(完整版)必修四平面向量常考知识点整理和复习、典型高考例题分析,推荐文档

1、向量复习知识点 1：两个不为零的向量a ， b 平行， + a + lb(l+ 0)+ 如果a, b 可以用直角坐标系的坐标表示，那么设a + (m, n), b + ( p, q) ，那么mq + np+ 如果a, b 可以用两个不共线的基向量c, d 表示，比如说a + mc + nd ， b + pc + qd ，那么基向量前面的系数成比例，也就是mq + np在这里强调其实后面两点是一样的，因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的两个垂直的单位向量i, j ，比如a + (m, n) ，也即是 a + mi + n j ，为了方便，我们写成坐标形式，而这点其实是的一般形式，就是讲两

2、个基向量推广到了不垂直的情况。用这个知识点的例题比如说：【例一】设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a + lb与-(b - 2a) 共线，则l的值为【解析】要求的两个向量就是用a 与b 作为基底的，那么这两个向量共线可以得到前面的系数成比例，也即是 1 + l ，也即l+ + 12+12【例二】在平行四边形 abcd 中，ac 与 bd 交于点 o，e 是线段 od 的中点，ae 的延长uuur ruuur ruuur线与 cd 交于点 f，若 ac = a， bd=b，则af=（ ）11rra.a +bb.2 r1 ra +ba +b423311rrc.a +bd.1 r2 r2433【

3、解析】比如说运用这个知识点首先本题的难点在于 f 点的位置，其在 dc 中的位置比例，所以首先要确定其位置在哪里，所以，我们设 df + ldc那么我们就可以用一个 a, e, f 共线来确定l的值所以我们可以用 ae, af 用相同基向量表示这两个向量，然后用系数比例的关系求出这个l的值 111111 31ae +ao +ad +ac + ad + ( ad + ab) +ad +ad +ab22424244af + ad + df + ad + ldc + ad + lab31则 4 + 4 + l+ 11l311af + ad +ab + (bo + oc) +( ao + ob)332

4、42121+bo +oc + ac + bd +a +b333333【例三】如图，在abc 中，点 m 为 bc 的中点，a、b、c 三点坐标分别为（2，2）、（5，2）、（3，0），点 n 在 ac 上，且 an + 2nc ，am 与 bn 的交点为 p，求：（1） 点 p 分向量 am 所成的比l的值；（2）p 点坐标【解析】这题例题也是同样的道理，（1）主要求 p 点，假设 ap + lam ,因为 b, p, n 三点共线，所以 bp, bn 用基向量 ba, bc 表示，再用待定系数法求得 的值。) am +bc +(1+bp + bm + mp + 1 bc + (1+ l11l

5、)( ac + ab)112l 22+ bc +(1+l)(ab +bc + ab) +(1+l)ab bc222bn + bc + cn + bc + 1121ac + bc +( ab + bc) +bc +ab3333l所以 2+ (1+l) + l+ 2(1+l)+l+4 ，所以分向量 am 所成的比l的值为 1+21254336 2（2） 用比例的方法可以得到 p ( , )5 5（总结方法：在图中有未知线段的比例不知道，就可以先设其线段比例为l，然 后利用一个三点共线的两向量平行来求解l的值。）知识点 2：重要定理（此定理在 2013 年高考中多省份考到这个知识点）：假设平面上有三

6、点 p, q, c ,且这三点共线，另外有不在这条直线上的点o 点，可以得到oc + lop + loq,l+ l+ 1证明这个定理：证明：可以由 p, q, c 三点共线可以假设pc + t pq ，oc + op + pc + op +tpq + op +t(po +oq)+ (1+ t)op + toq也即l+ 1+ t,l+ + l+ l+ 1不难得出：如果c 在 pq 线段之间是可以得到0 +1,0 + 1,l+ l+ 1如果c 在pq延长线上时， l+1,l+0,l+l+1如果c 在qp 延长线上时，l+ 1,l+ 0,l+ l+ 1例题讲解【例四】如下图所示，两射线 oa 与 o

7、b 交于点 o，下列 5 个向量中， 3 oa + 1 ob， 3 oa + 1 ob ， 1oa+ 1 ob , 2oa + ob ， 4345233 oa +41 ob 若以 o 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的5向量有（）个a1b2c3d4【解析】可得在 ba 的延长线上，如何运用上面的定理主要靠转化成定理的形式，比如说31311 oa +ob + ( oa +ob) + ob ，那么4344123 oa +41 ob 的终点在 ab 线段上，如图 1，那4( oa+么 31 ob) + 1 ob 就会在如图的阴影部分内。4412同理可以3131311 将 oa +4ob 转化为3

8、oa +4ob +5oa +4ob +ob4201 23 oa +31 ob 转化为23 oa +31 ob +23 oa +21 ob +69 ob45454420将 oa +将1 ob 转化为1 oa +1 ob +1 oa +11 ob + ob 【例五】（2013 安徽卷理 9）在平面直角坐标系中,o 是坐标原点,两定点 a,b 满| oa |=| ob |= oaob = 2 ,则点集p | op + loa+lob,|l|+ | l|+1,l,l+r所表示的区域面积是2323(a) 2(b) 2(c) 4(d) 4【解析】| oa |+| ob |+ oa+ ob + 2 ，可以得

9、到| oa |+| ob |+ 2 ，且两个向量的夹角为 60，如图可以将两个向量放到半径为 2 的圆内，如图 2。且由|l|+|l|+1，可得0 +|l|+1,0+ l+1，那么当0 + l+ 1,0 + l+ 1时，可知 p 点形成形成的区域则是紫色的区域的区域为图中灰色区域当0 + +l+ 1,0 + l+ 1，将问题转化为op + loa+ lob+ +lao + lob,那么 p 点当0 + +l+ 1,0 + +l+ 1 ，将问题转化为op +loa+lob+ +lao+lbo那么 p 点形成的区域是红色的区域当0 + 1,0 + +l+ 1，将问题转化为op +loa+lob+l

10、oa+lbo那么 p 点形成的区域是黄色的区域3所以，综上所述可得 p 点形成的区域为一个长为234，所以答案选 d。，宽为 2 的矩形区域，即面积为知识点 3：向量的基本要素求解：一般求解向量的基本要素，主要分为求解向量之间的夹角和向量的模长。那么要求这几个要素必须要明白其可求解的途径：求解模长1） 如果向量a 的坐标(x, y) 已知（前提是在直角坐标系下的坐标），那么就可ax2 + y2以直接选用勾股定理求解+2） 如果向量a 的坐标不知道，但是a 用两个已知的基向量表示出来，并且已知基向量的模长，基向量之间的夹角，那么可以通过对模长平方来求解， d比如：已知 c + m,+ n, 且c

11、 + d + r ，如果a + pc + qd ，则2a + pc + qd2+ ( pc)2 + 2 pqc + d + (qd )2 + p2m2 + 2 pqr + q2n2一般在不知道坐标的情况下都可以进行平方求解。3） 可以用公式求解cosl+夹角求解1） 可以用公式求解cosl+ m + nm + nm + nm + n a+b +02） 两向量夹角的范围0 + l+ l，两向量的夹角与三角形中角的类型的判断有着密切的联系：l若0 +l+，则该角为锐角+ 0 + cosl+ 1 + 当a + 0, b + 0 时，2l若l+，则该角为直角l2 +cosl+0 +当a + 0, b

12、+ 0 时， a + b + 0 a+b +0若 +l+ l，则该角为钝角+ +1 + cosl+ 0 + 当a + 0,b + 0 ，2知识点 4： 1） 向量的点积a +b +则a + b + x1 x2 + y1 y2 。+ + cosl，如果向量有坐标， a + (x1, y1), b + (x2 , y2 ) ，ab2） 向量a 在向量b 上的投影为cosl（投影可以是负的），向量在基向量上分解，a平行四边形原则。【例六】如图，设 p、q 为abc 内的两点，且， u ur = 2 u ur + 1 uuur ， uuur 2 u ur 1apuuurabac55aqab34ac ，

13、则abp 的面积与abq 的面积之比为【解uu析ur】本uu题ur考查uu的ur 是向uuu量r的平u行u r四边形uuu法r则分解，已知 ap = 2 ab + 1 ac ， aq 2 ab 1 ac ，如5534cuuuur2 u uruuur1 uuuru uruuuur uuur下图，设 am =ab ， an =5ac ，则 ap = am + an ，5q由平行四边形法则，知 npab，n所以 sdabp =uuuran1sdabq = 1 ， p ambsdabcuuur ，同理可得dabc4故 sdabp sdabqac5s= 4 5【例七】（2013 浙江卷理 7）设dabc

14、, p 是边 ab 上一定点，满足 p b = 1 ab ，且对于004边 ab 上任一点 p ，恒有 pb pc p0b p0c 。则（）a. abc = 900b. bac = 900c. ab = acd. ac = bc【解析】本题考查向量的几何意义，也就是投影。过 c 点作ch + ab ，并且此处记 pb + ph + hb ,且若 p 点在hb 之间时，记 ph 为负，p 点在 ah 之间时，ph 为正，所以 pb + pc + pb + ph ，此处的 ph 与上述的 ph 相同， 所以pb + pc + pb + ph + (ph + hb) + ph + ph 2 + hb

15、 + ph+ (ph + hb )2 + ( hb )222当三角形确定以后，hb 就为常数可以定下来，而 ph 为一个变量，所有把它看成一个函数，可知，当 ph + + hb 时， pb + pc 最小，即此时 p 点在 hb 线段的中点，而由条件可知 2 pb pc p b p c ，也即此时 p 点与 p 点重合，并且 p b =1 ab ，可得到 p 为 hb0000401线段的中点，则 hb + ab ,即 h 为 ab 的中点，那么 ch 为 ab 的中垂线，那么 ac=ab。2向量的几何意义考查一般要数形结合，考察起来题目一般难度会比较大，关键在于是否能够转化为几何问题上。“”“

16、”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employee