(word完整版)高中数学导数知识点归纳总结,推荐文档

1、导数的运算导数导数的概念导数的运算法则常见函数的导数导数的几何意义、物理意14. 导 数知识要点函数的最值函数的极值导数的应用函数的单调性1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x0 是函数 y = f (x) 定义域的一点，如果自变量 x 在x0 处有增量dx ，则函数值 y 也引起相应的增量dy = f (x0 + dx) - f (x0 ) ；比值dy = f (x0 + dx) - f (x0 ) 称为函数 y = f (x) 在点 x 到 x+ dx 之间的平均变化率；如果极限0dxdx0lim dy = limf (x0 + dx) - f (x0 ) 存在，则称函数 y = f (

2、x) 在点 x 处可导，并把这个极限叫dx0 dxdx0dx00做 y = f (x) 在 x 处的导数，记作 f (x0 ) 或 y | x= x ，即 f (x0 ) =0lim dy = limf (x0 + dx) - f (x0 ) .dx0 dxdx0dx注： dx 是增量，我们也称为“改变量”，因为dx 可正，可负，但不为零.以知函数 y = f (x) 定义域为 a ， y = f (x) 的定义域为 b ，则 a 与 b 关系为 a b .2. 函数 y = f (x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系：函数 y = f (x) 在点 x0 处连续是 y = f (

3、x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 y = f (x) 在点 x0 处可导，那么 y = f (x) 点 x0 处连续.事实上，令 x = x0 + dx ，则 x x0 相当于dx 0 .于是 limx x0f (x) = limdx0f (x0 + dx) = lim f (x + x0 ) - f (x0 ) + f (x0 )dx0= lim f (x0 + dx) - f (x0 ) dx + f (x) = lim f (x0 + dx) - f (x0 ) lim + limf (x ) = f (x ) 0 + f (x ) = f (x ).dx0dx0

4、dx0dxdx0 dx00000如果 y = f (x) 点 x0 处连续，那么 y = f (x) 在点 x0 处可导，是不成立的.例： f (x) =| x | 在点 x = 0 处连续，但在点 x = 0 处不可导，因为 dy = | dx | ，当dx 0 时， 00dy = 1 ；当dx 0 时， dy = -1 ，故 lim dy 不存在.dxdxdx0 dx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：dxdx函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y = f (x) 在点(x0 , f (x) 处的切线的

5、斜率， 也就是说，曲线 y = f (x) 在点 p (x0 , f (x) 处的切线的斜率是 f (x0 ) ，切线方程为y - y0 = f (x)(x - x0 ).4. 求导数的四则运算法则：(u v) = u v y = f1 (x) + f 2 (x) + . + f n (x) y = f 1(x) + f (2x) + . + f n(x)(uv) = vu + v u (cv) = c v + cv = cv （c 为常数）= u v vu - v u (v 0)v 2注： u, v 必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、

6、差、积、商不一定不可导.例如：设 f (x) = 2 sin x + 2 ， g(x) = cos x - 2 ，则 f (x), g(x) 在 x = 0 处均不可导，但它们和xxf (x) + g(x) =sin x + cos x 在 x = 0 处均可导.5. 复合函数的求导法则： f x (j(x) = f (u)j(x) 或 yx = yu ux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 y = f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0，则y = f (x) 为增函数；如果 f (x) 0，则 y = f (x) 为减函数

7、.常数的判定方法；如果函数 y = f (x) 在区间 i 内恒有 f (x) =0，则 y = f (x) 为常数.注： f (x) f 0 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 y = 2x 3 在(-,+) 上并不是都有 f (x) f 0 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 f (x) p 0 是 f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在 x0 附近所有的点，都有 f (x) f (x0 ) ，则 f (x0

8、) 是函数f (x) 的极大值，极小值同理） 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，如果在 x 附近的左侧 f0 (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f (x ) 是极大值；0如果在 x 附近的左侧 f0 (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f (x ) 是极小值.000也就是说 x 是极值点的充分条件是 x 点两侧导数异号，而不是 f (x) =0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.0注： 若点 x0 是可导函数 f (x) 的极值点，则 f (x) =0. 但

9、反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数 y = f (x) = x 3 ， x = 0 使 f (x) =0，但 x = 0 不是极值点.例如：函数 y = f (x) =| x | ，在点 x = 0 处不可导，但点 x = 0 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：1- x 2i. c = 0 （c 为常数）(sin x) = cos x(arcsin x) =11- x 2(xn ) = nxn-

10、1 （ n r ）(cos x) = - sin x(arccos x) = -1ii. (ln x) = 1x(log ax) = 1 log exa(arctan x) =1x 2 +1(e x ) = e x(a x ) = a x ln a(arc cot x) = -1x 2 +1iii. 求导的常见方法：常用结论： (ln | x |) = 1 .x形如 y = (x - a )(x - a ).(x - a ) 或 y = (x - a1 )(x - a2 ).(x - an ) 两边同取自然对数，可转化求代数和形式.12n(x - b1 )(x - b2 ).(x - bn )

11、无理函数或形如 y = x x 这类函数，如 y = x x 取自然对数之后可变形为ln y = x ln x ，对两边求导可得 yy= ln x + x 1x y = y ln x + y y = x x ln x + x x .经典例题剖析考点一：求导公式。导数知识点总结复习例 1. f (x) 是 f (x) = 1 x3 + 2x +1 的导函数，则 f (-1) 的值是。3考点二：导数的几何意义。例 2.已知函数 y = f (x) 的图象在点 m (1，f (1) 处的切线方程是 y = 1 x + 2 ，则2f (1) + f (1) =。例 3.曲线 y = x3 - 2x2

12、- 4x + 2 在点(1，- 3) 处的切线方程是 。点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 c： y = x3 - 3x 2 + 2x ，直线l : y = kx ，且直线l 与曲线 c 相切于点(x0 , y0 ) x0 0 ，求直线l 的方程及切点坐标。点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5.已知 f (x)= ax3 + 3x 2 - x + 1在 r 上是减函数，求 a 的取

13、值范点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数 f (x) = 2x3 + 3ax2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值。（1） 求 a、b 的值；（2） 若对于任意的 x 0，3 ，都有 f (x) c2 成立，求 c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 f (x)的极值步骤：求导数 f (x)；求 f (x)= 0 的根；将 f (x)= 0 的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f (x)在各区间上取值的正负可确定并求出函数 f (x)的极值。考点六：函数的最值。例

14、 7.已知 a 为实数， f (x)= (x2 - 4)(x - a)。求导数 f (x)；（2）若 f (- 1)= 0 ，求f (x)在区间- 2,2上的最大值和最小值。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 f (x)在区间a, b上的最值，要先求出函数 f (x)在区间(a, b)上的极值，然后与 f (a)和 f (b)进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8.设函数 f (x) = ax3 + bx + c (a 0) 为奇函数，其图象在点(1, f (1) 处的切线与直线x - 6 y - 7 = 0 垂直，导函数 f (x) 的最小值为-12

15、。（1）求 a ， b ， c 的值；（2）求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 f (x) 在-1, 3 上的最大值和最小值点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from al