伴随矩阵（课堂PPT）

1、1,3.5 逆矩阵,概念的引入,逆矩阵的概念和性质,可逆矩阵的判定及其求法,小 结 思考题,2,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,一、概念的引入,在数的运算中,当数 时,有,其中 为 的倒数,或称 的逆,在矩阵的运算中,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1,那么，对于矩阵,如果存在一个矩阵,使得,3,又如 ，在平面直角坐标系中xoy中，将两个 坐标轴同时绕原点旋转角(逆时针为正,顺时针 为负),就得到一个新的坐标系,记作uov,由图3.1可 推得,图 3.1,4,利用矩阵乘法可将上述关系表示为,3-11,3-12,5,把(3-11)代入(3-12)得,若记,6,例 设,定义12,对于n阶方阵A,如

2、果存在n阶方阵B,使得 AB=BA=E ,则称方阵A是可逆的 , B 称为A 的逆矩阵,记作 B=A-1,如果不存在满足AB=BA=E 的矩阵B,则称A 是不可逆的.可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵,二、逆矩阵的概念和性质,7,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的,若设 和 是 的可逆矩阵,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,8,三、可逆矩阵的判定及其求法,1、伴随矩阵法,定义,设A=(aij)为n阶矩阵，Aij为|A|中元素aij,的代数余子式, (i,j = 1, 2, ,n),则称矩阵,为A的伴随矩阵,9,定理1 矩阵A可逆的充要条件是,证明,若 可逆,必要性,充分性,且,10,11,按逆

3、矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,12,推论1,奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异矩阵,非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异阵,证,设P是任何一个与A同阶的初等矩阵，则,PA| = |P| |A| = |A| |P| = |AP,因此, 当|A| = 0时, |PA| = |AP| = 0,当|A| 0时, |PA| 0, |AP| 0,证毕,推论2,13,证明,逆矩阵的运算性质,14,证,因A可逆, 所以A-1存在, 且AA-1=A-1A=E,由逆矩阵的定义知A-1可逆,且,比较上述两式得,证,由于,15,证明,所以,16,4) 若A可逆，则AT亦可逆,且,证,由于,所以,推广,若A

4、1, A2 , , As 为同阶可逆矩阵, 则,A1 A2 As可逆,且,当|A|0时,还可定义,其中R , ,均为正整数,17,例14,判断下列矩阵是否可逆,若可逆求其逆,矩阵,解,1)由于A中有两列元素相同所以|A|=0,因此A不可逆,2)计算得 |A| =-70,所以A可逆,矩阵各元素的代数余子式分别为,A11 = -6, A12 = -2 , A13 = 3, A21 =3, A22 =1, A23 = -5, A31 = 4, A32 = -1, A33 =-2,18,则,故,19,例15,解下列矩阵方程,A,B,C,解,计算可得 |A| =20, |B| =10,所以A、B,均可逆

5、，而A、B的伴随矩阵分别为,20,所以,用A-1左乘，B-1右乘方程AXB=C的两边，即,A-1AXBB-1=A-1CB-1,于是,21,X= A-1CB-1,注,二阶矩阵求伴随矩阵：“主换位，副变号,22,2,解,因 2X=X(2E) , 则所给矩阵方程可改写成,X (A+2E) = B,23,故,说明,用伴随矩阵求逆矩阵, 通常是对阶数,较低或较特殊的矩阵, 对阶数较高的矩阵,常用初 等变换法求其逆矩阵,24,解,例16,25,26,解,例17,27,28,例18,29,30,2,初等变换法,在4中我们曾学过标准形的概念. 即对任意,标准形,31,而对于可逆方阵A , 则F只能是单位阵E

6、. 于是有,定理3,n阶方阵A可逆的充分必要条件是,A可以表示成一些初等矩阵的乘积,证,必要性,设方阵A可逆，则AE，故E经有限次初 等变换可变成A，即存在有限个初等矩阵,充分性,若A可表示成一些初等矩阵的乘积,因初等,矩阵可逆,其乘积也可逆,所以A可逆,证毕,32,推论1,mn 矩阵AB的充分必要条件是,存在 m 阶矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵Q, 使PAQ=B,推论2,任一可逆矩阵只用初等行(或列)变换,可化为单位矩阵,证,因为A可逆,则A可表示为若干个初等矩阵,之积,于是,因此,33,综上可得初等变换求逆阵的方法,34,例19,设矩阵,解,35,36,37,注,利用初等变换法求逆矩阵时,

7、 不必先判断,该矩阵是否可逆, 在作变换时, 若出现两行元素相 同或成比例, 或者有一行为0, 则 A 就不可逆,例20,设矩阵,用初等变换法, 判断A是否可逆?如果可逆, 求出 A-1,38,解,可见,左矩阵A的二、四行元素对应成比例, 所以A不可逆, A-1不存在,39,同理, 由等式,知, 用初等列变换将,三、用初等变换法求解矩阵方程,时, 那么单位矩阵 E 就变成了A的逆矩阵A-1,中的A变成单位矩阵,40,事实上，由定理3,41,即,例21,解矩阵方程AX=B，其中,42,解,若A可逆，则 X=A-1B,43,44,45,例21,解矩阵方程 YA=C ，其中,解,46,47,所以,48,