2003年江苏高考数学精彩试题及问题详解

1、实用文档 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷 3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2aOb)在a,b(abx?y?ax?x平面上的区域的图象与如果函数则点轴有两个交点，1 ）（不包含边界）为（ bbbb OOOOaaaa C D AB2ax?y2?ya （ ） ，则抛物线的值为的准线方程是2118 D8 C A B 88?4 已知）（ 3?2),cosx

2、?x,则tg?x?(,0 52247247 DCB A 724724x?,0?1,x2? ）设函数的取值范围是（ 4x若f(x)则1,?f(x)?100? 0?,xx2?)?1,( 1 A（，1） B C（，），）（，D11+2）（0，+） 实用文档 OCA、B、P足点满点，个点，动不是平面上共线的三5平是面上一定CAAB?P?OP?OA?则(0?,),ABC 的轨迹一定通过的 CABA B内心外心 C重心 D垂心 A 1x?)ln?(1,?,xy? 的反函数为（ ）6函数 1x?xx1?ee?1?)y,x,x?(0,?)y?(0,? B A xx11e?e?xx11?ee?y?,x(?,x?

3、(?,0)y?,0) CD xx1?ee?1a ）的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（7棱长为 3333aaaa B DC A 126342),f(xP(xcax?bx?a?0,f(x)?)?f(xy处切线的倾斜角的，曲线在点8设00?P,0,则)f(xy? （ ）对称轴距离的取值范围为到曲线取值范围为 ? 4?1?1b?b?1?0,0,0,0, C A BD? aa2a2a2?1220?n2x?2x?m)(x)x(?的的等差数列，的四个根组成一个首项为9已知方程 4?n|m? 则 ） （313D 1 B C A 82410已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），

4、直线与其相交于M、N两71?y?x2?，则此双曲线的方程是 （ ） 中点的横坐标为点，MN 3222222yx22yxxyyxDCB A 1?1?1?1? 52342543 实用文档 AB，一质点从0，1）（2，1）和D（，11已知长方形的四个顶点A（0，0），B（20），C?PP上的点AB、DA的方向射到BC上的点和后，依次反射到的中点CD沿与AB的夹角01?PxPPP2x?1?的、，若和，则（入射角等于反射角），设的坐标为（tg，0）342444 （ ）取值范围是 2211221 （C （，），）（ A（，1） B D，） 35235332 ），四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为12一

5、个四面体的所有棱长都为（?3363 C DA B4 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学（理工农医类） 第卷（非选择题共90分） 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 19x系数是 13的展开式中92)x?( 2x 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该 公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_，_，_辆 15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不 5 1 4 6 3 2 实用文档 同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同

6、样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答） 16对于四面体ABCD，给出下列四个命题 若AB?AC,BD?CD,则BC?AD 若AB?CD,AC?BD,则BC?AD 若AB?CD,AC?BD,则BC?ADADBC?若ABAC,BD?CD,则? 其中真命题的序号是_.（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验 （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001） 18（本小题满分12分） ?)是?)(R?0

7、,0?)f(x?sin(x?上的偶函数，其图象关于点已知函数?3?和对称，且在区间 求上是单调函数的值,0)M(0,? 42?19（本小题满分12分） 实用文档 ?90ACB?，侧如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， CABC?AB1112?AACCG ABD的重心E在平面ABD上的射影是，D、E分别是棱与的中点，点BA111 ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（）求与平面BA1A AED（）求点的距离到平面1C1BA11DEGCBA 20（本小题满分12分） ?i?c(1,0)i?向量c?(0,a),a?0,为方向向量的直线与以经过原点已知常数O ?ci?2A(0,a)以?R

8、试问：是否存在两个P，其中为方向向量的直线相交于经过定点 PE?PF 为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由 定点E、F，使得 21（本小题满分12分） a?0,n为正整数已知 nn?1)ax?a)y?n(y?(x；（）设，证明 nnf(n?1)?(n?1)f(n)x?axf(x)?(a?n ，对任意，证明（）设nn1n? 22（本小题满分14分） 2QC?x,C:yaxl:y?0a?的横坐标为作设及曲线上的点，如图，已知直线1P，再从点于点lPyx线曲，行线作线交于平直线行轴，直直平于轴交1n?1n 实用文档 ?a）n?1,2,3,QC于点Q. ( 的横坐标构成数列n?1nn?a

9、aa与的通项公式；的关系，并求（）试求 n?1nn1n1?1,aa? （）当时，证明?a?a)(a 1 2kkk?1?232k?1c l y n11a? （）当时，证明?a?a)(a 2kk?1k?31?krQ2 3 r1 Q2 Q1 x aaO a321 年普通高等学校招生全国统一考试2003答案题试 数 学 （江苏卷） . 60分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分A C 12D 11B 7C 8B 9C 101C 2B 3D 4D 5B 6. 分4分，满分16二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题21 6,30,10 1513120 16 14? 2 三、解答

10、题. 分本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分1217C. 和、B解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 95.P(C)?0?P0(PA)?.90,(B).50?P?(C)0)(,.?AP()010PB （） ， 相互独立，恰有一件不合格的概率为，因为事件ABC 实用文档 )?CP(A?B)?P(A?B?C)?P(A?B?C )C)?P(B)?P(A(C)?PA)?P(B)?P(C)?P()P?(A)?P(B?P(176.95?0.95?0002?.90?0.95?0.05?0.10?0.176. 答：恰有一件不合格的概率为 解法一：至少有两件不合

11、格的概率为 )(A?B?CBB?C)?P(A?C)?PCP(A?B?)?P(A? 220120?.0.95?0.10?0.05.0?.90?0.05?2?0.10?005? 解法二：三件产品都合格的概率为281290.?0.95.?0?(B?C)?PA)?P(B)P(C)?0AP(? ，所以至有两件不合格的概率为由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176.012?0.1176?(0.812?0176).CA?1P(?B?)?0 0.012. 答：至少有两件不合的概率为）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，（18 满12分分。),ff(?x)?(x

12、,(fx)是偶函数得 解：由?),x?即sin(?x?)?sin( ?xsin?cossinxcos?所以?.且都成立对任意x,?0?cos,所以得0 实用文档 ?.?,所以解得依题设0? 2?33(f?f(?x),)的图象关于点M对称,得由f(x?x)? 44?333,cos?取x0,得f()?sin(?)? 4442?333,?cos)?f()?sin(? 4244?33?,3,?0,得?k,k?120?cos?,又,? 2442?.,2,1),k?0,1?k?(2? 3?22?;上是减函数,0,当k?0时?,f(x)sin(x?)在 2332?;0,上是减函数)时当k?1,x?2,f()

13、?sin(2x?在 22?10?;上不是单调函数(,fx)?,k当?0时sin(?)x?在0, 2232?.?或2所以,综合得? 3 19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空. 12分间想象能力和推理运算能力. 满分. ABD所成的角与平面EBG是AB在面，则解法一：（）解：连结BGBG是BEABD的射影，即1 EF、FC，中点，连结设F为AB为矩形D,E分别是CC,ACDEFABC平面,?B的中点,又DC?11 中?GDF.在直角三角形EFDG连结DE,是?ADB的重心,122 ?FDFD1,?3.EF?FG?FD,EF? 3621?.?2于是ED?,EG 33.?2A?2F

14、C?CD?,?AB22,B?3,EB3?121EG6.?sin?EBG? 33EB32arcsin?A所成的角是B与平面.ABD13V?V （）连结DA，有1EAED?AAAD?11,EFEDABED?,?,?EFABF又 AB?EDA?平面 设, 的距离为AED到平面A，h11 实用文档 ED?SS?h 则AB?AED?A16111 .ED?S?AA?又AB?2,S?S?AE? AED1?AAE?AAB?222411622?226 .的距离为.?即A到平面?h?AED 1336 2. BE在面ABD的射影，即ABG是AB与平ABD所成的角BG解法二：（）连结，则BG是11 如图所示建立坐标系

15、，坐标原点为O，设CA=2a，aa,0),D(0,0,1) 则A(2,0,0),B(0,212a2a).,1),G(,A(2a,02),E(a,a 13332aa22 2).,?(0,?2?0.解得a?1.a1?CE?(,),a?GE?BD?BD? 33333 124 ).),BG?(,?,?BA?(2,2,2 1333 BGBA?7/3141.?ABG?cos? 113|BG|BA213?2137.arccos与平面ABD所成角是BA13(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) A(2,0,0)A（）由（）有1 ,?0,)?(?1?1,0)1AE?ED?(?1,1 ,?1,0)?0

16、1,AA?ED?(00,2)?(?1.平面AED,又ED?E?ED?平面AA12 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F（）当；?a 22a1111a22?0?a)?a,E(?a和,)F( （）当时，方程表示椭圆，焦点 222222221111为合乎题意的（）当方程也表示椭圆，焦点,a时?22)?0(,a(?aFaa0E(,(?)和 22222. 两个定点（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 实用文档 nkkn?x)(?aknC)?(x?a ，证明：（）因为n0?knn?1n?kk?1k?1n?)a(.?x?n(x?a)Cn?

17、1kn?k?k? 所以xy?kCa)(1?nnk?00?knn)ax?x?(f(x)求导数: （）对函数n?n?1n?1,)(?(x)nxx?a?nfn?n?1n?1.)()?nnn?a?所以f(nn? .0)?,f(x当x?a?0时nnn.xa)的增函数)?x是关于?(x?f?当x?a时,(xnnnnn)a?(?a)n?n?n?a时,(n?1)?(n?1因此,当?nnnn)a)(nn?1)(n)?(n?1?a)?(?f(n?1)(n?1)(n?1 1n?n?1n)?(n?1)f(?1)(nn?n(n?a).?(n n?a,f(n?1)?(nn?1)f(n). 即对任意n?n122本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. 11142222).aa(,a),Q(?a,(Qa,a),P （）解： nnnnn?n?11?n1nn2aaa11111222?22221,aa?a()?a)?a?a?( 2nnn2?n1n?1n?aaaaa1113222122?1?2?22a()()(a)? 32?nn?aaaaa111n?n1?11n?2n?1n?n?222?1?2221?2?11?.)?aa()aa(a?()() ， n11aaaa1112,?aa,a?a （）证明：由知=1 .a?a?,n?1n 12 324