全等三角形问题中常见的辅助线的作法

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的 中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”？2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明？这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” ？4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是

2、角平分线的性质定理或逆定理5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答.倍长中线(线段)造全等例1?已知：如图3所示，AD ABC的中线，求证：AB+AO2AD。分析：要证 AB+AO2AD，由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD ,所以有： AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD ,但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

3、。证明：延长 AD至E,使DE=AD，连接BE , CE。3图例3、如图， ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.因为BD=DC=AC，所 以 AC=1/2BC因为E是DC中点，所以 EC=1/2DC=1/2AC/ ACE= / BCA，所以 BCA ACE所以/ ABC= / CAE因为 DC=AC，所以 / ADC= / DAC/ ADC= / ABC+ / BAD所以/ ABC+ / BAD= / DAE+ / CAE所以/ BAD= / DAE即AD平分/ BAE应用：二、截长补短例1?已知：如图1所示，AD为厶ABC的中线，且/ 1= / 2,/

4、 3= / 4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE , CF, EF移到同一个三角形中，而由已知/1 = / 2, /3= / 4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN , FN , EF移到同个三角形中。证明： 在DN上截取DN=DB，连接 NE , NFABD图1再连结EG,BG 1、如图， ABC中，AB=2AC , AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD丄AC证明: 取AB中点E,连接DE?/ AD=BD? DE丄AB，即/ AED=90o【等腰三角形三线合一】?/ AB=2AC? AE=AC又?/EA

5、D= / CAD【AD 平分 / BAC AD=AD?AED 6 ACD ( SAS)?/C=/ AED=90o? CD 丄 AC2、如图，AC / BD , EA,EB 分别平分 / CAB, / DBA , CD 过点 E,求 证;AB = AC+BD在AB上取点N ,使得AN=AC/ CAE= / EAN ,AE为公共边,所以三角形 CAE全等三角形EAN所以/ ANE= / ACEBC又AC平行BD所以/ ACE+ / BDE=180而/ ANE+ / ENB=180所以/ ENB= / BDE/ NBE= / EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 A

6、B=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在VABC内，BAC 6040, P, Q分别在 BC CA上，并且+线QPAB+BP（同位角相等）QAP , BQ分别是BAC , ABC的角平分线。求证： 证明： BQ,与QC相交与M。（首先算清各角的度数）?APB=180 Z BAP Z ABP=180 30 80 =70 且/ APM=180 Z APB Z MPC=180 70 QBC=180 70 10 =70 ? Z APB= Z APM又?AP是BAC的角平分线，? Z BAP= Z MAPAP是公共边? ABP AMP （角边角）? AB=AM , BP=MP在厶 MPC 中，/ MC

7、P= / MPC=40? MP=MC? AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在厶QBC中?/ QBC=QCB= 0-BQ=QC?- BQ+AQ=AQ+QC=AC? - BQ+AQ=AB+BP4、角平分线 如图，在四边形 ABCD中，BC BA,ADABC求证： A C 180 0延长 BA,作DF丄BA的延长线，作 DE丄BC?/1 = / 2? DE=DF （角分线上的点到角的两边距离相等）?在Rt DFA 与 Rt DEC 中AD=DC,DF=DE? Rt DFA 也 Rt DEC （ HL）Z 3= Z C因为/ 4+ / 3=180?/4+ / C=180 即 / A+ / C=

8、180 AC, / 1 = 7 2, P 为AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PC延长AC至 E,使 AE=AB，连结 PE。然后证明一下 ABP也AEP得到PB=PE备用 PCE 中,EOPE-PC?/ EC=AE-AC , AE=AB? EC=AB-AC又 PB=PE? PE-PC=PB-PC? AB-ACPB-PC应用：、平移变换例1 AD ABC的角平分线，直线 MN丄AD于A.E为MN上一点， ABC周长记为 Pa , EBC周长记为Pb ?求证Pb Ra.例2如图，在 ABC的边上取两点 D、E,且BD=CE，求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等AD,CE相交于

9、点0,求证：0E=0D,1如图，已知在厶 ABC中，/ B=60, ABC的角平分线AE+CD=AC在AC上取点F，使AF=AE? AD是角A的平分线?角EA0 二角 FAE/?/ A0=A0?三角形 AE0与AF0全等（两边夹角相等）? EO=FO，角 A0E 二角 A0F?/ CE是角C的平分线?角DC0 二角 FC0?/ 角 B = 60 ?角BAC+ 角 ACB = 180 - 60= 120 ?角C0D=角 CA0 + 角 OCA =角 A/2 +角 C/2 = 60 度?角C0F= 180 角 A0F-角 C0D = 180 - 60- 60 = 60?角0CF =角 C0D?/

10、0C=0C?三角形0CD与CF0全等（两边夹角相等）? CF=CD, 0E=0D? AC=AF+CF = AE+CD即：AE+CD=ACDF丄AC于F.2、如图， ABC中，AD平分/ BAC , DG丄BC且平分BC , DE丄AB于E,（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB= a , AC= b，求AE、BE的长. 证明：连接BD,CDDG丄BC于G且平分BC所以GD为BC垂直平分线 垂直平分线上的点到线段 两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD平分/ BAC , DE丄AB于E, DF丄AC的延长线于 F所以DE=DF在 匚 RT BED,RT CFD 中DE=

11、DF,BD=CD,RT BED 也 RT CFD（ HL）BE=CF应用：五、旋转 例1正方形 ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求 / EAF的度数？将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形 ABG贝UGE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点 E,F。当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。AN若AB=2，求四边形 DECF的面积。做DPI BC,垂足为P,做DQ丄AC,垂足为 Q?/ D为中点，且 ABC为等腰 RTA ABC? DP=DQ=?BC=?AC又?/FDQ= / PDE （旋转）/ DQF= / DPE=90? DQFDPE? SA DQF=S DPE又?S四边形DECF=S四边形DFCP+S DPE? S 四边形 DECF=