椭圆知识点归纳总结和经典例题

1、椭圆的基本知识1 椭圆的定义：把平面内与两个定点 FF2的距离之和等于常数（大于 f,f2 ）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（设为2c）.2.椭圆的标准方程：2 2a b2 2a bmx2+ny2=1(m0 n0)不必考焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2从这个圆上任意一点P向x轴作垂线解：（相 段PP ,求线段PP中点M的轨迹关点法)设点Mx, y), 点Rxo, yo), 贝 y x=xo,y= 匹 得 x

2、o=x, yo= 2y.2xo2 + yo2= 4,得 x2+ (2 y) 2= 4,即- y21.所以点M的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x a , y b , | x| a, | y| c0,所以0e1,离心率反映了椭圆的扁平程度。由于,所以e越趋近于1, b越趋近于0,椭圆越扁平；e越趋近于0,b越趋近于a，椭圆越圆。(3)观察下图，|0B2|b,| OF2 | c ,所以| B2F2 | a，所以椭圆的离心率 e = cos / OFR318.直线与椭圆:直线l : Ax By C 0 ( A、B不同时为0)22x y椭圆 C :二21 (a b 0)a b通过方程组的解的个

3、数来判断直那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢将两方程联立得方程组,线和椭圆交点的情况。方法如下:Ax By C02 2x y “消去y得到关于x的一兀二次方程，化简后形式如下i2.21a b2mx nxp0(m0),n2 4mp(1) 当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；(2) 当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点(相切)；(3) 当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A(xi,yi), B(X2, y2)，那么线段AB的长度(即弦长)为|AB| . (Xi X2)2 (yi y2)2，设直线的斜率为k，可得：|AB| . (

4、 X2)2 k(xi X2)2、1 k2 |xi X2 |，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。椭圆典型例题例i已知椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为(0， 2)求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c 2，根据关系a2 b2 c2可求出m的值.解：方程变形为2丄 I .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 .2m又c 2，所以2m 622, m 5适合.故m 5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,求出参数a和b (或a2和b2)的值，即可求得椭

5、圆的标准方程.解:当焦点在X轴上时，设其方程为2 2xy2,2ab由椭圆过点P 3,0，知弓21 .又aa2 b22X21.y92 2i a b 0 .3b，代入得b2 i , a29，故椭圆的方程为当焦点在y轴上时，设其方程为話話1a b 0.90 2 2由椭圆过点P 3,0，知笃21 .又a 3b，联立解得a281 , b29，故椭圆的方程为a b2y812x1.9例3的轨迹.分析：（1）由已知可得GCGB 20，再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.ABC的底边BC 16, AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点

6、 A解：（1 ）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为 x, y，由GC GB20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a 10 , c 8，有故其方程为x21002y36(2)设 Ax, y2，则1002y36由题意有x3代入，得A的轨迹方程为y9003243，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和竽，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF1竽,IPF2u .从椭圆定义知32a PF1PF22(5 .即从PF1PF2知PF2垂直焦点

7、所在的对称轴，所以在 RtPF2F1 中,sin PF| F2PF2PF；可求出PF1F2 , 2c PF1 cos6 62 5，从而b26 31032x所求椭圆方程为3y210102例5已知椭圆方程笃a2 y b2长轴端点为A, , A2，焦点为Fi, F2, P是椭圆上一点,A, PA2F1PF2求：F1PF2的面积(用a、b、 表示).分析：求面积要结合余弦定理及定义求角1的两邻边，从而利用S 丄absin C求面积.2解：如图，设Px, y ,由椭圆的对称性,不妨设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:rpf2例6已知动圆F1F2|PFi|PF

8、i |PF22a1-|PF, |PF2 sinP过定点A 3,0 ,PF22PF, PF22cos 4c .，则2得21 2b2sin21 cos且在定圆B:x 3 2PFi PF2b2ta n22b21 cosy264的内部与其相内切,轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点解：如图所示，设动圆 P和定圆B内切于点M 动点P到两定点,P满足的关系式.即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,即 PA PBPMPBBM8 二点P的轨迹是以A,B为两焦点,半长轴为4,半短轴长为b 2.437的椭圆的方程：16这是求说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准

9、方程，求轨迹的方程. 轨迹方程的一种重要思想方法.2已知椭圆y2121 1(1) 求过点P丄，丄 且被P平分的弦所在直线的方程；2 2(2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3) 过A 2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;0 .(4)椭圆上有两点 P、Q , O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOpkoQ求线段PQ中点M的轨迹方程.解：设弦两端点分别为 M论，y1 ,N X2, y，线段MN的中点R x, y，贝V2X12y22,-得X1X2 X1X22 y1y2 y1y?2X22yf2,由题意知X1X2，则上式两端同除以 X1x2，有X1X22x,X1X2 2 y1y20

10、,*y22y,X-Ix2分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.0 将代入得X 2y 准X1 x21(1)将 x 2，y 2代入，得y1 y2x1x21丄，故所求直线方程为:22x 4y 30.将代入椭圆方程x2 2y22 得 6y2 6y3614 640符合题意，2x 4y 3 0为所求.(2)将X-Ix22代入得所求轨迹方程为:x 4y0 .(椭圆内部分)(3)将X1X2y 1代入得所求轨迹方程为:22y2 2x2y 0 .(椭圆内部分)(4)由+得,将平方并整理得x2x； x； 4x2将代入得:2経,2 yiy； 4y2 2y2,4x2 2x1x24y22y1y22

11、,1再将丫23X1X2代入式得：2x2X1X2 4y2 2 X1X22此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例8已知椭圆4x2 y21及直线y x m.(1 )当m为何值时，直线与椭圆有公共点（2）若直线被椭圆截得的弦长为 口0，求直线的方程.5解：（1）把直线方程y x m代入椭圆方程4X2y21 得 4x2即 5x2 2mx m2102m 24 5m2 116m2200，解得弓（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1, x2，由（1）得XiX22m5X-|X2根据弦长公式得：.1 122 22m , m 14 552.105.解得m 0 .方程为y x

12、.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例9以椭圆2x122J 1的焦点为焦点，过直线 丨：x y 90上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长3轴最短，点 M应在何处并求出此时的椭圆方程.分析：椭圆的焦点容易求出， 按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点, 使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.2 2解：如图所示，椭圆- 匕 1的焦点为F1 3,0 ,

13、 F2 3,0 .123点F1关于直线l: xy 9 0的对称点F的坐标为（一9, 6）,直线FF?的方程为x 2y 3 0 .x 2y 3 0.解方程组y得交点M的坐标为（5, 4）.此时MR MF2最小.x y 9 0所求椭圆的长轴：2a MF1 MF2 FF2 6J5 ,. a 3亦，又c 3,b22 a2 c23 53236.因此，所求椭圆的方程为4536122例10已知方程xy1表示椭圆，求k的取值范围.k5 3kk50,解：由3k0,得3 k5，且 k 4.k53 k2 2满足条件的k的取值范围是3 k 5,且k 4.说明：本题易出现如下错解：由k 5 0,得3 k 5，故k的取值

14、范围是3 k 5.3 k 0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a b 0这个条件，当a b时，并不表示椭圆.例 11 已知 x2siny2 cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.的取值范围.A(._3,2)和B( 2、. 3,1)两点的椭圆方程解:设所求椭圆方程为mx22ny1 ( m 0 , n 0).由 A(. 3 ,2)和B( 2.3,1)两点在椭圆上可2x15m ( ： 3)2 n m ( 2、3)22)212人即1,3m 4n 1,所以m丄，12m n 1,15n -.故所求的椭圆方程为5例13已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜

15、解为一的直线交3解:22方程可化为 Xy11sincos-1 .因为焦点在y轴上，所以1 1cossin 0 .因此sin0且tan1从而(-,?)24说明:(1)由椭圆的标准方程知10 ,1-0,这是容易忽视的地方.sincos由焦点在y轴上，知a21-,b21-.(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件cossin分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出0 .例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为 mx2 ny2 1( m 0, n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标

16、轴上，直接可求出方程.椭圆于A, B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式 ABV1 k2 |x1X2.(1 疋)(花 X2)2 4x1X2求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.ABV1k2|x1X2v(1k2)(X1X2)24x1X2.因为 a 6, b 3，所以 c3丿3.因为焦点在x轴上，2 2 _ _所以椭圆方程为 L 1，左焦点F( 3=3,0)，从而直线方程为 y 3x 9 .369由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 723x 36 8 0 .设X! , x2为方程两根，所以x1 x272 313,X1X23

17、6 8, k1312112ABJ1 k X X2Q(1 k )(x1 x2)2 4x1x24813（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为2x3621，设 AF19m, BFJ n,则 I AF2| 12 m ,BF212 n .af1f22AF2|AFi|2F1F22 AF F1F2 cos 3(122 2m) m 361m 6-3 -；2所以m6.同理在43BF1F2中，用余弦定理得 n6484- 3，所以AB 口 “五（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2 72.3x 36 8 0求出方程的两根 捲,x，它们分别是A, B的横坐标.再根据焦半径|AR

18、a ex, I BFj a ex，从而求出|AB AR BR .2 2例14椭圆L591上的点M到焦点F1的距离为2, N为MF1的中点，则ON （ 0为坐标原点）的值为A. 4B. 2C. 8D.-2解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为MF1MF22aF2，由椭圆第一定义得10，所以 |MF210 |MF11028,1又因为ON为 MF1F2的中位线，所以 ON MF24，故答案2为A.说明：（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆. 椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MR MF2 2a，禾U用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.2 2例1

19、5已知椭圆C:1，试确定m的取值范围，使得对于直线 I: y 4x m，椭圆C上有不4 3同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上 A , B两点关于直线I对称，则已知条件等价于：（1）直线AB I ; （2）弦AB的中点M在I上.利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m的取值范围.解：（法1）设椭圆上A（xi , yi） , B（X2,y2）两点关于直线I对称，直线AB与I交于M（xo,y）点. I的斜率kI 4，设直线 AB的方程为yy由方程组72X41x42y_3n,消去y得1,2 213x 8nx 16n48 0。为X28n13于是X。x-ix22即点M的坐标为（空,2）. T点M在直

20、线y13134xm 上， n4n13， 4也13yo1；X012n13，解得13m .4将式代入式得13x2 26mx169m2 48/ A , B是椭圆上的两点，（法2）同解法1得出n1y0-X0413一m413m41(26m)2 4 13(169m4 “13 、 x0(m)13413m)m3m，即m ,点坐标为（M248)0 .解得2、13132、1313m,3m). A , B为椭圆上的两点, M点在椭圆的内部，-m)24(3m)231 .解得2、13132.1313（法3）设A（X1，yJ , B（X2,y2）是椭圆上关于I对称的两点,直线AB与I的交点M的坐标为（X。, yo）.A

21、, B 在椭圆上，2X2y24两式相减得3(X1 X2)(X1X2)4( y1 y2)(y1y2)即 3 2xo (X1X2) 4 2y(y1 y2) 11X1y2X2芸(X1X2).又直线ABI，kABkI奨44y1,即 y0 3x0。又M点在直线I上， y04x0 m。由,得M点的坐标为（m,3m） 以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A , 不等式：（1）利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元 次方程的判别式0，建立参数方程.B关于直线I恒对称，求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的利用弦AB的中点M （X0, y。）在椭圆内部，满足2

22、X0ya2b 1,将x, y利用参数表示，建立参方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x , y)，另一个交点B(8 x, 4 y).数不等式.1例17在面积为1的PMN中，tanM , ta nN2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦2点且过P点的椭圆方程.y5254 d 2,x c 则“y1x c 2、x 3c即52、P(2.33)22 t12a2 3b2得y 4cfic32以 3 a b ,cy 1 .324解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x , y).215a 一 4 b23.所求椭圆方程为4x y 1153x2例18已知P(4,2)是直线I被椭圆362仝 1