(完整版)高中数学三角函数知识点及试题总结,推荐文档

1、高考三角函数1.特殊角的三角函数值：sin 00 = 0cos 00 = 1tan 00 = 0sin3 00 = 12cos3 00 =3 2tan3 00 =332sin 450 = 2cos 450 =2 2tan 450 =13sin6 00 = 2cos6 00 = 12tan6 00 = 3sin9 00 =1cos9 00 =0tan9 00 无意义2角度制与弧度制的互化： 3600 = 2a,1800 = a,003 004506 009 0012001350150018 0027 0036 000a6a4a3a22a33a45a6a3a22a3. 弧长及扇形面积公式弧长公式：

2、 l = a.r扇形面积公式:s= 1 l.r2a-是圆心角且为弧度制。 r是扇形半径4. 任意角的三角函数x 2 + y 2设a是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）,r=(1) 正弦 sina= yr(2) 各象限的符号：余弦 cosa= xr正切 tana= yxyyy+ox+ox+osinacosatana5. 同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2a+ cos2a=1。（2）商数关系： sina=tanacosa6. 诱导公式：记忆口诀： ka（a a+2ka, k z ）奇变偶不变，符号看象限。把的三角a函数化为的三角a函数，概括为：2(1)sin (2ka+a)= s

3、ina， cos(2ka+a)= cosa， tan (2ka+a)= tana(k z)(2)sin (a+a)= -sina， cos(a+a)= -cosa， tan (a+a)= tana(3)sin (-a)= -sina， cos(-a)= cosa， tan (-a)= - tana(4)sin (a-a)= sina， cos(a-a)= -cosa， tan (a-a)= - tana 口诀：函数名称不变，符号看象限5 sin aa( ) 2 -a = cosa， cos 2 -a= sina6 sin aa( ) 2 +a = cosa， cos 2 +a= -sina口诀

4、：正弦与余弦互换，符号看象限7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质两角和与差的三角函数关系sin(a a)=sinacos a cosasin acos(a a)=cosacos am sinasin atan(a a) = tana tan a1 m tana tan a8、三角函数公式：倍角公式sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1tan 2a=1-2sin2a2 tana1 - tan 2 a降幂公式：升幂公式：1+cosa=2cos2 a21-cosa= 2sin2 a29. 正弦定理 ：cos2a= 1 + cos 2a2sin2a=

5、 1 - cos 2a2asin a=bsin b=csin c= 2r .余弦定理：a2 = b2 + c2 - 2bc cos a ; b2 = c2 + a2 - 2ca cos b ; c2 = a2 + b2 - 2ab cos c .三角形面积定理. s = 1 ab sin c = 1 bc sin a = 1 ca sin b .2221. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在abc 中，c90，abc，acb，bca。（1） 三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2） 锐角之间的关系：ab90；（3） 边角之间的关系：（锐角三角函数定义）abasinacosb ，cos

6、asinb ， tana 。 ccb2. 斜三角形中各元素间的关系：在abc 中，a、b、c 为其内角，a、b、c 分别表示 a、b、c 的对边。（1） 三角形内角和：abc。（2） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等asin a=bsin b=csin c= 2r 。（r 为外接圆半径）（3） 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc。3. 三角形的面积公式：111（1） aha bhb chc（ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高）；

7、222111（2） absinc bcsina acsinb；222a 2 sin b sin cb 2 sin c sin ac 2 sin asin b（3）；2sin(b + c)2 sin(c + a)2 sin( a + b)（4）2r2sinasinbsinc。（r 为外接圆半径）abc（5）；4r（6）；s(s - a)(s - b)(s - c) s =1 (a + b + c) ；2（7）rs。4. 解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及

8、内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设abc 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 a、b、c。（1）角与角关系：a+b+c = ；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理asin a=bsin b=csin c= 2r （r 为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosc，b2 = a2+c22accosb，a2 = b2+c22bccosa；它们的变形形式有：

9、a = 2r sina，5. 三角形中的三角变换sin a =sin ba ， cos a =bb 2 + c 2 - a 2。2bc三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1） 角的变换因为在abc 中，a+b+c=，所以 sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=a + b = cos c , cos a + b = sin c ；tanc。sin2222（2） 三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3） 在abc 中，熟记并会证明：a，b，c 成等差数列的充分

10、必要条件是b=60；abc 是正三角形的充分必要条件是a，b，c 成等差数列且 a，b，c 成等比数列。四【典例解析】题型 1：正、余弦定理u urruuurrr r（2009 岳阳一中第四次月考）.已知 abc 中， ab = a ， ac = b ， a b 0 ，= 15rrsdabc）， a = 3, b = 5 ，则bac =（4a. 30ob -150oc1500d 30o 或1500答 案 c例 1（1）在dabc 中，已知 a=32.00 ， b =81.80 ， a =42.9 cm，解三角形；（2）在dabc 中，已知 a =20 cm， b =28 cm， a=400 ，

11、解三角形（角度精确到10 ，边长精确到 1cm）。32例 2（1）在d abc 中，已知 a =2， c = 6 +， b =600 ，求 b 及 a；（2）在d abc 中，已知 a =134.6cm ， b =87.8cm ， c =161.7cm ，解三角形解析：（1） b2 = a2 + c2 -2accosb= (2 3)2 +( 6 +2)2 -22 3( 6 +2) cos 450=12+( 6 +2)2 -4 3( 3 +1)= 82.b =2求 a 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：(2 2)2 +( 6 + 2 )2 -(2 3)222 2 ( 6 + 2)b2 + c

12、2 - a2102解法一：cos a=2bc= , a=60 .（2）由余弦定理的推论得：cos a=b2 + c2 - a22bc= 87.82 +161.72 -134.62 287.8161.70.5543,a56020 ；c2 + a2 -b2134.62 +161.72 -87.82cos b =2ca=2134.6161.70.8398,b 32053 ；c =1800 -(a+ b)1800 -(56020+32053) =90047.例 3在dabc 中， sin a + cos a =dabc 的面积。qsin a + cos a =2 cos( a - 45o ) =cos

13、( a - 45o ) = 1 .22 ， ac = 2 ， ab = 3，求tan a 的值和22,2又0o a 180o , a - 45o = 60o , a = 105o.1+31-33tan a = tan(45o + 60o ) = -2 -,sin a =sin105o = sin(45o +60o )= sin45o cos60o +cos45o sin60o =2 + 6 .4s= 1 ac ab sin a = 1 2 3 2 +6 = 3+6) 。24dabc224(例 4（2009 湖南卷文）在锐角dabc 中， bc = 1, b = 2 a, 则ac 的取值范围为.

14、accos a的值等于，答 案 2 ( 2, 3)解析设a =a, b = 2a.由正弦定理得ac= bc ,ac= 1 ac = 2.sin2asina2cosacosa由锐角dabc 得0o 2a 90o 0o a 45o ，又0oo2 cosa3 ，o 180o - 3a 90o 30o a 60o ，故30 a 45 222, ac = 2 cosa (3).例 5（2009 浙江理）（本题满分 14 分）在dabc 中，角 a, b, c 所对的边分别为 a, b, c ，2 5ab ac且满足cos a =， u ur uuur = 3 25（i）求dabc 的面积；（ii）若b

15、+ c = 6 ，求 a 的值解 （1）因为cos a = 2 5 ，cos a = 2cos2 a -1 = 3 ,sin a = 4 ，又由25uuur uuurab ac = 32551得bc cos a = 3, bc = 5 ， sdabc = 2 bc sin a = 2（2）对于bc = 5 ，又b + c = 6 ，b = 5, c = 1或b = 1, c = 5 ，由余弦定理得25a2 = b2 + c2 - 2bc cos a = 20 ， a =例 6（2009 全国卷理）在dabc 中，内角 a、b、c 的对边长分别为 a 、b 、c ，已知 a2 - c2 = 2b

16、 ，且sin a cos c = 3cos asin c, 求 b解法一：在dabc 中qsin a cos c = 3cos asin c, 则由正弦定理及余弦定理有:a2 + b2 - c2b2 + c2 - a2222aa2ab= 3ac, 化简并整理得： 2(a- c ) = b .又由已知2bca2 - c2 = 2b 4b = b2 .解得b = 4或舍=）0(.b + c例 7 dabc 的三个内角为 a、最大值，并求出这个最大值。c ，求当 a 为何值时， cos a + 2 cos取得2b + c ab + ca 解析：由 a+b+c=，得 2 = 2 2，所以有 cos2

17、=sin2 。b + caaaa13cosa+2cos2=cosa+2sin2 =12sin22 + 2sin2=2(sin2 2)2+ 2；a 1b + c3 当 sin2 = 2，即 a= 3 时, cosa+2cos2取得最大值为2。例 8（2009 浙江文）（本题满分 14 分）在dabc 中，角 a, b, c 所对的边分别为 a, b, c ，2 5ab ac且满足cos a =， u ur uuur = 3 25（i）求dabc 的面积；（ii）若c = 1，求 a 的值解（） cos a = 2 cos2 a - 1 = 2 ( 221 - cos2 a又 a (0,a) ，

18、sin a = 45 )2 - 1 = 355ab . ac，而 ab.ac =.cos a =3 bc = 3 ，所55以bc = 5 ，所以dabc 的面积为： 1 bcsin a = 1 5 4 = 2225（）由（）知bc = 5 ，而c = 1 ，所以b = 5b 2 + c 2 - 2bc cos a25 + 1 - 2 35所以 a = 2的大小及例 9在abc 中，a、b、c 分别是a、b、c 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求ab sin b 的值。ca、b、c 成等比数列，b2=ac。又 a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。b 2 +

19、c 2 - a 2bc1在abc 中，由余弦定理得：cosa=，a=60。2bc2bc2sinb=在abc 中，由正弦定理得b sin a ，b2=ac，a=60，a b sin b = b 2 sin 60 =sin60= 3 。 cac2例 10在abc 中，已知 a、b、c 成等差数列，求tana + tan c +22tan a tan c322的值。解析：因为 a、b、c 成等差数列，又 abc180，所以 ac120，3a + c从而60，故 tan2tan a + tan ca + c =2.由两角和的正切公式，得2 a2 =。31- tan tan c223所以tan a +

20、tan c =22- tan a tan c , 223tan a + tan c +22tan a tan c =。3322例 11在abc 中，若 2cosbsinasinc，则abc 的形状一定是（）a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等边三角形答案：c解析：2sinacosbsin（ab）sin（ab）又2sinacosbsinc，sin（ab）0，ab例 12（2009 四川卷文）在dabc 中， a、b 为锐角，角 a、 c 所对的边分别为a、 c ，且sin a =（i） 求 a + b 的值；5 ,sin b =105102（ii） 若 a - b =-1 ，求

21、a、 c 的值。解（i） a、b 为锐角， sin a =5 ,sin b =105101- sin2 b1- sin2 a cos a = 2 5 , cos b = 3 105103 10cos( a + b) = cos a cos b - sin asin b = 2 5 -5 10 =2 . 0 a + b aa a + b = 43a51051022（ii）由（i）知c =， sin c = 42abc由=得sin asin bsin c5a = 10b =2c ，即 a =2b, c =5b2又 a - b =-122b -b =-1 b = 15 a =2, c =21.（20

22、09 四川卷文）在dabc 中， a、b 为锐角，角 a、 c 所对的边分别为 a、 c ，且sin a =5 ,sin b =10510（i） 求 a + b 的值；2（ii） 若 a - b =-1 ，求 a、 c 的值。解（i） a、b 为锐角， sin a =5 ,sin b =105101- sin2 b1- sin2 a cos a = 2 5 , cos b = 3 105103 10cos( a + b) = cos a cos b - sin asin b = 2 5 -5 10 =2 . 0 a + b aa a + b = 43a51051022（ii） 由（i）知c =

23、， sin c = 42abc由=得sin asin bsin c5a = 10b =2c ，即 a =2b, c =5b2又 a - b =-122b -b =-1 b = 15 a =2, c =五【思维总结】1. 解斜三角形的常规思维方法是：（1） 已知两角和一边（如 a、b、c），由 a+b+c = 求 c，由正弦定理求 a、b；（2） 已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 a+b+c = ，求另一角；（3） 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、a），应用正弦定理求 b，由 a+b+c = 求 c，再由正弦定理或余弦定理

24、求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4） 已知三边 a、b、c，应余弦定理求 a、b，再由 a+b+c = ，求角 c。2. 三角形内切圆的半径： r = 2sda + b + c，特别地， r直a + b - c=斜 ；23. 三角学中的射影定理：在abc 中， b = a cos c + c cos a ，4. 两内角与其正弦值：在abc 中， a b sin a sin b ，5. 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”1 如果函数的图像关于点 中心对称，那么的最小值为（）（a） （b） （c） (d)2、右图所示的是函数图

25、象的一部分，则其函数解析式是a b c d3、已知函数 的最小正周期为 ，则该函数图象a关于直线对称b关于点( ，0)对称c关于点( ，0)对称d关于直线对称4、由函数的图象a向左平移 个单位b向左平移 个单位c向右平移 个单位d向右平移 个单位5、若 是函数图象的一条对称轴，当 取最小正数时a在 单调递增b在 单调递减c 在单调递减d 在单调递增6、函数（ ）的最小正周期是 ，若其图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则 的值为（）a b c d 7、（2012 年高考（新课标理）已知 ,函数在上单调递减.则的取值范围是（）a b c d8、（2012 年高考（福建文）函数的图像的一条对

26、称轴是（）a b c d 9、下列命题中的真命题是a. 函数内单调递增 b函数的最小正周期为 2c函数 的图象是关于点（ ，0）成中心对称的图形d函数的图象是关于直线 x= 成轴对称的图形10、已知，则等于a b c5d2511、已知正六边形 abcdef 的边长为 1，则 的值为a b c d 12、已知平面向量， 与垂直，则 是（）a. 1b. 2c. 2d. 113、设 ，o 为坐标原点，若 a、b、c 三点共线，则 的最小值是a2b4c6d814、设poq=60在 op、oq 上分别有动点 a，b，若 =6， oab 的重心是 g，则| | 的最小值是()a.1b2c3d415、若是夹

27、角为 的单位向量，且，则a.1 b.4c. d. 16、已知圆 o 的半径为 ，圆周上两点 a、b 与原点 o 恰构成三角形，则向量的数量积是a b c d 17、如图，已知点 o 是边长为 1 的等边abc 的中心，则（ ）（ ）等于（）a b c d 18、（2012 年高考（大纲文）若函数是偶函数,则 （）a b c d 19、若 0，且0，则有 在a.第一象限b.第二象限c.第三象限d 第四象限20、函数 y=cosx(ox ，且 x )的图象为21、在中，内角 a、b、c 的对边长分别为 、 、 ，已知，且求 b.22、已知函数（） 求函数的单调递增区间；（）已知中，角所对的边长分别

28、为，若， ， 求的面积 23、已知向量（i） 若,求的值;（ii） 记，在中，角的对边分别是，且满足 ，求函数 的取值范围。24、设=3，计算：（1） ；（2） 。25、已知向量，（1） 当 时 ，求的值；（2）求在 上的值域.26、已知函数 f(x)= （）求函数 f(x)的最小正周期及单调增区间；（）若函数 f(x)的图像向右平移 m(m0)个单位后，得到的图像关于原点对称，求实数 m 的最小值.27、已知函数（1） 求函数的最小正周期；（2） 若对 ，不等式恒成立，求实数 m 的取值范围.28、函数()的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ,(1) 求函数的解析式;(2)设

29、 ,则,求 的值.29、已知函数的最小正周期为，且当 时，函数的最小值为 0。（i） 求函数的表达式；（ii） 在abc，若的值。30、 设函数 （i）求函数的最小正周期；（ii）设函数 对任意，有，且当时，； 求函数 在上的解析式。31、已知函数（）求函数的最小正周期和值域；（）若 为第二象限角，且，求 的值32、已知两个不共线的向量 a,b 夹角为 ，且为正实数。（1） 若垂直，求；（2） 若，求的最小值及对应的 x 值，并指出向量 a 与 xab 的位置关系；（3） 若 为锐角，对于正实数 m，关于 x 的方程有两个不同的正实数解，且 的取值范围。33、设 的内角所对边的长分别为，且有 。（）求角 a 的大小；（) 若， ， 为 的中点，求 的长。34、已知函数，。(1) 求函数的最小正周期，并求函数在 上的最大值、最小值；(2) 函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图像35、已知向量 ，函数 ，