平面解析几何硬解方法及便捷规律珍藏

1、平面解析几何1. 圆锥曲线对比表2. 硬解定理内容3. 结论与推论第一部分圆锥曲线对比表圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x2/a2+y2/b2=1 (ab0)x2/a2-y2/b2=1 (a0,b0)y2=2px (p0)范围x 匕-a,ax (-g, -a U a,+ g)x 0,+ g)y -b,by Ry R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,O),(-a,O),(O,b),(O,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)隹占八、八、(c,O),(-c,O)【其中c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中c2=a2+b2】(p/2,0)准线x=

2、a2/cx=a2/cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e ( O,1)e=c/a,e ( 1,+ge=1焦半径1 PF? I=a+exI PF? I=a-exI PF? 1= I ex+a II PF? 1= I ex-a II PF I =x+p/2焦准距p=b2/cp=b2/cP通径2b2/a2b2/a2p参数方程x=a cos 0y=b sin ,00 为参数x=a sec 0y=b tan ,0 0 为参数x=2pt2y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(xO,yO )的切线方程xO x/a2+y0 y/b2=1x0x/a2-y0 y/b2=1y0 y=p(x+xO)

3、斜率为k的切线方程y=kxV(a2 k2+b2)y=kxV(a2 kb2)y=kx+p/2k第一部分硬解定理内容CGY-EH定理（圆锥曲线硬解定理）若曲线？?与直线Ax +By+C=O相交于E、F两点,则:其中？二4如+护算？为一与同号的值，定理说明* 丫 ？应用该定理于椭圆? ；: - ?时,应将？滾-*祁代入。rz y2 _应用于双曲线 ？:？时，应将？很=护用=罗？代入同时小叶产汐不应为零,即不为零。求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知e与？的值不会因此而改变。定理补充联立曲线方程与y=kx+?？是现行高考中比联立” Ax+By+C=O更为普遍的现象。其中

4、联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一 项，x1+x2 , x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个 CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。兰疋二1若曲线？与直线y=kx+？ ？相交于E、F两点，则:这里的？ ？既可以是常数，也可以是关于 k的代数式。由这个公式我们可以推出：以 尸x2 y2若曲线？为椭圆.？,则以 y2x2 y2若曲线？博+用一 ?为双曲线？來员?,则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考 生自己填写）：联立两方程得 （二次式子）（*）所以x1+x2

5、= ，x1x2= ；所以|x1-x2|= V（x1+x2 ） A2-4x1x2= （此时代入、式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|= ( a bo)的焦半径公式|MFi| a ?(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长?$ T厂 “1V.: ?了。定理简证设曲线xA2/m+yA2/n=1与直线Ax +By+C=O相交于E、F两点，联立式可得最终的二次方程：(AA2 m+BA2 n) xA2+2ACmx+CA2 m-m nBA2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(AA2 m+BA2 n)x_1 x_2=(m(CA2-BA2 n )/(人八2 m+BA2

6、n)?=4mnBA2 (八2)对于等价的一元二次方程？的数值不唯一，且？的意义仅在于其与零的关系，故由4BA20恒成立，则可取与？ 同号的？=mn( -CA2)作为？的值。3?由 |EF|= V(x_1 -x_2)A2+ (y_1-y_2)八2 )= V(1+人八2侶八2 )(x_1+x_2)八2-4x_1 x_2 )可得 |EF|= V(AA2+BA2)4mn(人八2 m+BA2 n -。八2)/(|人八2 m+BA2 n|)令 =AA2m+BA2 n则得到CGY-EH定理:x_1+x_2=(- 2ACm)/ ; x_1 x_2=(m(CA2 -B2 n)/ ; ？=mn(CA) ; |EF

7、|=(2 V(AA2+BA2)？)/(| |)第一部分结论与推论一、椭圆的常用结论：1点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.H点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.若F0(xo, yo)在椭圆2 x2 a占1上，则过P)的椭圆的切线方程是bxx-2ayoy 1盲1.6.若P)(x, yo)在椭圆R、巴则切点弦P1P2的直线方程是 答辔1.a b7.i (a b O)的左右焦点分别为Fi,F 2，点P为椭圆上

8、任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S fpf2b2%.exo, | MF2 | a exo( Fi( c,O) , F2(c,O) M(x,yo).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, Ai、A为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M,AP和AQ交于点N,则MFL NF.211. AB是椭圆冷a1的不平行于对称轴的弦，Mx0,y)为AB的中点，贝y kM2，即 Kabab2Xo2a yo12. 若P(X0,y。)在椭圆2詁

9、1内则被Po所平分的中点弦的方程是X0X2ayoy2Xo2a2yo ；【推论】：21、若Po(Xo,yo)在椭圆笃a2 y b71内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2 y b2XoXyoy2 椭圆A a(a b o)的两个顶点为Ai(a,0),A(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、R时A1P1与AP2交点的轨迹方程是2 X2 a22、过椭圆笃a2 y_ b2i (a0, b 0)上任一点A(xo,yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kbxo (常数).BC 2a y。2 23、若P为椭圆笃爲a b1 (a b o)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是

10、焦点,PF1F2PF2F1，则tan cot2 2PFF2中，记2 24、设椭圆笃 爲1 (ab o)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在a bF1PF2PF1F2F1F2P,则有sinsinsin25、若椭圆笃ab21 (a b o)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当ov ew2 1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PH的比例中项2 26、P为椭圆笃 每1 (abo)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2aa b|PA|IPFj 2a | AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.7、椭圆区李a(y Jo

11、)1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是 A2a2 B2b2 (Ax。bBy。 C)2.28、已知椭圆务a2笃1 (abo), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且op OQ.b12|OQ|(2) |OP|2+|OQ|2的最大值为4a2b2a2 b2(3) Sopq的最小值是2 2a b2 2 -a b2 21o、已知椭圆令 1 ( a bo)a ba2 b2a2b2Xo2 29、过椭圆务 占1 (ab o)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,a b则PF e| MN |2,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(xo,0)

12、,2 211、设P点是椭圆/1 ( a b 0)上异于长轴端点的任一点Fi、F2为其焦点记 F1PF2(1) IPF1IIPF2I2b21 cosS PF1F2b2 tan.2PABPBA , BPA , C、2 212、设A B是椭圆冷 占1 ( a b0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，a be分别是椭圆的半焦距离心率，则有|PA| 2严cos? I .(2) tan tan 1 e2.(3) S PAB孑b2 cota c cosb a2 213、已知椭圆 务 与1 ( a b0)的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A B a b两点，点C在右准线I上，且BC

13、x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，贝闲应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，贝V该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.二、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.

14、2、PT平分 PFF2在点P处的内角，则焦点在直线 两个端点.PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)5、右P0(X0,y)在双曲线2 X2 a2每1 (a0,b 0) 上,则过p的双曲线的切线方程是bX0Xaycyb21.6、若R(X0,y)在双曲线2 x 2 a2書1 (a0,b 0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为bP1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是27、双曲线笃aX0X2_ a2y_b2yoyb21.1 (a0,b o)的左右焦

15、点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为2S F1PF2b co t F1PF2228、双曲线字古1 (a0,b o)的焦半径公式：(F1( c,0),F2(c,0)当M (X0, y)在右支上时，|MF1 | ex0 a, IMF2 |ex0 a ；当 M(X0,y)在左支上时，| MF1 | ex0a , | MF21 ex0 a。AP和AiQ交于点N,贝U MH NF.11、2 2AB是双曲线4 b(a0,b 0)的不平行于对称轴的弦，Mx,y。)为AB的中点，贝U kmK ab空，即a yKaBb2x02a y12、若P)(x,yo)在双曲线(

16、a0,b 0)内,则被P0所平分的中点弦的方程是xxyya2 X。ay。2歹.13、若F0(xo, yo)在双曲线(a0,b 0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是XoXyy【推论】：21、双曲线与a1 (a0,b 0)的两个顶点为A1(a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A1P1 与AP2交点的轨迹方程疋1 (a0,b 0)上任一点A(X0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC墾(常数).a y23、若P为双曲线笃a2笃1 (a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F2是焦点, bPF1F2PF2F

17、1,贝ytan cot(或c a 224、设双曲线笃a22ybc a、tan cot ).c a1 (a 0,b 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记 F1PF2PF1F2, F1F2P，则有石F i e.25、若双曲线令a2上b21 (a0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当1ve 2 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PH的比例中项.226、P为双曲线 笃 每1 (a0,b 0)上任一点,F 1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF21 2a |PA| ipri, a b当且仅当a,F2,

18、p三点共线且P和a,F2在y轴同侧时，等号成立.22B2b2C2.7、双曲线笃 岭1 (a0,b 0)与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是A2a2a b228、已知双曲线予話1 ( b a 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ .丄；(2) |OP|2+|OQ|2的最小值为bb2 24a b2 2a；(3) sOPq的最小值是2以a b722 .b a2 29、过双曲线OL b 12210、已知双曲线7 b(a0,b 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交1 (a 0,b 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴

19、相交于点p(x,0),22.22.2则xoa L或xoa匕aa211、设P点是双曲线訂a2 1 (a0,b 0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2(1) IPF1IIPF2I 2b .(2)1 cosS PF1F2b cot .212、设A B是双曲线笃a1 (a 0,b 0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，pabPBABPA ,C、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有2 Hi 12ab 2cos211|a c cos |22a2b2(2) tan tan 1 e .(3) S PAB 22 cotb a2 213、已知双曲线冷爲1 (a0,b 0)a b的右准线I与x轴相交于点E，过