线性代数课件线代复习

1、矩阵,1. 矩阵的定义,一些特殊的矩阵,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵,2. 矩阵的基本运算,矩阵相等,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法、数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,乘法满足,矩阵乘法不满足：交换律、消去律,A是n 阶方阵,方阵的幂,方阵的多项式,方阵的行列式：三种基本计算方法,满足,解,转置矩阵,一些特殊的矩阵,把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,满足,对称矩阵和反对称矩阵,伴随矩阵,3. 逆矩阵,定义,唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的,判定定理,n阶方阵A可逆,且,推

2、论,设A、B为同阶方阵，若,则A、B都可逆，且,满足规律,逆矩阵求法,1）伴随矩阵法 （2）推论法 （3）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4. 分块矩阵,5. 初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换,矩阵的等价,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。记作,初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵,与矩阵的相似、合同相互比较,定理,左乘变行，右乘变列,解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆,矩阵方程,解,秩（A）：A的不等于0的子式的最高阶数,秩的基本关系式,关于秩

3、的重要结论,6、矩阵的秩,秩的求法,1）初等变法,2）若P可逆，则,4,当 时,5,例题2,设 A、B 都是 n 阶方阵，则,e,解,解,R(A)=2,例5,解,一. 向量组的线性相关性,1. 向量间的线性运算：加法、数乘,2. 线性组合、线性表示,1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法,方法1,向量组的线性相关性,是否非零无要求,关键：存在某组 使上式成立,2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论,结论1,向量 可由向量组 线性表示,结论2,方法2,证下列非齐次线性方程组有解,即,利用矩阵的初等行变换,行最简形矩阵,3. 线性相关性的判别方法,1) 一般方法：设数,求系数是有非零解

4、还是只有零解的问题,2) 利用向量组的秩判断,当 时， 线性相关,当 时， 线性无关,3) 利用常用结论,1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关,4. 最大无关组的选取或证明,1) 初等变换法（最常用,n1个n维向量线性相关,部分相关 整体相关；整体无关 部分无关,短的无关，长的也无关； 长的相关，短的也相关,解,是一个极大无关组,并且,考虑：还有那些极大无关组,二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法,初等变换后，看非零行的行数,三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明,关于向量组的秩的两个重要定理,那么 线性相关,3)(三秩相等) 矩阵A的秩A的行秩A的列秩,向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘

5、两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基，维数和坐标； 求向量空间基和维数的方法（生成子空间）； 求向量在给定基底下的坐标,四. 向量空间,五. 正交化与正交矩阵,1. 正交化、单位化,2. 正交矩阵,的n个列（行）向量组为单位正交向量组,也是正交矩阵,是正交矩阵，则 也是正交矩阵,定理1 设有非齐次线性方程组(1,定理2 设有齐次线性方程组（2,设r(A)=r,则,线性方程组的解法与解的结构,定理1 设有齐次线性方程组（2,方程组的通解、基础解系,定理2 设有非齐次线性方程组（1,例7,解,1）是,2,3,由（2）即得条件,1、特征值的求法,2、特征向量的求法,特征值和特征向量,3、对角化,看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵,充要条件,充分条件,有n 个不同特征值;或 A为实对称矩阵,填空题,已知三阶方阵的三个特征值为，则 |A|（ ）， 的特征值为（ ）， 的特征值为（ ）， 的特征值为（,设k=0，k是正整数，则的特征值为（ ）,若，则的特征值为（ ）,1/2, 1/3,4, 1, 16,0,0, 1,4设A是3阶方阵，已知方阵， 都不可逆，则的特征值为（,已知三阶矩阵A的特征值为， 则（,1, -1, 3,72,例8,1）求,设,相似于,1）由性质,2,2,解,例9,二次型,1、利用正交变