(完整版)二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案,推荐文档

1、二次函数综合题（菱形的存在性）专项训练1. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 oabc 的边 oc、oa 分别与 x 轴、y 轴重合， aboc，aoc=90，bco=45，bc=12，点 c 的坐标为（18，0）（1） 求点 b 的坐标；（2） 若直线 de 交梯形对角线 bo 于点 d，交 y 正半轴于点 e，且 oe=4，od=2bd，求直线 de 的解析式；（3） 若点 p 是（2）中直线 de 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 q，使以 o、e、p、q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 q 的坐标；若不存在，请说明理由132. 如图，抛物线 y=ax2+bx2 的对称

2、轴是直线 x=1，与 x 轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c，点 a 的坐标为（2，0），点 p 为抛物线上的一个动点，过点 p 作 pdx 轴于点 d，交直线 bc 于点 e（1） 求抛物线解析式；（2） 若点 p 在第一象限内，当 od=4pe 时，求四边形 pobe 的面积；（3） 在（2）的条件下，若点 m 为直线 bc 上一点，点 n 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点m 和点 n，使得以点 b，d，m，n 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 n 的坐标；若不存在， 请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】3. 如图，抛物线 y=ax

3、22x+c（a0）与 x 轴、y 轴分别交于点 a，b，c 三点，已知点 a（2，0），点 c（0，8），点 d 是抛物线的顶点（1） 求抛物线的解析式及顶点 d 的坐标；（2） 如图 1，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 e，第四象限的抛物线上有一点 p，将ebp 沿直线 ep 折叠， 使点 b 的对应点 b落在抛物线的对称轴上，求点 p 的坐标；（3） 如图 2，设 bc 交抛物线的对称轴于点 f，作直线 cd，点 m 是直线 cd 上的动点，点 n 是平面内一点，当以点 b，f，m，n 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 m 的坐标4. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+4 的图象过

4、a（1，0），b（4，0）两点，与 y 轴交于点 c，作直线 bc，动点 p 从点 c 出发，以每秒个单位长度的速度沿 cb 向点 b 运动，运动时间为 t 秒，当点 p 与点 b 重合时停止运动（1）求抛物线的表达式；（2） 如图 2，当 t=1 时，求 sacp 的面积；（3） 如图 3，过点 p 向 x 轴作垂线分别交 x 轴，抛物线于 e、f 两点求 pf 的长度关于 t 的函数表达式，并求出 pf 的长度的最大值；连接 cf，将pcf 沿 cf 折叠得到pcf，当 t 为何值时，四边形 pfpc 是菱形？5. 如图，已知已知抛物线经过原点 o 和 x 轴上一点 a（4，0），抛物线顶

5、点为 e，它的对称轴与 x 轴交于点 d，直线 y=2x1 经过抛物线上一点 b（2，m）且与 y 轴交于点 c，与抛物线的对称轴交于点f（1）求 m 的值及该抛物线的解析式（2）p（x，y）是抛物线上的一点，若 sadp=sadc，求出所有符合条件的点 p 的坐标（3）点 q 是平面内任意一点，点 m 从点 f 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动， 设点 m 的运动时间为 t 秒，是否能使以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点m 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由6. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y=a（x+1）23 与 x

6、 轴交于 a，b 两点（点 a 在点 b 的左侧），与 y 轴交于点 c（0，），顶点为 d，对称轴与 x 轴交于点 h，过点 h 的直线 l 交抛物线于 p，q 两点，点 q 在 y 轴的右侧（1） 求 a 的值及点 a，b 的坐标；（2） 当直线 l 将四边形 abcd 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式；（3） 当点 p 位于第二象限时，设 pq 的中点为 m，点 n 在抛物线上，则以 dp 为对角线的四边形 dmpn能否为菱形？若能，求出点 n 的坐标；若不能，请说明理由7. 已知抛物线 y=x2+1（如图所示）（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是

7、 ；（2） 已知 y 轴上一点 a（0，2），点 p 在抛物线上，过点 p 作 pbx 轴，垂足为 b若pab 是等边三角形，求点 p 的坐标；（3） 在（2）的条件下，点 m 在直线 ap 上在平面内是否存在点 n，使四边形 oamn 为菱形？若存在， 直接写出所有满足条件的点 n 的坐标；若不存在，请说明理由8.(2016 ft东省威海市)如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 a（2，0），点 b（4，0），点 d（2，4），与 y 轴交于点 c，作直线 bc，连接 ac，cd（1）求抛物线的函数表达式；（2）e 是抛物线上的点，求满足ecd=aco 的点 e 的坐标；（3）点

8、 m 在 y 轴上且位于点 c 上方，点 n 在直线 bc 上，点 p 为第一象限内抛物线上一点，若以点c，m，n，p 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长9. (2012 ft东省烟台市) 如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形 abcd 的三个顶点 b(1，0) ， c(3，0) ，d(3，4) ，以 a 为顶点的抛物线 y = ax2 + bx + c 过点c ，动点 p 从点 a 出发，沿线段 ab 向点 b 运动同时动点q 从点c 出发，沿线段cd 向点 d 运动，点 p，q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为t 秒，过点 p 作 pe ab 交 ac 于点 e （1） 直接写出点

9、 a 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2） 过点 e 作 ef ad 于 f ，交抛物线于点g ，当t 为何值时， acg 的面积最大？最大值为多少？（3） 在动点 p，q 运动的过程中，当t 何值时，在矩形 abcd 内（包括边界）存在点 h ，使以c，eh 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值10.(2012 青海省) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 a、b 两点，b点的坐标为(3，0)，与 y 轴交于c(0，- 3) 点，点 p 是直线 bc 下方抛物线上的动点.（1） 求这个二次函数表达式；（2） 连接 po，pc，并将poc 沿 y

10、 轴对折，得到四边形 popc ，那么是否存在点 p，使四边形popc 为菱形？若存在，求出此时点 p 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 当点 p 运动到什么位置时，四边形 abpc 的面积最大？求出此时 p 点的坐标和四边形 abpc 的最大面积.二次函数之菱形的存在性参考答案1. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 oabc 的边 oc、oa 分别与 x 轴、y 轴重合， aboc，aoc=90，bco=45，bc=12，点 c 的坐标为（18，0）（1） 求点 b 的坐标；（2） 若直线 de 交梯形对角线 bo 于点 d，交 y 正半轴于点 e，且 oe=4，od=2bd，求直线

11、de 的解析式；（3） 若点 p 是（2）中直线 de 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 q，使以 o、e、p、q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 q 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）过点 b 作 bfx 轴于 f，在 rtbcf 中bco=45，bc=12 cf=bf=12c 的坐标为（18，0）ab=of=6点 b 的坐标为（6，12）（2） 过点 d 作 dgy 轴于点 g，abdg，odgoba，=，ab=6，oa=12，dg=4，og=8，d（4，8）， e（0，4）设直线 de 解析式为 y=kx+b（k0）；直线 de 解析式为 y=x+4（3） 结

12、论：存在设直线 y=x+4 分别与 x 轴、y 轴交于点 e、点 f，则 e（0，4），f（4，0）， oe=of=4，ef=4 如答图 2 所示，有四个菱形满足题意菱形 oep1q1，此时 oe 为菱形一边则有p1e=p1q1=oe=4，p1f=efp1e=44易知p1nf 为等腰直角三角形，p1n=nf=p1f=42 ； 设 p1q1 交 x 轴于点 n，则 nq1=p1q1p1n=4（42）=2， 又 on=ofnf=2，q1（2，2）；菱形 oep2q2，此时 oe 为菱形一边此时 q2 与 q1 关于原点对称，q2（2，2）；菱形 oeq3p3，此时 oe 为菱形一边此时 p3 与点

13、 f 重合，菱形 oeq3p3 为正方形，q3（4，4）；菱形 op4eq4，此时 oe 为菱形对角线 由菱形性质可知，p4q4 为 oe 的垂直平分线，由 oe=4，得 p4 纵坐标为 2，代入直线解析式 y=x+4 得横坐标为 2，则 p4（2，2），由菱形性质可知，p4、q4 关于 oe 或 y 轴对称，q4（2，2）综上所述，存在点 q，使以 o、e、p、q 为顶点的四边形是菱形；点 q 的坐标为：q1（2，2），q2（2，2），q3（4，4），q4（2，2）2. 如图，抛物线 y=ax2+bx2 的对称轴是直线 x=1，与 x 轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c，点 a 的坐

14、标为（2，0），点 p 为抛物线上的一个动点，过点 p 作 pdx 轴于点 d，交直线 bc 于点 e（1） 求抛物线解析式；（2） 若点 p 在第一象限内，当 od=4pe 时，求四边形 pobe 的面积；（3） 在（2）的条件下，若点 m 为直线 bc 上一点，点 n 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点m 和点 n，使得以点 b，d，m，n 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 n 的坐标；若不存在， 请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】二次函数综合题（菱形的存在性）专项训练【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx2 的对称轴是直线 x=1，a

15、（2，0）在抛物线上，解得：，抛物线解析式为 y=x2x2；（2）令 y=x2x2=0，解得：x1=2，x2=4，当 x=0 时，y=2，b（4，0），c（0，2），设 bc 的解析式为 y=kx+b，则，解得： ，y=x2，设 d（m，0），dpy 轴，e（m， m2），p（m， m2 m2），od=4pe，14m=4（m2 m2 m+2），m=5，m=0（舍去），d（5，0），p（5，），e（5，），四边形 pobe 的面积=sopdsebd=5（3）存在，设 m（n，n2），以 bd 为对角线，如图 1，四边形 bndm 是菱形，mn 垂直平分 bd，n=4+，m（，），m，n 关于 x

16、 轴对称，n（，）；以 bd 为边，如图 2，四边形 bndm 是菱形，mnbd，mn=bd=md=1，过 m 作 mhx 轴于 h，mh2+dh2=dm2，即（ n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合题意），n2=5.6，n（4.6，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+（不合题意，舍去），n2=4，n（5，），1 =；以 bd 为边，如图 3，过 m 作 mhx 轴于 h，mh2+bh2=bm2，即（n2）2+（n4）2=12，n1=4+，n2=4（不合题意，舍去），二次函数综合题（菱形的存在性）专项训练n（5+，），综上所述，当 n（，）或（4.6，）或（5，）或（5+，），

17、以点 b，d，m，n为顶点的四边形是菱形3. 如图，抛物线 y=ax22x+c（a0）与 x 轴、y 轴分别交于点 a，b，c 三点，已知点 a（2，0），点 c（0，8），点 d 是抛物线的顶点（1） 求抛物线的解析式及顶点 d 的坐标；（2） 如图 1，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 e，第四象限的抛物线上有一点 p，将ebp 沿直线 ep 折叠， 使点 b 的对应点 b落在抛物线的对称轴上，求点 p 的坐标；（3） 如图 2，设 bc 交抛物线的对称轴于点 f，作直线 cd，点 m 是直线 cd 上的动点，点 n 是平面内一点，当以点 b，f，m，n 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点

18、 m 的坐标【解答】解：（1）将点 a、点 c 的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：a=1，c=8抛物线的解析式为 y=x22x8y=（x1）29，d（1，9）21（2） 将 y=0 代入抛物线的解析式得：x22x8=0，解得 x=4 或 x=2，b（4，0）y=（x1）29，抛物线的对称轴为 x=1，e（1，0）将ebp 沿直线 ep 折叠，使点 b 的对应点 b落在抛物线的对称轴上，ep 为bef 的角平分线bep=45设直线 ep 的解析式为 y=x+b，将点 e 的坐标代入得：1+b=0，解得 b=1，直线 ep 的解析式为 y=x+1将 y=x+1 代入抛物线的解析式得：x+1=x

19、22x8，解得：x=或 x=点 p 在第四象限，x=y=p（，）（3） 设 cd 的解析式为 y=kx8，将点 d 的坐标代入得：k8=9，解得 k=1，直线 cd 的解析式为 y=x8设直线 cb 的解析式为 y=k2x8，将点 b 的坐标代入得：4k28=0，解得：k2=2直线 bc 的解析式为 y=2x8 将 x=1 代入直线 bc 的解析式得：y=6，f（1，6）设点 m 的坐标为（a，a8）当 mf=mb 时，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2，整理得：6a=75，解得：a=点 m 的坐标为（，）当 fm=fb 时，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2，整

20、理得：a2+a20=0，解得：a=4 或 a=5点 m 的坐标为（4，12）或（5，3）综上所述，点 m 的坐标为（，）或（4，12）或（5，3）4. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+4 的图象过 a（1，0），b（4，0）两点，与 y 轴交于点 c，作直线 bc，动点 p 从点 c 出发，以每秒个单位长度的速度沿 cb 向点 b 运动，运动时间为 t 秒，当点 p 与点 b 重合时停止运动（1） 求抛物线的表达式；（2） 如图 2，当 t=1 时，求 sacp 的面积；（3） 如图 3，过点 p 向 x 轴作垂线分别交 x 轴，抛 物线于 e、f 两点求 pf 的长度关于 t 的函数表达

21、式，并求出 pf 的长度的最大值；连接 cf，将pcf 沿 cf 折叠得到pcf，当 t 为何值时，四边形 pfpc 是菱形？【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+4 的图象过 a（1，0），b（4，0）两点，解得：抛物线的表达式为 y=x2+3x+4（2）令 x=0，则 y=4，即点 c 的坐标为（0，4），bc=4设直线 bc 的解析式为 y=kx+4，点 b 的坐标为（4，0），0=4k+4，解得 k=1，直线 bc 的解析式为 y=x+4当 t=1 时，cp=，点 a（1，0）到直线 bc 的距离 h=，sacp= cph= =（3）直线 bc 的解析式为 y=x+4，cp=t，

22、oe=t，设 p（t，t+4），f（t，t2+3t+4），（0t4） pf=t2+3t+4（t+4）=t2+4t，（0t4）当 t=2 时，pf 取最大值，最大值为 4pcf 沿 cf 折叠得到pcf，pc=pc，pf=pf， 当四边形 pfpc 是菱形时，只需pc=pf t=t2+4t，解得：t1=0（舍去），t2=4故当 t=4时，四边形 pfpc 是菱形5. 如图，已知已知抛物线经过原点 o 和 x 轴上一点 a（4，0），抛物线顶点为 e，它的对称轴与 x 轴交于点 d，直线 y=2x1 经过抛物线上一点 b（2，m）且与 y 轴交于点 c，与抛物线的对称轴交于点f（1）求 m 的值及

23、该抛物线的解析式（2）p（x，y）是抛物线上的一点，若 sadp=sadc，求出所有符合条件的点 p 的坐标（3）点 q 是平面内任意一点，点 m 从点 f 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动， 设点 m 的运动时间为 t 秒，是否能使以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点m 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由【解答】解：（1）点 b（2，m）在直线 y=2x1 上m=2（2）1=41=3，所以，点 b（2，3），又抛物线经过原点 o，设抛物线的解析式为 y=ax2+bx，点 b（2，3），a（4，0）在抛物线上，解得：抛物线的解析式为y=x

24、2x；（2）p（x，y）是抛物线上的一点，p（x，x2x），若 sadp=sadc，sadc= adoc，sadp= ad|y|，又点 c 是直线 y=2x1 与 y 轴交点，c（0，1），oc=1，|x2x|=1，即x2x=1，或 x2x=1，解得：x1=2+2 ，x2=22 ，x3=x4=2，点 p 的坐标为 p1（2+2，1）p2=（22，1），p3）2，1）；（3）结论：存在抛物线的解析式为 y=x2x，顶点 e（2，1），对称轴为 x=2；点 f 是直线 y=2x1 与对称轴 x=2 的交点，f（2，5），df=5又a（4，0），ae=如右图所示，在点 m 的运动过程中，依次出现四个

25、菱形：菱形 aem1q1此时 em1=ae=，m1f=dfdedm1=4 ，t1=4；菱形 aeom2此时 dm2=de=1，m2f=df+dm2=6，t2=6；菱形 aem3q3此时 em3=ae=，dm3=em3de= 1，m3f=dm3+df=（ 1）+5=4+，t3=4+；菱形 am4eq4此时 ae 为菱形的对角线，设对角线 ae 与 m4q4 交于点 h，则 aem4q4，易知aedm4eh，=，即=，得 m4e= ，dm4=m4ede= 1=，m4f=dm4+df= +5=，t4= 综上所述，存在点 m、点 q，使得以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为：

26、 t1=4 ，t2=6，t3=4+，t4=6. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y=a（x+1）23 与 x 轴交于 a，b 两点（点 a 在点 b 的左侧），与 y 轴交于点 c（0，），顶点为 d，对称轴与 x 轴交于点 h，过点 h 的直线 l 交抛物线于 p，q 两点，点 q 在 y 轴的右侧（1） 求 a 的值及点 a，b 的坐标；（2） 当直线 l 将四边形 abcd 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式；（3） 当点 p 位于第二象限时，设 pq 的中点为 m，点 n 在抛物线上，则以 dp 为对角线的四边形 dmpn能否为菱形？若能，求出点 n

27、 的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）抛物线与 y 轴交于点 c（0，）a3=，解得：a=，y= （x+1）23当 y=0 时，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，a（4，0），b（2，0）（2）a（4，0），b（2，0），c（0，），d（1，3）s 四边形abcd=sadh+s 梯形ocdh+sboc=33+（+3）1+ 2=10从面积分析知，直线 l 只能与边 ad 或 bc 相交，所以有两种情况：当直线 l 边 ad 相交与点 m1 时，则 s=10=3，3（y）=3y=2，点 m1（2，2），过点 h（1，0）和 m1（2，2）的直线 l 的解析式为 y=2x+2当直线

28、l 边 bc 相交与点 m2 时，同理可得点 m2（，2），过点 h（1，0）和 m2（，2）的直线 l的解析式为 y=x综上所述：直线 l 的函数表达式为 y=2x+2 或 y=x（3）设 p（x1，y1）、q（x2，y2）且过点 h（1，0）的直线 pq 的解析式为 y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（ k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，点 m 是线段 pq 的中点，由中点坐标公式的点 m（ k1， k2）假设存在这样的 n 点如图，直线 dnpq，设直线 dn 的解析式为 y=kx+k3由，解得：x1=1，x2=3k1，n（

29、3k1，3k23）四边形 dmpn 是菱形，dn=dm，（3k）2+（3k2）2=（ ）2+（ ）2， 整 理 得 ： 3k4k24=0，k2+10，3k24=0， 解得 k=，k0，k=，p（31，6），m（1，2），n（21，1）pm=dn=2，pmdn，四边形 dmpn 是平行四边形，dm=dn，四边形 dmpn 为菱形，以 dp 为对角线的四边形 dmpn 能成为菱形，此时点 n 的坐标为（21，1）7. 已知抛物线 y=x2+1（如图所示）（1） 填空：抛物线的顶点坐标是（ 0， 1），对称轴是 x=0（或 y 轴） ；（2） 已知 y 轴上一点 a（0，2），点 p 在抛物线上，过

30、点 p 作 pbx 轴，垂足为 b若pab 是等边三角形，求点 p 的坐标；二次函数综合题（菱形的存在性）专项训练（3） 在（2）的条件下，点 m 在直线 ap 上在平面内是否存在点 n，使四边形 oamn 为菱形？若存在， 直接写出所有满足条件的点 n 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是 y 轴（或 x=o）（2）pab 是等边三角形，abo=9060=30ab=20a=4pb=4解法一：把 y=4 代入 y=x2+1，得 x=2p1（2，4），p2（2，4）解法二：ob=2 p1（2，4） 根据抛物线的对称性，得 p2（2，4）（3）点 a 的坐标

31、为（0，2），点 p 的坐标为（2，4）设线段 ap 所在直线的解析式为 y=kx+b解得：解析式为：y=x+2设存在点 n 使得 oamn 是菱形，点 m 在直线 ap 上，设点 m 的坐标为：（m，m+2） 如 图 ， 作 mqy 轴 于 点 q， 则 mq=m，aq=oqoa=m+22= m四边形 oamn 为菱形，am=ao=2，在直角三角形 amq 中，aq2+mq2=am2，21即：m2+（ m）2=22解得：m= 代入直线 ap 的解析式求得 y=3 或 1，当 p 点在抛物线的右支上时，分为两种情况： 当 n 在右图 1 位置时，oa=mn，二次函数综合题（菱形的存在性）专项训

32、练mn=2，又m 点坐标为（，3），n 点坐标为（，1），即 n1 坐标为（，1）当 n 在右图 2 位置时，mn=oa=2，m 点坐标为（，1），n 点坐标为（，1），即 n2 坐标为（，1）当 p 点在抛物线的左支上时，分为两种情况：第一种是当点 m 在线段 pa 上时（pa 内部）我们求出 n 点坐标为（，1）；第二种是当 m 点在 pa 的延长线上时（在第一象限）我们求出 n 点坐标为（，1）存在 n1（，1），n2（，1）n3（，1），n4（，1）使得四边形 oamn 是菱形8.(2016 ft东省威海市)如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 a（2，0），点 b（4，0

33、），点 d（2，4），与 y 轴交于点 c，作直线 bc，连接 ac，cd（1）求抛物线的函数表达式；（2）e 是抛物线上的点，求满足ecd=aco 的点 e 的坐标；（3）点 m 在 y 轴上且位于点 c 上方，点 n 在直线 bc 上，点 p 为第一象限内抛物线上一点，若以点c，m，n，p 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长分析（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可（2） 分点 e 在直线 cd 上方的抛物线上和点 e 在直线 cd 下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3） 分cm 为菱形的边和cm 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 的

34、图象经过点 a（2，0），点 b（4，0），点 d（2，4），设抛物线解析式为 y=a（x+2）（x4），298a=4，a=，抛物线解析式为y=（x+2）（x4）=x2+x+4；（2） 如图 1，点 e 在直线 cd 上方的抛物线上，记 e， 连接 ce，过 e作 efcd，垂足为 f， 由（1）知，oc=4，aco=ecf，tanaco=tanecf，= ，设线段 ef=h，则 cf=2h， 点 e（2h，h+4）点 e在抛物线上， （2h）2+2h+4=h+4，h=0（舍）h=e（1， ），点 e 在直线 cd 下方的抛物线上，记 e，同的方法得，e（3， ），点 e 的坐标为（1， ），

35、（3， ）（3） cm 为菱形的边，如图 2， 在第一象限内取点 p，过点p作 pny 轴，交 bc 于 n，过点 p作 pmbc， 交 y 轴于 m，四边形 cmpn是平行四边形，四边形 cmpn是菱形，pm=pn，过点 p作 pqy 轴，垂足为 q，oc=ob，boc=90，ocb=45，pmc=45，设点p（m，m2+m+4），在 rtpmq中，pq=m，pm=m，b（4，0），c（0，4），直线 bc 的解析式为 y=x+4，pny 轴，n（m，m+4），pn=m2+m+4（m+4）=m2+2m，m2+2m， m=m=0（舍）或 m=42 ，菱形 cmpn的边长为（42）=44cm 为

36、菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点 p，过点 p 作 pmbc，交 y 轴于点 m，连接 cp，过点 m 作 mncp，交 bc 于n，四边形 cpmn 是平行四边形，连接 pn 交 cm 于点 q，四边形 cpmn 是菱形，pqcm，pcq=ncq，ocb=45，ncq=45，pcq=45，cpq=pcq=45，pq=cq，设点p（n，n2+n+4），cq=n，oq=n+2，n+4=n2+n+4，n=0（舍），此种情况不存在菱形的边长为 449. (2012 ft东省烟台市) 如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形 abcd 的三个顶点 b(1，0) ， c(3，0) ，d(3，

37、4) ，以 a 为顶点的抛物线 y = ax2 + bx + c 过点c ，动点 p 从点 a 出发，沿线段 ab 向点 b 运动同时动点q 从点c 出发，沿线段cd 向点 d 运动，点 p，q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为t 秒，过点 p 作 pe ab 交 ac 于点 e （1） 直接写出点 a 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2） 过点 e 作 ef ad 于 f ，交抛物线于点g ，当t 为何值时， acg 的面积最大？最大值为多少？（3） 在动点 p，q 运动的过程中，当t 何值时，在矩形 abcd 内（包括边界）存在点 h ，使以c，eh 为顶点的四边形为菱形？请直接写

38、出t 的值解：（1） a(1，4) .由题意知，可设抛物线解析式为 y = a(x -1)2 + 4 因抛物线过点c(3，0) ， 0 = a(3 -1)2 + 4 a = -1所以抛物线的解析式为 y = -(x -1)2 + 4 ， 即 y = -x2 + 2x - 3 .（2） a(1，4) ， c(3，0) ，可求直线 ac 的解析式为 y = -2x + 6 . 点 p(1，4 - t) .将 y = 4 - t 代入 y = -2x + 6 中，t解得点 e 的横坐标为 x = 1+.2点g 的横坐标为1+ t ，代入抛物线的解析式中，2-t2可求点g 的纵坐标为4.4t 2 t

39、244 ge = 4 - - (4 - t) = 4 -.又点 a 到ge 的距离为t， c 到ge 的距离为2 - t ，22即 s= s+ s= 1 eg t + 1 eg 2 - t acgaegceg2 222= 1 2 t - 1 = 1 (t - 2)2 +1 .当t = 2 时， s224 acg205（3） t =或t = 20 - 8.13的最大值为 1.10.(2012 青海省) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 a、b 两点，b点的坐标为(3，0)，与 y 轴交于c(0，- 3) 点，点 p 是直线 bc 下方抛物线上的动点.（1） 求这个二次函数表达式；（2） 连接 po，pc，并将poc 沿 y 轴对折，得到四边形 popc ， 是否存在点 p，使四边形 popc 为菱形？若存在，求出此时点 p 的若不存在，请说明理由；（3） 当点 p 运动到什么位置时，四边形 abpc 的面积最大？求出此那 么坐标；时 p 点的坐标和四边形 abpc 的最大面积.解：（1）将 b、c 两点的坐标代入 y=x2 +bx+c 得3b + c= - 9c= - 3b= - 2，解得c= - 3 .所以二次函数的表达式为： y=x2 - 2x