(完整)2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标2,推荐文档

1、绝密启用前注意事项：2015 年普通高等学校招生全国统一考试理 科数学1. 本试卷分第 i 卷（选择题）和第 ii 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2. 回答第 i 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第 ii 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合 a=-2，-1,0，1,2，

2、b=x|（x-1）（x+2）0,则 ab=（）（a）-1,0 （b）0,1 （c）-1,0,1（d）,0,，1，2（2）若 a 为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=（）（a）-1（b）0（c）1（d）2（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()（a） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著（b） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现（c） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（d） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列an满足 a1=3， a1 + a3 + a

3、5 =21，则 a3 + a5 + a7 = ()（a）21（b）42（c）63（d）841+ log2 (2 - x), x 0 时， xf (x) - f (x) 0 成立的 x 的取值范围是a (-, -1) u (0,1)c (-, -1) u (-1, 0)b (-1, 0) u (1, +)d (0,1) u (1, +)二、填空题rrrrrr（13） 设向量a ， b 不平行，向量aa+ b 与a + 2b 平行，则实数a=x - y +1 0，（14） 若 x，y 满足约束条件x - 2 y 0,，则 z = x + y 的最大值为x + 2 y - 2 0,（15） (a +

4、 x)(1+ x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a =（16） 设 sn 是数列an的前 n 项和，且 a1 = -1 ， an+1 = snsn+1 ，则 sn =三解答题（17） abc 中，d 是 bc 上的点，ad 平分bac，abd 是adc 面积的 2 倍。sin b()求;sin c() 若 ad =1， dc =2 求 bd 和 ac 的长.2(18) 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 a，b 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：a 地区：6273819295857464537678869566977888827689

5、b 地区：7383625191465373648293486581745654766579（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记时间 c：“a 地区用户的满意度等级高于 b 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 c 的概率19（本小题满分 12 分）如图，长方体 abc

6、da1b1c1d1 中，ab = 16，bc = 10，aa1 =8，点 e，f 分别在 a1b1，d1c1 上，a1e = d1f = 4，过点 e，f 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2） 求直线 af 与平面 所成的角的正弦值。20（本小题满分 12 分）已知椭圆 c： 9x2 + y2 = m2 (m 0) ，直线 l 不过原点 o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点a，b，线段 ab 的中点为 m。（1） 证明：直线 om 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；m（2） 若 l 过点(, m) ，延长线段 om

7、与 c 交于点 p，四边形 oapb 能否为平行四边形？若能，3求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。21（本小题满分 12 分）设函数 f (x) = emx + x2 - mx 。（1）证明： f (x) 在(-, 0) 单调递减，在(0, +) 单调递增；（2）若对于任意 x1 , x2 -1,1，都有| f (x1 ) - f (x2 ) | e - 1 ，求 m 的取值范围。agefomdn请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22（本小题满分 10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲如图，o 为等腰三角形 abc 内一点，o

8、 与 abc 的底边 bc交于 m，n 两点，与底边上的高 ad 交于点 g，且与 ab，ac 分别相切于 e，f 两点。bc（1） 证明：efbc；3（2） 若 ag 等于o 的半径，且 ae = mn = 2，求四边形 ebcf 的面积。23（本小题满分 10 分）选修 4 - 4：坐标系与参数方程x = t cosa在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1： y = t sina（t 为参数，t 0），其中 0 cd；则+；bcad（2） +是| a - b | c - d |的充要条件。一选择题参考答案（1）a（2）b（3）d（4）b（5）c（6）d（7）c（8）b（9）c（10）b（11

9、）d（12）a二填空题1（13） 2三解答题3（14） 2（15）3（16） -1n（17） 解：1（） sa abd = 2 abaad sin badsa adc= 1 ac aad sin cad 2因为 sa abd = sa adc ， bad = cad ，所以 ab = 2 ac由正弦定理可得sin b = ac = 1 sin cab2（）因为 sa abd : sa adc = bd : dc ，所以 bd = 2在a abd 和a adc 中，由余弦定理知ab2 = ad2 + bd2 - 2 adabd cos adb ， ac 2 = ad2 + dc 2 - 2 ad

10、adc cos adc 故 ab2 + 2 ac 2 = 3ad2 + bd2 + 2dc 2 = 6由（）知 ab = 2 ac ，所以 ac = 1（18） 解：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，a 地区用户满意度评分的平均值高于 b 地区用户满意度评分的平均值； a 地区用户满意度评分比较集中，b 地区用户满意度评分比较分散。（）记ca1 表示事件：“a 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；ca2 表示事件：“a 地区用户的满意度等级为非常满意”； cb1 表示事件：“b 地区用户的满意度等级为不满意”； cb2 表示事件：“b 地区用户的满意度等级为满意”，则

11、ca1 与cb1 独立， ca2 与cb 2 独立， cb1 与cb 2 互斥， c = cb1ca1 u cb 2ca2 ，p(c) = p(cb1ca1 u cb 2ca2 )= p(cb1ca1 ) + p(cb 2ca2 )= p(cb1 )p(ca1 ) + p(cb 2 )p(ca2 )由所给数据得ca1, ca2 , cb1, cb2 发生的频率分别为16 4 10, ,8, ， 故p(ca1) = 16 , p(c ) =20a24 , p(c20b120 20 20 20) = 10 , p(c ) = 820b220p(c) = 16 4 10 8 = 0.48 20202

12、020（19） 解：（）交线围成的正方形 ehgf 如图：（）作 em ab ，垂足为 m ，则 am = a1e = 4, em = aa1 = 8因为 ehgf 为正方形，所以 eh = ef = bc = 10于是 mh =eh 2 - em 2uuur= 6 ，所以 ah = 10以 d 为坐标原点， da 的方向为 x 轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系 d - xyz ，则u uruuura(10, 0, 0), h (10,10, 0), e(10, 4,8), f (0, 4,8), fe = (10, 0, 0), he = (0, -6,8)设 n = (x, y, z

13、) 是平面 ehgf 的法向量，则n uuur aufueur= 0,10x = 0,n即 -6 y + 8z = 0, ahe = 0,所以可取 n = (0, 4, 3)uuuruuur5 uuur| naaf |4 又 af = (-10, 4,8) ，故| cos |=uuur =| n | af |15所以 af 与平面 ehgf 所成角的正弦值为4 15 15（20） 解：（）设直线l : y = kx + b(k 0, b 0), a(x1 , y1 ), b(x2 , y2 ), m (xm , ym )将 y = kx + b 代入9x2 + y2 = m2 得(k 2 +

14、9)x2 + 2kbx + b2 - m2 = 0 ，故x= x1 + x2 =m2-kb k 2 + 9, ym= kxm+ b =9b k 2 + 9于是直线om 的斜率 k= ym = - 9 ，即 kak = -9xkomomm所以直线om 的斜率与l 的斜率的乘积为定值（）四边形oapb 能为平行四边形m因为直线l 过点(, m) ，所以l 不过原点且与c 有两个交点的充要条件是 k 0, k 3 3由（）得om 的方程为 y = - 9 xk设点 p 的横坐标为 xp y = - 9 x,2 2kmk m3 k + 9 2由k得 x2 = 9k 2 + 81 ，即 x =p9x2

15、+ y2 = m2 ,mpm(3 - k )k (k - 3)m将点( , m) 的坐标代入l 的方程得b =，因此 xm =333(k 2 + 9)四变现oapb 为平行四边形当且仅当线段 ab 与线段op 互相平分，即 xp = 2xmkmk (k - 3)m7于是= 2 ，解得 k1 = 4 - 7, k2 = 4 +3 k 2 + 93(k 2 + 9)7因为 ki 0, ki 3, i = 1, 2 ，所以当l 的斜率为4 -或4 +7 时，四边形oapb 为平行四边形（21） 解：（） f (x) = m(emx -1) + 2x若 m 0 ，则当 x (-, 0) 时， emx

16、-1 0, f (x) 0若 m 0, f (x) 0 ；当 x (0, +) 时， emx -1 0所以， f (x) 在(-, 0) 单调递减，在(0, +) 单调递增（）由（）知，对任意的 m, f (x) 在-1，0单调递减，在0,1单调递增，故 f (x) 在 x = 0 处取得最小值，所以对于任意 x1 , x2 -1,1,| f (x1 ) - f (x2 ) | e -1 的充要条件是 f (1) - f (0) e -1, f (-1) - f (0) e -1,即em - m e -1,e-m + m e -1,设函数 g(t) = et - t - e +1 ，则 g(t

17、) = et -1当t 0 时， g(t) 0 时， g(t) 0 ，故 g(t) 在(-, 0) 单调递减，在(0, +) 单调递增。又 g(1) = 0, g(-1) = e-1 + 2 - e 1时，由 g(t) 的单调性， g(m) 0 ，即em - m e -1 ； 当 m 0 ，即e-m + m e -1综上， m 的取值范围是-1,1（22） 解：（）由于a abc 是等腰三角形， ad bc ，所以 ad 是cab 的平分线又因为a o 分别与 ab，ac 相切于点 e，f，所以 ae = af ，故 ad ef从而 ef / bc（）由（）知， ae = af ， ad ef

18、 ，故 ad 是 ef 的垂直平分线.又 ef 为a o 的弦，所以o 在 ad 上连结oe, om ，则oe ae由 ag 等于a o 的半径得 ao = 2oe ，所以oae = 30o ，因此a abc 和a aef 都是等边三角形3因为 ae = 2，所以 ao = 4, oe = 23因为om = oe = 2, dm = 1 mn =2，所以od = 1 ，于是 ad = 5, ab =10 33所以四边形 ebcf 的面积为 1 (10 3)2 3 - 1 (2 3)2 3 = 16 3232223（23） 解：（）曲线c2 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2 y = 0

19、，曲线c3 的直角坐标方程为x2 + y2 - 2 3x = 0 .x2 + y2 - 2 y = 0,联立x2 + y2 - 2 3x = 0x = 0,解得 y = 0,32x =,或3 y =.23 3所以c2 与c3 交点的直角坐标为(0, 0) 和 ( , )22（）曲线c 1 的极坐标方程为a=a(a r,a 0) ，其中0 a cd 得(+ b )2 (abcd因此+（）（）若| a - b | c - d |，则(a - b)2 (c - d )2 ，即(a + b)2 - 4ab cdbcad由（）得+bcadac（）若+，则(+ b )2 (+d )2 ，即abcda + b + 2 c + d + 2因为 a + b = c + d ，所以 ab cd ，于是(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab (c + d )2 - 4cd = (c - d )2因此| a - b |+是| a - b | c - d |的充要条件“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand