P-a2m-b.【评析】观察图象过于草率！事实上，图5也是一种可能的情形，即当=&时，仍有可 能为四组解例如当a=2, b=l, m=-4时，可得解集为： （ 2, 0 ） , （一 2, 0 ）,（,）,（）.现用数形结合求解：考虑一元二次方程a2y2+b2y- （m+a2） b2=0,令=（）（即相切情形），解得m=,结合图象，注意到m0时的示意图.视角二：由mK),先将原方程变形，得x-l=x,再视方程两边的代数式为两个函数, 分别画岀函数y=x-l, y=x的图象(如图2),由图易看岀：当01或-10,即ml时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实 根.视角三：用分离参数法，先将

23、原方程化为=1】.分別作出函数y=,戶m的图象(如图3),由图易看出，当ml时，两函数的图 象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根.视角四：用分离参数法，先将原方程化为.当x0时，得1-=,当x0时，得-1-=.分別作岀函数戶，y=的图象(如图4),由图易看出，当0l或m-l时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根.可见，例1的怨解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函 数中的都含有m,因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易 因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作 图方便，又比视角二

24、简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m,而视角四中 已不含m,所以这里以视角四为最理想.【例 24】已知函数 f (x) =ax2+bx fi2f (1) 4, lf(-l ) 2,求 f (-2)的取值围.这是我们常出错的题，其代数解法有待左系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知 的数形结合法是线性规划法.这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在2a+b4la-b2这两个约朿条件下，求目标函数y=4a-2b的最大(小)值问题约束条件2a+b4, la-b2的解集是非空集，在坐标平面上表 示的区域是由直线：a+b=4, a+b=2, a-b=2, a-b=l所用成的封闭

25、 图形(图5中的阴影部分).图6y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小， 从图中易知当直线b=2a-y经过A (, ) , C (3, 1) 时截距分别为最小f (-2) =5和最大f (-2) =10.所以 0 (-2) 10.英实还可有如下数形结合法：要求f (-2)的取值围，只要确泄f (-2)的最大(小)值，即找到f(X) 的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标，为此只要确怎f(X) 经过E、F时的函数表达式，由于f(X) =ax2+bx是经过原点(c=0)的抛物线系，所以只要再有两点就可确定，由已知2f (1) 4, lf (-1) 2,知f(x)在x=l 时的最髙点B (1, 4),最低点A (1, 2) , f (x)在x=l时的最高点D (-1, 2),最低 点C (-1, 1),(如图6),由抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过0、B、D 的图象C2,经过E点的图象就是经过O、A、C的图象G,于是：将 B (1, 4) , D (1, 2)坐标代入 f(X)=ax2+bx 得解得 a=3, b=l.故图象经过0、B、D的函数为C2 : f(X)=3x2+x,所以fmax (-2) =10.将A (1, 2) , C (1, 1)的坐标代入f (x) =ax2+bx得故图