概率与统计初步

1、第九章概率与统计初步、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m,种不同的方法，在第 2类办法中有 m2种不同的方法，在第 n类办法中有 mn种不同的 方法，那么完成这件事情，共有：N m, m2mn种不同的方法；2、 （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m,种 不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第 n步有mn种不同的方法，那么 完成这件事情，共有：N m, m2mn种不同的方法；3、区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）

2、；、排列与组合1、 排列数公式：从n个不同的元素中取出 m m n个不同元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出 m个不同元素的排列数，用符号 Am表示，且：Am nn1n2 nm1 ,mn2、n的阶乘：自然数1到n的连乘积，叫做 n的阶乘，记作： n!，且：n! n n 1 n 22 1 ,规定：0!1易知排列数公式也可写 为：AJn m !3、 组合数公式：从n个不同的元素中取出 m m n个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同的元素中取出 m个不同元素的组合数，用符号 cm表示，且:cmm n ,规定：Ci01Amn n 1 n 2n m 1m! m m 1 m 22 1组合

3、数公式也可写为:cmn!m! n m !4、组合数的两个性质：1 cm cnm2 cm1 cnm cm15、排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。三、概率1、基本概念(1) 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现 哪种结果的现象；(2) 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以 明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果 会发生；(3) 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A B、C 表示；(4) 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用 表示( 读作“omiga

4、”，对应的小写希腊字母是“3”)；(5) 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示( 读作“fai ”);(6) 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件；(7) 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；2、频数与频率(1) 频数：在n次重复试验中，事件 A发生了 m次0 m n , m叫做事件A发 生的频数；(2) 频率：在n次重复试验中，事件 A发生的频数在试验总次数中所占的比例m ,n叫做事件A发生的频率；3、概率(1) 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：；(2

5、) 概率的性质：i. 对于必然事件：P 1ii.对于不可能事件：P 0iii. 0 P A 14、古典概型(1) 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生 的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；(2) 概率：设试验共有 n个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同， 事件A包含m个基本事件，那么事件发生的概率为：A包含的基本事件基本事件总数(3) 事件的“交”：“ A(4) 事件的“并”：“ AB ”表示A、B同时发生，记作：AB ；A与事B ”表示A、B中至少有一个会发生，又称为事件件B的和事件;（5） 事件的“否”：A表示事件 A的对立事件；（A读

6、作a bar , “A拔”）（6） 互为对立的事件：若事件A是事件B的对立面，且A B , A B ;（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A与B有且仅有一个发生）（7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：A B ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）（8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件A的发生不会影响事件 B发生的可能 性的大小，即在事件A发生的情况下，事件B发生的概率等于事件 B原来的概率，那么称事件A与事件B相互独立；（事件A发生与否，不影响事件B的概率）(9)若 A、B是互斥事件，则：PA B PAPB(10)若 A、B是对立事件，则：

7、1P A P B ，即：P A 1P A(11)若 A、B不是互斥事件，则：P A B P AP B P AB(12)若 A、B是相互独立事件，则：PA B P AB PAPB四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量；1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例 1中“全校1120名一年级学生的身高” 是总体；2、个体：组成总体的每一个对象；例 1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、样本：被抽取出来的个体的集合；例 1中“抽取的100名一年级学生的身高”是 样本；4、样本容量：样本所含个体的数目；例 1中“100”是样本容量；

8、5、抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多， 且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组 成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、2、3、1样本均值：x x x2xnn样本方差:S21 2x1xn-2x2x-2Xn x样本标准差:-2x2xXn4、说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的 波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法：把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的

9、矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。注：频数是指各组内数据的个数； 每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；例：作出表格1中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索）表格1分组（组距=3）频数频率频率/组距,)4,)8,8,11,22,19,14,7,4,3合计1001如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图六、章节习题计数原理(I) 某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下 9间单人房、2间双人房，则现在

10、住宿有种不同的选择； 一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有 种不同的选择；(3) 4封不同的信，要投到 3个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法；(4) 4封不同的信，要投到 3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有种；(5) 3封不同的信，要投到 4个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 种; 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有 种;

11、(8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有 个;(9) 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个;排列组合(10) 7人站成一排，一共有 种不同的排法；(II) 7人中选出3人排成一排，一共有 种不同的排法；(12) 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有 种不同的选法；(13) 5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有 种不同的排法；(14) 8人排成一排，其中 A、B两人必须排在一起，一共有 种不同的排法；(15) 8人排成一排，其中 A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有 种不同的排法；(16) 10件产品中有3件次品，从中任取 2件

12、，至少有一件次品的取法共有 种;(17) 10件产品中有3件次品，从中任取 2件，至多有一件次品的取法共有 种;(18) 集合1,234,5,6,7,8，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有 种不同的排列(取法)；(19) 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行 场比赛；(20) 学生要从六门课中选学两门：如果有两门课时间冲突，不能同时学，有种选法；如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有 种选法；(21) 一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有 种不同的取法；概率(22) 表示必然事件，P ； 表示不可能事件，

13、P ；(23) 一道选择题共有 4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案,那么它选对的概率是 (24)掷一颗骰子，第A.大于16一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率()1B.等于丄61C.等于D.2等于136(25)甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为()A.大于11B.等于一1C.等于D.等于166236(26)在10件产品中有2件次品，从中任取 2件都是合格品的概率是 0.8，那么播下3粒种子恰好 3(27)有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为 粒种子都发芽的概率是A. 0.8 0.8 0.8 B. 0.83C. 0.8 D. 0.5

14、(28)抛掷一骰子,已知P A观察出现的点数，设事件 A为“出现1点”，事件B为“出现2点”，1P B ,则事件“出现 1点或2点”的概率为 1,2,3,4,5,6,7,8 表示，设6(29) 做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用事件 A 1,3,5，事件 B 4,5,6,7，则 P A ，P B 11(30) 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是-，乙能解决它的概率是 -，如23果两人试图独立在半小时内解决它，两人都未解决的概率是 ；问题得到解决的概率是(31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：甲为0.5，乙为0.7，丙为0.6，求三人同时各射击一次，

15、没人击中靶心的概率是多少？(32) 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为、，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率是： 总体、样本与抽样方法(33) 在统计中，所研究对象的全体叫做 ，组成总体的每个对象叫做 ，被抽取出来的个体的集合叫做 ，样本所含个体的数目叫做 (34) 为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225个商品，在这个问题中，225个商品的质量是()A.个体B.总体C.样本D.样本容量(35) 要了解某种电子产品的质量，从中抽取450个产品进行检验，在这个问题中，450叫做()A.个体B.总体C.样本D.样本容量(36) 为了了解全年级 523

16、名同学的视力情况，从中抽取90名同学进行测量，在这个问题中，总体是指 ，个体是指 ，样本是指 ;样本容量是 (37) 要完成以下两项调查：从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；从某中学高三年级的12名体育特长生中选出 3人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是：A.用随机抽样法，用系统抽样法B.用系统抽样法，用分层抽样法C.用分层抽样法，用随机抽样法D.用分层抽样法，用系统抽样法(38) 无论是简单随机抽样还是系统抽样，抽样过程中每个个体被抽取的相等；(39) 抽签法、随机数法都是 抽样；(40) 当总体的个体数目较多时，可将总

17、体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规贝从每个部分抽取一定数目的样本，得到所需要的样本，这种抽样叫做(41) 当总体由差异明显的几个部分组成时，一般采用 抽样；(42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1300人，现采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查中，高二年级共抽查了 人，三个年级全部抽查了 人；用样本估计总体(43) 数据90、87、91、92、90的平均值是 ，方差是，标准差是 (44) 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示 (45) 画频率分布直方图，根据频率分布表，在直角坐标系中横坐标表示数据的取值，纵坐标表示(46) 在对n个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和与频率之和分别等于()A. n ， nB. n ， 1C. n ， 100 D. 1 ， 1(47) 甲、乙两个总体各抽取一个样本，测得甲样本的数据为：10、9、5、8、7、15,乙样本的数据为：9, 7, 8，12，14, 4，计算甲、乙样本的均值和样本方差，说明哪 一个样本的数据波动更小一些。(精确到小数点后两位)(48) 设一组数据的方差是 S2，将这组数据的每个数据都乘以10,所得到的一组