(完整版)人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典),推荐文档

1、（一）不等式与不等关系不等式的基本知识14 / 141、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b b, b c a c(3) 加法法则： a b a + c b + c ； a b, c d a + c b + d (同向可加)(4) 乘法法则： a b, c 0 ac bc ；a b, c 0 ac b 0, c d 0 ac bd (同向同正可乘)(5) 倒数法则： a b, ab 0 1 b 0 an bn (n n * 且n 1)n a(7) 开方法则： a b 0 n b (n n * 且n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差

2、变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax2 + bx + c 0或ax2 + bx + c 0d = 0d 0 ）的图象y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的根有两相异实根x1 , x2 (x1 0 (a 0)的解集x x x12b x x - 2a rax2 + bx + c 0)的解集xx x 0 f (x)g(x) 0; f (x) 0 f (x)g(x) 0g(x)g(x)g(x) 0min3、不等式的恒成立问

3、题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式 f (x) a 在区间 d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f (x) amax若不等式 f (x) b 在区间 d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f (x) b 0, m 0 ，则a b,则ac 2 bc 2 ； 若ac 2 bc 2 ,则a b ； 若a b ab b 2 ； 若a b 0,则 1 1 ；ab 若a b a ； 若a b b ；ab 若c a b 0,则ac - ab； 若 a b, 1 1 ，则 a 0, b c- bab其中正确的命题是 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.

4、设a 2 ， p = a +1a - 2， q = 2-a2 +4a-2 ，试比较 p, q 的大小3. 比较 1+ log x 3 与2 log x 2(x 0且x 1) 的大小4. 若 a b 1, p =lg a lg b, q = 1 (lg a + lg b), r = lg( a + b) ，则 p, q, r 的大小关22系是.（二） 解不等式题型三：解不等式5. 解不等式6.解不等式(x -1)(x + 2)2 0 。7.解不等式5 - xx2 - 2x - 3 0 的解集为x|-1x2，则 a =, b= 9. 关于 x 的不等式ax - b 0 的解集为(1,+) ，则关于

5、 x 的不等式 ax + b 0 的x - 2解集为10. 解关于 x 的不等式ax2 - (a +1)x +1 0 对0 x 1的所有实数 x 都成立，求m 的取值范围.13. 已知 x 0, y 0 且 1 + 9 = 1，求使不等式 x + y m 恒成立的实数m 的取值范围。xy（三）基本不等式题型五：求最值 a + bab214. （直接用）求下列函数的值域11（1）y3x 22x 2（2）yxx15. （配凑项与系数）（1）已知 x -1) 的值域。x +1注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 f (x) = x + a 的x单调性。x2 + 517.

6、（用耐克函数单调性）求函数 y =的值域。x2 + 418. （条件不等式）（1）若实数满足 a + b = 2 ，则3a + 3b 的最小值是.（2）已知 x 0, y 0 ，且 1 = 1，求 x + y 的最小值。+ 9xyy 2（3） 已知 x，y 为正实数，且 x 2 2 1，求 x 1y 2的最大值.1（4） 已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 yab的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca20. 正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(

7、1c)8abca bc21. 已知 a、b、c r+ ，且 a + b + c = 1。求证： 1 -1 1 -1 1 -1 8题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2 的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划题型八：目标函数求最值2x + y - 3 023. 满足不等式组7x + y - 8 0 ，求目标函数 k = 3x + y 的最大值x, y 0已

8、知实系数一元二次方程 x2 + (1+ a)x + a + b +1 = 0 的两个实根为 x 、 x ,并且1224. 24.0 x12. 则的取值范围是a -1x 03x + 4 y 42 2x, yy 0x + y+ 2x25. 已知满足约束条件： ,则的最小值是26. 已知变量 x, yx + 2 y - 3 0 目+标3y函- 3数 0 .z = ax + y （其中 a0）仅满足约束条件若x y -1 0在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为。 y 1，27. 已知实数 x，y 满足 y 2x -1 如果目标函数 z = x - y 的最小值为-1，则实数m 等x + y

9、 m于（）题型九：实际问题28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1.；2.p q ；3.当 0 x 4 时，1+ log 3 2 log 2 ；当1 x b 1 lg a lg blg a 0, lg b 0 q = 1 （ lg a + lg b) = p2abr = lg( a + b) lg= 1 lg ab = q225.6.x

10、| x 1 或 x = -2；7.(-1,1) u (2, 3) ）；rqp。8.不等式 ax2 + bx +12 0 的解集为x|-1x2，则 a =-6, b= 6 9.(-,-1) u (2,+) ）.10.解：当 a0 时，不等式的解集为x x 1； 2 分11当 a0时，a(x)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(x)(x1)0a1 a不等式的解集为x x 1或x ；6分a 11 当0a1时，1 a ，不等式的解集为 x 1 x a ； 8分111a当 a1时， 1，不等式的解集为x x -）213.m (-,166114. 解 ：（1）y3x 22x 22值域为 6，+）1（2

11、）当 x0 时，yxx22；11当 x0 时， yxx= （ xx）2=2值域为（，22，+）15.（1）解q x 0 ， y = 4x - 2 +1= - 5 - 4x +1 + 3 -2 + 3 = 144x - 55 - 4x当且仅当5 - 4x =15 -4x，即 x = 1 时，上式等号成立，故当 x = 1 时， ymax = 1。（2）当，即 x2 时取等号 当 x2 时， y = x(8 - 2x) 的最大值为 8。16. 解析一：4当,即时, y 2 （x +1) x +1+ 5 = 9 （当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x

12、1，化简原式在分离求最值。y =(t -1)2 + 7(t -1）+10t 2 + 5t + 4 4= t + 5t 4tttt当,即 t=时, y 2+ 5 = 9 （当 t=2 即 x1 时取“”号）。x2 + 4= t(t 2)x2 + 517. 解 ：令，则 y =x2 + 4+1= t + 1 (t 2)x2 + 4x2 + 4t因t 0, t 1 = 1 ，但t =1 解得t = 1不在区间2, +)，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为 y = t +在区间1, +)单调递增，所以在其子区间2, +)为单调递增函数，故 y 。t2 5所以，所求函数的值域为 2 , + 。18.

13、 （条件不等式）（1）解： 3a 和3b 都是正数， 3a + 3b 23a 3b = 2= 63a+b当3a = 3b 时等号成立，由 a + b = 2 及3a = 3b 得 a = b = 1即当 a = b = 1时， 3a + 3b 的最小值是 619 19 y9x（2）解：q x 0, y 0, x + y = 1， x + y = (x + y ) x + y = x +10 6 +10 = 16y当且仅当 y = 9x 时，上式等号成立，又 1 + 9 = 1，可得 x = 4, y = 12 时， (x + y )= 16xyxymin 2x（3）解：x 1y 2x下面将 x

14、，分别看成两个因式：34 23x4 即 x 1y 2 2x302b302b2 b 230b（4）解：法一：a b1 ，ab b1 b 由 a0 得，0b15b1令 tb+1，1t16，ab 12t 234t311616t2（t t ）34t t 282 ab2 abab2 ab18 y 18当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令 u则 u22 2u300， 5 2u31 ab3 2，ab18，y1819. 已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca20. 正数 a，b，

15、c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abca bc21. 已知 a、b、c r+ ，且 a + b + c = 1。求证： 1 -1 1 -1 1 -1 8证明：qa、b、c r+ ， a + b + c = 1。 1 -1 = 1- a = b + c 2 bc 。同理 1 -1 2 ac ，aaaabb1 -1 2 ab cc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得ac 1 1 12 bc 22 ab1aabca-1-1-1 abc= 8 。当且仅当 a = b = c =时取等号。322. 解：若设污水池长为 x 米，则宽为（米） 水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）

16、 池底面积：200（米 2）目标函数：23. 425. 124.(-3,- 1 )2126.( ,+)。227. 5解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元则 x，y 必须满足，目标函数为 z15x10y在可行区內的顶点附近 zf ( x，y ) 的最大值，所以，一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼，可得最大利润 110 元。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy

17、 people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, ca