诱导公式的总结大全

1、实用标准文案诱导公式1i jnuctxs-u诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n ( n/2) a的三角函数转化为角a的三角函数。常用的诱导公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n + a)=sin aCOS ( 2k n + a)=COS atan ( 2k n + a)=tan aCOt ( 2k n + a)=COt a公式二：设a为任意角，n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (n + a)= sin aCOS (n + a)= COs atan (n + a)= tan aCOt (n + a)= COt a公式三

2、： 任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a) sin aCOS (a) COS atan ( a) tan aCOt (a) COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系：sin (n a)= sin aCOS (n a) COs atan (n a)= tan aCOt (n a) COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a与a的三角函数值之间的关系：sin(2 n-a) sin acos(2 n a)COs atan(2 n a) tan aCOt(2 n a) COt a公式六：n/2 a与a的三角函数值之间的关系sin(n/

3、2+ a)= COs acos(n/2+ a)= Sin atan(n/2+ a) COt aCOt(n/2+ a) tan asin(n/2 -a)=cosacos(n/2 -a)=sinatan(n/2 -a)=cotacot(n/2 -a)=ta na诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。“奇、偶”指的是整数 n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角a看做锐角，不考虑a角所在象限，看n ( n/2) 口是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是

4、说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ + ” ；第二象限内只有正弦是 “ + ”，其余全部是“”； 第三象限内只有正切和余切是“ + ”，其余全部是“一”；第四象限内只有余弦是“ + ”，其余全部是“”。其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系tan a cot a=1Sin a CSC a=1COS a Sec a=1商的关系sin a/cos a=tan a=sec a/csc aCOS a/sin a=COt a=CSC a/sec a平方关系sE2( a + cosA2( a=i1 + tanA2( a = secA2( a)1 + cotA2( a)= cscK2(

5、 a同角三角函数关系六角形记忆法构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系 式。平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式sin (a + B)=sin acos B+cos asin Bsin (a B)=sin acos Bcos asin Bcos (a + B)= cos acos Bsin asin Bcos (a B)= cos ac

6、os B+sin asin Btan (a + B)= (tan a+tan B )/(1 tan a tan B)tan(a_P)=(tan atan/(1 + tan atan B)二倍角的正弦、余弦和正切公式口) 1 = 1 2si 门八2( asin2 a=2s in a cos acos2 a=cosA2( a sinA2( a)= 2cosA2(tan2 a=2tan a/(1 tan八2( a)半角的正弦、余弦和正切公式sinA2( a/2) = (1 cos a)/2COsA2( a/2) = (1 + cos a)/2tanA2( a/2) = (1 cos a)/(1 +

7、cos a)tan( a/2)=(1 cos a)/sin a=sin a/1+cos a万能公式sin a=2tan( a/2)/(1 + tan八2( a/2)cos a=(1 tanA2( a/2)/(1 + tan八2( a/2)tan a=(2tan( a/2)/(1 tan八2( o/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a=3sin a4si门八3( a)cos3 a=4C0SA3(a 3cos atan3 a=(3tan ata门八3( a)/(1 3ta门八2( a)三角函数的和差化积公式sin a+sin p=2sin( a + /2)cos( a /2)sin asi

8、n B=2cos( a + B)/2)sin( a /2)COS a+cos B=2cos( a + /2) cos( a /2)cos acos B=2sin( a + /2) sin( a )/2)三角函数的积化和差公式sin a cos B=0.5si n(a + + sin( a Bcos a sin B=0.5si n(a + sin( a Bcos a cos 13 =0.5cos(a + B) + cos( a -B)sin a sin B 0.5cos( a + B) cos(a B)公式推导过程万能公式推导sin2 a=2sin acos a=2sin acos a/(cos

9、A2(a)+sinA2(a)* ,(因为 cosA2( a)+sinA2(a)=1 )再把*分式上下同除 cosA2( a)，可得sin2 a=2tan a/(1 + ta门八2( a) 然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3 a=sin3 a/cos3 a=(sin2 acos a+cos2 asin a)/(cos2 acos a-sin2 asin a)=(2sin acosA2( a) + cosA2( a)sin asinA3( a)/(cosA3(a) cos asinA2( a 2si门八2( a)cos a

10、)上下同除以cosA3( a),得：tan3 a=(3tan atanW( a)/(1-3tanT(a)sin3 a=si n(2 a + a) = si n2 acos a+cos2 as in a=2sin acosA2( a) + (1 2sinT( a)sin a=2sin a2si门八3( a) + sin a2si门八3( a)=3sin a4si门八3( a)cos3 a=cos(2 a + a) = cos2 acos asin2 asin a=(2cosA2( a 1)cos a2cos asinA2( a)=2cosA3( a) cos a+(2cos a2COSA3( a

11、)=4cosA3( a) 3cos a即sin3 a=3sin a4si门八3( a)cos3 a=4cosA3( a 3cos a和差化积公式推导首先，我们知道sin (a+b)=si na*cosb+cosa*si nb,si n(a-b)=si na*cosb-cosa*s inb我们把两式相加就得到sin( a+b)+si n( a-b)=2s in a*cosb所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-s in a*s

12、in b,cos(a-b)=cosa*cosb+s in a*s inb所以，把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sin a*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sin a*cosb=(si n(a+b)+s in (a-b)/2cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*si nb=-(cos(a+

13、b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sin x+si ny=2si n(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sin x-si ny=2cos(x+y)/2)*s in (x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2s in (x+y)/2)*si n( (x-y)/2)精彩文档诱导公式2转换为角诱导公式是数学三角函数中

14、将角度比较大的三角函数利用角的周期性, 度比较小的三角函数。目录诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式二倍角公式半角公式万能公式诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式二倍角公式半角公式万能公式?万能公式推导?三倍角公式?三倍角公式推导?三倍角公式联想记忆?和差化积公式?积化和差公式?和差化积公式推导展开aSIJ1UCtJS 0-诱导公式【诱导公式】公式常用的诱导公式有以下几组：(公式一公式五函数名未改变, 六函数名发生改变)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数 的值相等：弧度制下的角的表示：

15、sin (2k n + a)=sin a ( k Z)cos ( 2k n + a)=cos a ( k Z)tan ( 2k n + a)=tan a (k Z)cot ( 2k n + a)=COt a ( k Z)sec ( 2k n + a)=sec a ( k Z)csc ( 2k n + a)=csc a ( k Z)角度制下的角的表示：sin ( a+k 360 = sin a(k Z)cos( a+k 360 = cos a(k Z)tan ( a+k 360 = tan a(k Z)cot (a+k 360 )=cot a ( k Z)sec (a +k 360 )=sec

16、a ( k Z)csc (a+k 360 )=csc a (k Z)公式二：设a为任意角，n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:弧度制下的角的表示：sin (n + a)= sin aCOS (n + a)= COS a tan (n + a)= tan a COt (n + a)= COt a sec (n + a)= sec a CSC (n + a)= CSC a 角度制下的角的表示：sin(1800+a)sin aCOS(1800+a)COS atan(1800+a)ta n aCOt(1800+a) COt asec(1800+a)seC aCSC(1800+a)CSC

17、a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin(a)sin aCOS(a)COS atan(a)tan aCOt(a)COt aseC(a)=sec aCSC a) CSC a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系:弧度制下的角的表示：sin (n a)= sin aCOS (n a)= COS atan (n a)= tan aCOt (n a)= COt asec (n a) sec aCSC (n a) csc a角度制下的角的表示：sin (180 a)sin acos ( 180 a)-cos atan (180 a)tan acot ( 180

18、 a)cot asec (180 a)sec acsc ( 180 a)=csc a公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a与a的三角函数值之间的关系:弧度制下的角的表示：sin(2 n-a)sin acos(2 n-a)Cos atan(2 n-a)tan acot(2 n-a)Cot asec(2 n-a)=sec aCSC ( 2 n a)= CSC a角度制下的角的表示：sin(360 a)=sin acos(360 -a)=cos atan(360 -a)=tan acot(360 a)=COt asec(360 -a)=sec acsc(360 a)=csc a小结:以上五组

19、公式可简记为：函数名不变，符号看象限即*+k 360 k Z ),-a,180 a ,60 a的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号公式六：n/2 a及3 n/2 口与口的三角函数值之间的关系：(1.4.)1. n/2 +a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示:sin (n/2 + a)= cos a cos (n/2 + a)= sin a tan (n/2 + a)= cot a cot (n/2 + a)= tan a sec (n/2 + a)= csc a csc (n/2 +a)= sec a角度制下的角的表示：sin(90 +a)=

20、cos acos(90 +a)=sin atan(90 +a)=cot acot(90 +a)= ta n asec(90 +a)=csc acsc(90 +a)=sec a2.n/2 a与m a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin (n/2 a)= cos acos (n/2 a)= sin atan (n/2 a)= cot acot (n/2 a)= tan asec (n/2 a)= csc acsc (n/2 a)= sec a角度制下的角的表示：sin (90 a = cos acos (90 () = sin atan (90 () = cot acot (90 )

21、= tan asec (90 ()= csc acsc (90 ()= sec a3. 3 n/2 + a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin (3 n/2 +a)= cos a cos ( 3 n2 + a)= sin a tan (3 n/2 + a)= cot a cot ( 3 n/2 +a)= tan a sec ( 3 n/2 +a)= csc a csc ( 3 n/2 +a)= sec a 角度制下的角的表示：sin(270 + a) -cosacos(270 + a)sin atan(270 + a)-cotacot(270 + a)-ta nasec(270

22、 + a)csc acsc(270 + a)-seca4.3 n/2 a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin (3 n/2 a)= cos a cos ( 3 冗/2 a)= sin a tan ( 3 n/2 a)= cot a cot ( 3 n/2 a)= tan a sec ( 3 n/2 a) sec a csc ( 3 n/2 a) sec a角度制下的角的表示:sin(270 a)=cos acos(270 a)=sin atan(270 a)=cot acot(270 a)=tan asec(270 a)=csc acsc(270 a) _sec a温馨提示：1

23、在做题目的时候，最好将a看成是 锐角。2.k Z总结记忆：奇变偶不变，符号看 象限。奇偶是针对k而言的，变与不 变是针对三角函数名而言。诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k n/2 ak Z）的三角函数值， 当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变； 当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin cos;cos sin;tanf cot,cot tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：si n（2 n a） = sin（4 /2 a）， k = 4 为偶数，所以取 sin a。当 a 是锐角时，2 n a(270 ,3

24、60 ), sin(2 n-0) V 0 ,符号为“一”所以 sin(2 n a)= sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角k 360 a(k Z), -a、180a, 360 - a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。#各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“ + ”，其余全部是“一”；第三象限内切函数是“ + ”，弦函数是“一”；第四象限内只有余弦是“ + ”

25、，其余全部是“一”上述记忆口诀，一全正，二正弦,三内切，四余弦#还有一种按照函数类型分象限定正负：函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦+ 余弦+ +正切+余切+奇变偶不变，符号看象限同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan a cot a=1Sin a CSC a=1COS a Sec a=1商的关系：sin a/cos a=tan a=sec a/csc aCOS a/sin a=COt a=CSC a/sec a平方关系：sE2( a + cosA2( a=i1 + tanA2( a = secA2( a)1 + cotA2( a)= cscA2( a同

26、角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2 )商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶 点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系 式。(3 )平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函 数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin (a + B)=sin acos B+cos asin Bsin (a B)=sin acos Bcos asin Bcos (

27、a + B)= cos acos Bsin asin Bcos (a B)= cos acos B+sin asin Btan (a + B)= (tan a+tan B)/(1-tan atan B)tan (a B)= (tan atan B)/(1 + tan atan B)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式)sin2 a=2sin acos acos2 a=cosA2( a sinA2( a)= 2cosA2( a) 1 = 1 2sinT( a) tan2 a=2tan a/1 ta门八2( a)半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)sinA2( a/2

28、) = (1 cos a)/2COSA2( a/2) = (1 + cos a) / 2tanA2( a/2) = (1 cos a) / (1 + cos a)另也有 tan( a/2)=(1 cos a)/sin a=sin a/(1+cos a)万能公式万能公式sin a=2tan( a/2)/1+ta门八2(o/2)cos a=1-tanA2(a/2)/1+ta门八2(a/2)tan a=2tan( a/2)/1-ta门八2(a/2)万能公式推导附推导：sin2 a=2sin acos a=2sin acos a/(cosA2(a)+sin八2(a)* ,(因为 cosA2( a)+s

29、i门八2( a)=1 )再把*分式上下同除 cosA2( a，可得sin2 a=2tan a/(1 + ta门八2( a) 然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a=3sin a4si门八3( a)cos3 a=4cosA3( a 3cos atan3 a=3ta n ata nW( a) / 1 3ta nT( a)=ta n ata n( n/3+a)tan( n/3- a)三倍角公式推导附推导：tan3 a=sin3 a/cos3 a=(sin2 acos a+cos2 asin a)/(c

30、os2 a cos a-s in2 asin a)=(2sin acosA2( a) + cosA2( a)sin asinW( a)/(cosA3(a) cos asE2( a 2si门八2( a)cos a)上下同除以cosA3( a),得：tan3 a=(3tan ata门八3( a)/(1-3ta门八2(a)sin3 a=si n(2 a + a) = si n2 acos a+cos2 as in a=2sin acosA2( a) + (1 2si门八2( a)sin a=2sin a2si门八3( a) + sin a2si门八3( a)=3sin a4si门八3( a)cos3

31、 a=cos(2 a + a) = cos2 acos asin2 asin a=(2cosA2( a 1)cos a2cos asinA2( a)=2cosA3( a) cos a+(2cos a2cosA3( a=4cosA3( a) 3cos a即sin3 a=3sin a4si门八3( a)cos3 a=4cosA3( a 3cos a三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱” (音似“正弦”)余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有“余”)注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余 弦表示。另外的记忆方法：正

32、弦三倍角：山无司令(谐音为 三无四立)三指的是3倍sin a,无 指的是减号,四指的是4倍，立指的是sin a立方余弦三倍角：司令无山 与上同理和差化积公式三角函数的和差化积公式sin a+sinB=2sin( a +/2cos( a /2sin asinB=2cos( a +)/2sin( a /2cos a+cos B=2cos( a + /2 cos( a /2cos acos B=2sin( a + /2 sin( a /2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin a cos B=0.5sin( a + B) + sin( a cos a sin =0.5sin( a + sin( a

33、 COS a cos B=0.5cos( a + + COS( a sin a sin 0.5cos( a + ) cos( a 和差化积公式推导附推导：首先，我们知道sin (a+b)=si na*cosb+cosa*si nb,si n(a-b)=si na*cosb-cosa*s inb我们把两式相加就得到sin( a+b)+si n( a-b)=2s in a*cosb所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-s in a

34、*s in b,cos(a-b)=cosa*cosb+s in a*s inb所以，把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sin a*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sin a*cosb=(si n(a+b)+s in (a-b)/2cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*si nb=-(co

35、s(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式sin x+si ny=2si n(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sin x-si ny=2cos(x+y)/2)*s in (x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2si n(x+y)/2)*si n( (x-y)/2)反三角函数其他公式arcsi n(-x)=

36、-arcsi nxarccos(-x)=n-arccosxarcta n(-x)=-arcta nxarccot(-x)=n-arccotxarcs in x+arccosx=n/2=arcta nx+arccotxsin( arcs in x)=cos(arccosx)=ta n( arcta nx)=cot(arccotx)=x当 x 卜 n/2,n/2有 arcsin(sinx)=xx 0,冗,arccos(cosx)=xx (- n/2,n/2), arctan(tanx)=xx (0, 冗)，arccot(cotx)=xx0, arcta nx=n/2-arcta n1/x, arccotx 类似若(arcta nx+arcta ny)(- n /2, n /2), 则arcta nx+arcta ny=arcta n(x+y/1-xy)三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号:Sin a c acos a SC atan a cot a三角函数的图像和性质:372y=cosx-54 -3 ”、-4-7-2-3T2-1y=ta nxJ/f1f