(完整版)反比例函数专题知识点归纳常考(典型)题型重难点题型(含详细答案),推荐文档

1、反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+ 重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录1二、基础知识点21. 知识结构22. 反比例函数的概念23. 反比例函数的图象24. 反比例函数及其图象的性质25. 实际问题与反比例函数4三、常考题型61. 反比例函数的概念62. 图象和性质63. 函数的增减性94. 解析式的确定105. 面积计算136. 综合应用18三、重难点题型221. 反比例函数的性质拓展222. 性质的应用231. 求解析式232. 求图形的面积243. 比较大小244. 求代数式的值255. 求点的坐标256. 确定取值范围267. 确定函数的图象的位置26二、基础知识点1.

2、 知识结构2. 反比例函数的概念y =- 11. （k0）可以写成y =（k0）的形式，注意自变量x 的指数为1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0这一限制条件；y =2. （k0）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从而得到反比例函数的解析式； y =3. 反比例函数的自变量 x0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点3. 反比例函数的图象y =在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称）4. 反比例函数及其图象的性质y =1. 函数解析式：（k0）2. 自变量的取值范围：x03. 图象：（

3、1） 图象的形状：双曲线|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直|越小，图象的弯曲度越大（2） 图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 k0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当 k0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大（3） 对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（a，b）在双曲线的另一支上图象关于直线 y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（b，a）和（b，a）在双曲线的另一支上（4）k 的几何意义图1y =如图1，设点 p（a，b）是双曲线上任意一点，作 pax

4、轴于 a 点，pby 轴于 b 点，则矩形 pboa 的面积是|（三角形 pao1|和三角形 pbo 的面积都是2）图2如图2，由双曲线的对称性可知，p 关于原点的对称点 q 也在双曲线上，作 qcpa 的延长线于 c，则有三角形 pqc 的面积为2|（5）说明：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论 直 线 y=12与双曲线y = 的关系：当120时，两图象没有交点；当120时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称5.实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法：（1） 待定系数法；（2） 根据实际意义列函数解析式2. 注意学科间

5、知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上三、常考题型1. 反比例函数的概念（1） 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）ay=3xby3=2xc3xy=1dy=2答案：a 为正比例函数b 为一次函数c 变型后为反比例函数d 为二次函数（2） 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）y = 1y =- 1y = 1ay = 1 + 14b2c- 1d1答案：a 为反比例函数，k 为4b、c、d 都不是反比例函数2. 图象和性质（1） 已知函数y = （k + 1）2 +- 3是反比例函数。若它的图象在第二、四象限内，那么 k=若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=答案：因为函数是反比

6、例函数，且经过二、四象限 2+ 10所以+- 3 = - 1解得：k=2因为函数是反比例函数，且 y 随 x 的增大而减小 2+ 10所以+- 3 = - 1解得：k=1（2） 已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数y =的图象位于第象限答案：因为 y=ax+b 经过一、二、四象限所以 a0，b0所以 ab0y =所以函数经过二、四象限y = k（3） 若反比例函数经过点（1，2），则一次函数 y=kx+2的图象一定不经过第象限y = k答案：因为函数经过点（1，2）k所以2= - 1，解得 k=2所以 y=kx+2为 y=2x+2所以 a0，b0所以经过一、二、三象限

7、y = a（4） 已知 ab0，点 p（a，b）在反比例函数的图象上，则直线 y=ax+b 不经过的象限是 y = a答案：因为点 p（a，b）在反比例函数的图象上a所 以 b= = 1因为 ab0所以 a0所以 y=ax+b 经过一、二、四象限，不经过第三象限2y = k（5） 若 p（2，2）和 q（m， -）是反比例函数图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过哪几个象限？y = k答案：因为 p（2，2）是上的点所以 k=42y = k因为 q（m， -）是反比例函数图象上的点-2 = 4所以所以 m0所以 y=kx+m 经过一、三、四象限y = k（6） 已知函数 y=k（x

8、1）和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）a. bcd 答案：b3. 函数的增减性（1）y = （k0 ），11在反比例函数的图象上有两点 a（），b（2，2），且120，则1 -2的值为（ ）a正数b负数c非正数d非负数答案：a因为 k0所以函数图像在二、四象限，y 随x 的增大而增大因为12所以12，所以1 -2为正数y = -2 - 1（2） 在函数（a 为常数）的图象上有三个点11（ - 1， 1），（关系是怎样的？- 4， 2），（2， 3），则函数值1、2、3的大小y = -2 - 1-2 - 1答案：因为函数为，其中0所以函数图像在二、四象限，y 随 x 的增大而增大1

9、1因为1 - 42所以12355（3）下列四个函数中：y=5x；y=5x；y=；y= - 其中 y 随 x 的增大而减小的函数有：答案：要使 y 随 x 的增大而减小，则正比例函数 k0符合条件的有：为反比例函数，且 k0，是在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，不符合。综上得，符合条件的有：y =（4）已知反比例函数的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减小”）=2答案：=+ 1，解得x = 1= 2所以反比例函数过点（1,2），则 k=20所以当 x0时，在第一象限，y 随 x 的增大而减小4.

10、 解析式的确定11（1） 若 y 与 成反比例，x 与 成正比例，则 y 是z 的（ ） a正比例函数b反比例函数c一次函数d不能确定答案：b1因为 y 与 成反比例 1 所以 y=11因为 x 与 成正比例 1所以 x= 21合并得：yz= 2所以为反比例函数y =（2） 若正比例函数 y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则 m= ，k= ，它们的另一个交点为 答案：因为 y=2x 过点（2，m）所以 m=22=4y =因为过点（2，m），即（2,4）所以 k=8= 28= ，解得另一个点为：（2，4）y = 2（3） 已知反比例函数的图象经过点（2，8），反比例函y = 数

11、的图象在第二、四象限，求 m 的值y = 2答案：因为函数的图象经过点（2，8）所以8（2）=2m=4y = 因为的图象在第二、四象限所以 m0所以 m=4y = m + 1（4） 已知一次函数 y=x+m 与反比例函数（m0）的图象在第一象限内的交点为 p（x0，3）求 x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式3 =0 +3 =+ 1答案：00 = 1解得：= 2一次函数解析式为：y=x+2y = 3反比例函数解析式为：（5） 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比

12、例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为，自变量 x的取值范围是；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？y = 3，0 8y = 48，8答案：430；48 - 3 3= 13.2510消毒时间为： 34，所以有效5. 面积计算y

13、 = - 3（1） 如图，在函数的图象上有三个点 a、b、c，过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为1、2、3，求三个面积的大小关系。答案：根据反比例函数图像面积的性质知1=2=3y = 1（2） 如图，a、b 是函数的图象上关于原点 o 对称的任意两点，ac/y 轴，bc/x 轴，abc 的面积 s，则（ ）as=1b1s2cs=2ds2答案：c11-设 a（a，a），其中 a0，则 b（a，a）1bc= a（a）=2a，ac=a（1 2 2所以 s=2a=2- 12a）=ay = m（3） 如图，rtaob 的顶点 a 在双

14、曲线上，且 saob=3，求 m的值答案：根据反比例函数图像性质| |saob= 2又因为图像在第一象限所以 m0所以 m=6y = 4（4） 已知函数 的图象和两条直线 y=x，y=2x 在第一象限内分别相交于 p1和 p2两点，过 p1分别作 x 轴、y 轴的垂线 p1q1，p1r1， 垂足分别为 q1，r1，过 p2分别作 x 轴、y 轴的垂线 p2q2，p2r2，垂足分别为 q2，r2，求矩形 oq1p1r1和 oq2p2r2的周长，并比较它们的大小y = 4答案：=，解得 x=2，y=2，即1（2,2）x=y=2，解得2，y=2 2，1（即2,2 2）42所以矩形 oq1p1r1的周

15、长为（2+2）2=8oq2p2r2的周长为（ 2+2 2）2=6因为82 = 64（6 2）2 = 72所以 oq2p2r2的周长长。y = 1（5） 如图，正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数的图象相交于 a、c 两点，过 a 作 x 轴垂线交 x 轴于 b，连接 bc，若abc 面积为 s，则 s= y = 1答案： = ，解得 x= ，y=所以 a（ ， ），c（ ，- 0），b（ ， ）1所 以 s=2 （ - （ -）=1（6） 如图在 rtabo 中，顶点 a 是双曲线 y=与直线3y=x+（k+1）在第四象限的交点，abx 轴于 b 且 sabo=2求这两个函数的解析式；求直

16、线与双曲线的两个交点 a、c 的坐标和aoc 的面积y =1 =1 2 = k答案：=-+ （k + 1），解得1= ，2 = 1所以 a（1，k），b（1,0），c（k，1）3因为 sabo=23 1所以2=21|解得 k=3所以反比例函数解析式为：y= y=x2设直线交 x 轴于点 d则 d（2,0）则 = + 1 1 2 + 1 2 |=22=4- 3，直线解析式为：（7） 如图，已知正方形 oabc 的面积为9，点 o 为坐标原点，点a、c 分别在 x 轴、y 轴上，点 b 在函数 y= （k0，x0）的图象上，点 p（m，n）是函数 y= （k0，x0）的图象上任意一点，过 p分别作

17、 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 e、f，设矩形 oepf 在正方形oabc 以外的部分的面积为 s 求 b 点坐标和 k 的值；9 当 s=2时，求点 p 的坐标； 写出 s 关于 m 的函数关系式答案：根据反比例函数图像性质知正方形 oabc 的面积9=k因为是正方形，所以 b（3,3）设 fp 与 ab 交于点 d9因为无论 p 在什么地方，四边形 ofpe 的面积为9。而 s=29 9所以四边形 oadf 的面积为92=2=oaof3所以 f（0，2）3所以 n=2所以 m=6同理可推导出9s=3n9 -n= 3927m= =9 -6. 综合应用y =22（1） 若函数 y=k1x（k1

18、0）和函数（ 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则 k1和2（ ）a互为倒数b符号相同c绝对值相等d符号相反答案：d因为若 k1和2同号，则必定有2个交点因为无交点，所以符号必定相反y = m（2） 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例数的图象交于a、b 两点：a（ ，1），b（1，n） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围答案：将点 a 坐标代入反比例函数得，m=2- 2y = 所以反比例函数解析式为：- 2因为 b 也在反比例函数上，所以 n= 1b（1，2）= - 2，即1 = 2 - 2+将点 a，点 b 代入一次函

19、数得： -=+= - 1解得：= - 1，即直线解析式为：y=x1x2或0x1（3） 如图所示，已知一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 x轴、yy = m轴分别交于 a、b 两点，且与反比例函数（m0）的图象在第一象限交于 c 点，cd 垂直于 x 轴，垂足为 d，若 oa=ob=od=1 求点 a、b、d 的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式 答案：因为 oa=ob=1=1所以 a（1,0），b（0,1），d（1,0）a（ - ，0），b（0，b）-=- 1所以=1，k=1，b=1，则一次函数解析式为：y=x+1因为 d（1,0），所以 c 的横坐标为1代入一次函数得，纵坐标为：1+

20、1=2 所以 d（1,2）2所以 m=12=2，即反比例函数解析式为：y=（4） 如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于第一象限 c、d 两点，坐标轴交于 a、b 两点，连结oc，od（o是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值； 双曲线上是否存在一点 p，使得poc 和pod 的面积相等？ 若存在，给出证明并求出点 p 的坐标；若不存在，说明理由答案：因为交于点 c（1,4）4所以 k=14=4，即反比例函数解析式为：y=4d 横坐标为4，代入反比例函数得：m=4 = 1要想poc 和pod 的面积相等，则只需要 op 为 cd 的中垂线即可因

21、为 c（1,4），d（4,1）所以直线 ab 的解析式为：y=x+54设 p（a， ）因为 op 是 cd 中垂线4 - 0所以 op 这条直线的斜率为1，即 - 0 = 1解得：a=2，所以 p（2,2）（5） 不解方程，判断下列方程解的个数1+ 4= 01；1- 4= 0答案：构造双曲线 y=和直线 y=4x，它们无交点，说明原方程无实数解1构造双曲线 y=和直线 y=4x，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解四、重难点题型1.反比例函数的性质拓展1. 积的不变性：自变量 x 与其对应的函数 y 的乘积是定值，等于比例系数 k，即 ky=k（k0，k 为常数），因此反比例函数图象上任意一

22、点的横坐标与纵坐标的乘积不变，等于比例系数 k。2. 图象与 k 的关系：反比例函数的图象是两支双曲线。当 k0时， 双曲线两个分支在第一、三象限内，如图1。当 k0时，在每个象限内 y 随x 增大减小；当 k0时， 在每个象限内，y 随x 增大而增大。4. y =图象与坐标轴关系：在中，x0，所以 y0，因此反比例函数的图象无限接近 x 轴，y 轴，但永远不可能与 x 轴、y 轴相交。5. 对称性：轴对称性：反比例函数的图象是轴对称图形，直线y=x 和 y=x 是它的两条对称轴。中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。6. 面积相等性：如图3，在反比例函数图象上任取两

23、点 p、q，过p、q 分别作 x 轴、y 轴垂线，垂足如图3，则有：，。图32. 性质的应用1. 求解析式（1） 试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数的解析式： 。答案：由反比例函数图像与 k 的性质知：k0，可得出这样的解析式，y = - 1y =- 5如：，等。（2） 如图，点 a 是反比例函数图象上一点，自点 a 作 y 轴垂线，垂足为 t，已知 = 4，则此函数的表达式为。1| = 4答案：由面积相等性质可得：2，k=8又由图形和 k 的性质得，k0，所以 k=8，y = - 8故解析式为。2. 求图形的面积y = - 41y = -（1）如图，反比例函数的图象与直线3 的

24、交点为a、b。过 a 作 y 轴的平行线，过 b 作 x 轴平行线，它们交于 c，则abc 的面积为。答案：y = - 41y =-方法一：本联立3 求 a、b 坐标，再确定 c 的坐标，最后计算面积。方法二：利用性质可得巧解。如图过 b 作bex 轴，e 为垂足，ac、bc 与x 轴、y 轴分别交于 m、f，因为反比例函数与正比例函数都是以原点为中心的中心对称图形，则 a、b 交于原点坐标，由对称性知：am=be=mc，om=oe，所以矩=矩由面积不变性得： = = 1| = 22矩= | = 4所以 = 2 + 2 + 4 = 83. 比较大小（1）已知1（1，1）、2（2，2）、3（3，

25、3）是反比例函y = 21203123数图象上三点，且，求 、 、 的大小关系。答案：因为120，所以1、2在同一象限即第三象限所以012。因为03所以3在第一象限，所以30 所以30124. 求代数式的值4（1）如图，直线 y=kx（k0）与双曲线 y= 交于 a（1，1），b（2，2）两点，则212 - 721的值等于。答案：因为双曲线与直线 y=kx 均关于原点对称所以 a、b 关于原点对称所以1 = -2，1 =-2又因为11 = 4，22 = 4，所以212 - 721 = 211 + 722=8+28=20。5. 求点的坐标2（1）已知正比例函数 y=1（1 0）与反比例函数 y= 的图象有一个交点（-2，-1），则它的另一个交点坐标是 。答案：因为反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称所以两交点也关于原点对称所以另一交点坐标为（2，1）。6. 确定取值范围k（1）如图，已知 m（2，1），n（2，6）两点，反比例函数 y= 的图象与线段相交，过反比例函数图象上任意一点 p 作y 轴垂线pg，g为垂足，则pog 的面积 s 的取值范围是。k答案：当 y= 过（2，1）时，k=2k当 y