(完整版)全等三角形辅助线系列之三--截长补短类辅助线作法大全,推荐文档

1、全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例 1】 如图，在dabc 中， bac = 6

2、0 ， ad 是bac 的平分线，且 ac = ab + bd ，求abc 的度数abdc【解析】法一：如图所示，延长 ab 至 e 使 be = bd ，连接 ed 、 ec 由 ac = ab + bd 知 ae = ac ，而bac = 60 ，则daec 为等边三角形注意到ead = cad ， ad = ad ， ae = ac ， daed dacd .从而有 de = dc ， dec = dce ，bed = bde = dce + dec = 2dec .所以dec = dce = 20 ， abc = bec + bce = 60 + 20 = 80 .法二：在 ac 上取

3、点 e ，使得 ae = ab ，则由题意可知ce = bd . 在dabd 和daed 中， ab = ae ， bad = ead ， ad = ad ， 则dabd daed ，从而 bd = de ，进而有 de = ce ， ecd = edc ，aed = ecd + edc = 2ecd .注意到abd = aed ，则：abc + acb = abc + 1 abc = 3 abc = 180 - bac = 120 ，22abc = 80 .【答案】见解析11 / 11abdaecebdc【例 2】 已知dabc 中， a = 60 ， bd 、ce 分别平分abc 和.ac

4、b ， bd 、ce 交于点o ，试判断 be 、cd 、 bc 的数量关系，并加以证明eodabc【解析】 be + cd = bc ，理由是：在 bc 上截取 bf = be ，连结of ， 利用 sas 证得dbeo dbfo ， 1 = 2 ， a = 60 ， boc = 90 + 1 a = 120 ， doe = 120 ，2 a + doe = 180 ， aeo + ado = 180 ， 1 + 3 = 180 ， 2 + 4 = 180 ， 1 = 2 ， 3 = 4 ， 利用 aas 证得dcdo dcfo ， cd = cf ， bc = bf + cf = be +

5、 cd 【答案】见解析e1od42 3abfc【例 3】 如图，已知在abc 内， bac = 60 ， c = 40 ，p、q 分别在 bc、ca 上，并且 ap、bq分别是bac、abc 的角平分线，求证： bq + aq = ab + bp apbqc【解析】延长 ab 至 d，使 bd = bp ，连 dp 在等腰bpd 中，可得bdp = 40 ， 从而bdp = 40 = acp ，adpacp（asa， ad = ac又qbc = 40 = qcb ，故 bq = qc ， bd = bp 从而 bq + aq = ab + bp 【答案】见解析【例 4】 如图，在四边形 abc

6、d 中， bc ba ， ad = cd ，bd 平分abc，求证：ada + c = 180 bc【解析】延长 ba 至 f，使 bf = bc ，连 fdbdfbdc（sas），dfb = dcb ， fd = dc又 ad = cd ，在等腰bfd 中， dfb = daf有bad + bcd = 180【答案】见解析【例 5】 点 m ， n 在等边三角形 abc 的 ab 边上运动， bd = dc ， bdc = 120 ， mdn = 60 ， 求证： mn = mb + nc nmabcd【解析】延长 nc 至 e ，使得ce = mb dbdc 是等腰三角形，且bdc = 1

7、20 ， dbc = dcb = 30 dabc 是等边三角形 abc = acb = bac = 60 mbd = abc + dbc = acb + dcb = dcn = dce = 90在ddbm 和ddce 中， bd = dc ， mb = ce ， ddbm ddce . de = dm , 1 = 2 .又 1 + ndc = 60 ， 2+ndc = end = 60 .在dmdn 与dedn 中，nd = nd ， mdn = edn = 60 ，de = dm dmnddend mn = en = nc + mb【答案】见解析nmc12abde【例 6】 如图在abc 中

8、， ab ac ， 1 = 2 ，p 为 ad 上任意一点，求证： ab - ac pb - pc 1 2pabdc【解析】延长 ac 至 f，使 af = ab ，连 pdabpafp（sas） bp = pf由三角形性质知pb - pc = pf - pc cf = af - ac = ab - ac【答案】见解析【例 7】 如图，四边形 abcd 中，abdc，be、ce 分别平分abc、bcd，且点 e 在 ad 上求证： bc = ab + dc aebcd【解析】在 bc 上截取 bf = ab ，连接 efbe 平分abc， abe = fbe又 be = be ，abefbe（

9、sas）， a = bfe ab/cd， a + d = 180 bfe + cfe = 180 ， d = cfe又 dce = fce ，ce 平分bcd， ce = cedcefce（aas）， cd = cf bc = bf + cf = ab + cd【答案】见解析【例 8】 如图，点 m 为正方形 abcd 的边 ab 上任意一点， mn dm 且与abc 外角的平分线交于点 n ， md 与 mn 有怎样的数量关系？nndcdcambeambe【解析】猜测 dm = mn .在 ad 上截取 ag = am ， dg = mb ，agm = 45gm =mbn = 135 ，dm

10、 =nmb ， ddgm dmbn ， dm = mn 【答案】见解析【例 9】 已知：如图， abcd 是正方形， fad = fae ，求证： be + df = ae a dadffb ecm【解析】延长cb 至 m ，使得 bm = df ，连接 am . ab = ad ， adcd ， abbm ， bm = df dabm dadf afd = amb ， daf = bam abcd afd = baf = eaf + bae = bae + bam = eam amb = eam ， ae = em = be + bm = be + df【答案】见解析bec【例 10】如图所

11、示，已知正方形 abcd 中，m 为 cd 的中点，e 为 mc 上一点，且bae = 2dam 求证： ae = bc + ce a dmeb c【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1) 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2) 通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等我们用(1)法来证明【答案】延长 ab 到 f ，使 bf = ce ，则由正方形性质知 af = ab + bf = bc + ce下面我们利用全等三角形来证明 ae = af 为此，连

12、接 ef 交边 bc 于g 由于对顶角bgf = cge ，所以rtbgf dcge (aas )，从而 bg = gc = 1 bc ，fg = eg ， bg = dm2于是rtabg rtadm (sas )，所以bag = dam = 1 bae = eag ， ag 是eaf 的平分线2gha dm eb cf【例 11】五边形 abcde 中， ab = ae ， bc + de = cd ， abc + aed = 180 ，求证：ad 平分cdeabecd【解析】延长 de 至 f，使得 ef = bc ，连接 ac. abc + aed = 180 ， aef + aed =

13、 180 ， abc = aef ab = ae ， bc = ef ，abcaef ef = bc ， ac = af bc + de = cd ， cd = de + ef = dfadcadf， adc = adf即 ad 平分cde.【答案】见解析eafbcd【例 12】若 p 为dabc 所在平面上一点，且apb = bpc = cpa = 120 ，则点 p 叫做dabc 的费马点（1） 若点 p 为锐角dabc 的费马点，且abc = 60 ， pa = 3，pc = 4 ，则 pb 的值为 ；（2） 如图，在锐角dabc 外侧作等边dacb ，连结 bb 求证： bb 过dab

14、c 的费马点 p ，且 bb = pa + pb + pc cabb23【解析】（1）（2）证明：在 bb 上取点 p ，使bpc = 120 ，连结 ap ，再在 pb 上截取 pe = pc ，连结ce bpc = 120 ， epc = 60 ， dpce 为正三角形， pc = ce ， pce = 60 ， ceb = 120 ， dacb 为正三角形， ac = bc ， acb = 60 ， pca + ace = ace + ecb = 60 ， pca = ecb ， dacp dbce ， apc = bce = 120 ， pa = eb ， apb = apc = bp

15、c = 120 ， p 为dabc 的费马点， bb 过dabc 的费马点 p ，且 bb= eb + pb + pe = pa + pb + pc 【答案】见解析epcabb课后复习【作业 1】已知，ad 平分bac， ac = ab + bd ，求证： b = 2c abdc【解析】延长 ab 至点 e，使 ae = ac ，连接 dead 平分bac， ead = cad ae = ac ， ad = ad ，aedacd（sas， e = c ac = ab + bd ， ae = ab + bd ae = ab + be ， bd = be ， bde = e abc = e + b

16、de ， abc = 2e ， abc = 2c 【答案】见解析bdace【作业 2】如图，abc 中， ab = 2 ac ，ad 平分bac，且 ad = bd ，求证：cdacacbd【解析】在 ab 上取中点 f，连接 fd则adb 是等腰三角形，f 是底 ab 的中点，由三线合一知dfab，afd = 90adfadc（sas）acd = afd = 90 ，即：cdac【答案】见解析【作业 3】如图所示， dabc 是边长为1 的正三角形， dbdc 是顶角为120 的等腰三角形，以 d 为顶点作一个60 的mdn ，点 m 、 n 分别在 ab 、 ac 上，求damn 的周长n

17、mabcd【解析】如图所示，延长 ac 到 e 使ce = bm .在dbdm 与dcde 中，因为 bd = cd ， mbd = ecd = 90 ， bm = ce ， 所以dbdm dcde ， md = ed .因为bdc = 120 ， mdn = 60o ，所以bdm + ndc = 60 .又因为bdm = cde ，所以mdn = edn = 60 .在dmnd 与dend 中， dn = dn ， mdn = edn = 60 ， dm = de ， 所以dmnd dend ，则 ne = mn ，所以damn 的周长为2 .【答案】见解析anmcbed【作业 4】已知：a

18、c 平分bad，ceab， b + d = 180 ，求证： ae = ad + be cdaeb【解析】在 ae 上取 f，使 ef = eb ，连接 cfceab ceb = cef = 90 eb = ef ， ce = ce ，cebcef b = cfe bd = 180 ， cfe + cfa = 180 d = cfaac 平分bad dac = fac ac = acadcafc（sas） ad = af ae = af + fe = ad + be【答案】见解析“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very hap