2010年江苏省高考数学试卷

1、实用文档 2010年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 2 B=3，则实数a= ，a+4，A31（5.00分）设集合A=1，1，B=a+2 的模为 =6+4i（其中i为虚数单位），则z（5.00分）设复数z满足z（23i）2 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球1分）盒子中有大小相同的3只白球，3（5.00 颜色不同的概率是 根棉花纤维的长度1005.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了4（其频率分布直方中，40（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5 根在棉花纤维的长度小于20mm100根中，有 图如图所示，则其抽样的

2、xx a= +aee）（xR）是偶函数，则实数分）设函数5（5.00f（x）=x（ ，3M中，双曲线，点M的横坐标是上一点分）在平面直角坐标系6（5.00xOy 则M到双曲线右焦点的距离是 7（5.00的值是 分）如图是一个算法的流程图，则输出S 22，x轴交点的横坐标为a，x0）的图象在点（aa）处的切线与分）函数8（5.00y=x（k+1kk +a+a= aak为正整数，=16，则5311 225y+c=0=4x中，在平面直角坐标系5.009（分）xOy已知圆+y上有且仅有四个点到直线12x 实用文档 的距离为1，则实数c的取值范围是 分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与（5.00

3、y=5tanx的图象的交点为10P，过点P作PPx轴于点P，直线PP与y=sinx的图象交于点P，则线段PP的长为 212111 2x）的f（2xf分）已知函数（1x）11（5.00，则满足不等式 的范围是 2，则的最大值是 9 xy5.0012（分）设实数x，y满足38，4 +，若则+=6cosCB、C的对边分别为a、b、c，A13（5.00分）在锐角ABC中，角、 的值是 14（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块 是梯形，记，则S的最小值是 110分）9二、解答题（共小题，满分 1）2，）、B（2，3、C（2，A14.0015（分）在平面直角坐标

4、系xOy中，点（1 AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（1）求以线段AB、 满足（?=0t，求）t的值）设实数（216（14.00分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90 （1）求证：PCBC； （2）求点A到平面PBC的距离 17（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标 实用文档 杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE= （1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单

5、位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？ 中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、18（16.00分）在平面直角坐标系xOyB，右焦点为F设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x，y）、N（x，y），2121其中m0，y0，y0 2122 的轨迹；PB=4，求点P（1）设动点P满足PF ，求点=T2）设x=2，x的坐标；（21 m无关）t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与（3）设 19（16.00分）设各项均为正数的数列a的前n项和为S，已知2a=a+a，数列 31nn2是公差为d的等差数列 （1）求数列a的通

6、项公式（用n，d表示）； n（2）设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式S+ScS都成立求kmn 的最大值为c证： 实用文档 20（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+）上的函数，其导函数为f（x）如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）0，使得f 2，）=，设函数f（x则称函数f（x）具有性质P（a）（x=h（x）（xax+1）， b为实数其中 ）；）具有性质P（b（1）求证：函数f（x x）的单调区间求函数f（为实数，mxx，设，x（1，+），x（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定2112）x|g（1，若|g（）

7、g（）|1m）x，=（m）x+mx，1，=mx+（111221 的取值范围|，求mg（x）2四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作C、D10.00分）本题包括A、B、21（ 答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，若DA=DC延长线于点作圆O的切线交ABCA：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D AB=2BC求证：为非零实k）2，1设B（2，0），C（，B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（00）， 、B对应的变换下得到点分别为A、，点A、BC在矩阵数，矩阵M，=NMN=11C，ABC的面积是ABC面积的2倍，求k的值 1111C：在极坐标系中，已知

8、圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值 是非负实数，求证： ：设Da、b 22某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产各种产品相互独立 （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23（10.00分）已知ABC的三边长都是有理数 实用文档 （1）求证cosA是有理数；

9、 （2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数 实用文档 2010年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 70分）小题，每小题5分，满分一、填空题（共142 a= 1 +4，AB=3，则实数5.00分）设集合A=1，1，3，B=a+2，a1（ 2 a=1 3a+2=3 即+4【解答】解：AB=33B，又a z的模为 2 23i）=6+4i（其中i为虚数单位），则（2（5.00分）设复数z满足z （3+2i），解：z（23i）=2【解答】 ）|，23i）|=2|（3+2i（|z| 2z|23i|=|3+2i|，的模为2 故答案为：只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球只白球，13（5.00分

10、）盒子中有大小相同的3 颜色不同的概率是 【解答】解：考查古典概型知识 21故填：=3n=C总个数=6，事件A中包含的基本事件的个数m=C 344（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 30 根在棉花纤维的长度小于20mm 【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04， 则频数为100（0.01+0.01+0.04）5=30 故填：30 实用文档 xx R）是偶函数，则实数a= 1 x）=x（

11、e+ae）（x5（5.00分）设函数f（ xx R）是偶函数，（x）=xe+ae）（x【解答】解：因为函数f（xx ），=f1）（1+ae（x）=e为奇函数由g（0）=0，得a=1另解：由题意可得f（所以g1111 e+ae）=e+ae，即有（1+a）（e+e1故答案是=0，解得a=）即为（ ，M的横坐标是3上一点M6.（5.00分）在平面直角坐标系xOy，点中，双曲线 M则到双曲线右焦点的距离是 4 MF=4x=1【解答】解：=e=2，d为点M到右准线的距离，则d=2，7（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是 63 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示

12、的顺序，可知： 2n S值+233的最小的该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+2+423 ，不满足条件33=31S=1+2+2+2+25432 ，满足条件33S=1+2+2+2+2+2=63 63值为：故输出的S63 故答案为：22，a轴交点的横坐标为）的图象在点（85.00分）函数y=x（x0a，a）处的切线与xk+1kk =16k为正整数，a，则a+a+a= 21 5113 22 ）a，x=2a）处的切线方程为：，【解答】解：在点（aaya（kkkkk ，y=0当 时，解得 所以 21故答案为：225y+c=0+y已知圆xOy分）（95.00在平面直角坐标系中，x=4上有且仅有四个

13、点到直线12x ，（ 的取值范围是，则实数1的距离为c13 ）13 实用文档 1，即，0）到直线12x5y+c=0的距离小于【解答】解：圆半径为2，圆心（0， 的取值范围是（13，13）c 的图象的交点为5.00y=6cosx分）定义在区间的图象与y=5tanx上的函数10（ 的长为P，则线段PPx轴于点P，直线PP与y=sinx的图象交于点PP P，过点P作212111 sinx的值，P【解答】解：线段P的长即为21 2线解得sinx=化为6cosx=，6sinx+5sinx6=0x且其中的满足6cosx=5tanx，即， PP的长为段21 2x2x）的x1）f5.0011（分）已知函数，则

14、满足不等式f（ 的范围是 （1，1） 【解答】解：由题意，可得 故答案为： 23xy8，4yx，满足9，则的最大值是 27 分）设实数（125.00 29，48xy3y解：因为实数【解答】x，满足， 实用文档 ，则有： 取得等号，再根据y=1 ，即当且仅当x=3 27即有的最大值是 +=6cosC、bc，若则+、（135.00分）在锐角ABC中，角AB、C的对边分别为a、 的值是 4 +【解答】=6cosC解：， 由余弦定理可得， =则+= = = 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块分）将边长为1m14（5.00 ，则是梯形，记S的最小值是 为边长的正成的小三角形剪：】解：

15、则x，【答解设 ，（方法一）利用导数求函数最小值 = 实用文档 ， 0，递增；（xx）0），递减；当时，S当时，S（ 的最小值是故当S时， （方法二）利用函数的方法求最小值 ，令 则： S的最小值是故当时， 分）9小题，满分110二、解答题（共 1）、C（2，2）、B（2，3）115（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（ 为邻边的平行四边形两条对角线的长；、AC（1）求以线段AB t的值?=0，求（2）设实数t满足（） 从而得： 知设）由题解：（1）（方法一则，【解答】 所以 故所求的两条对角线的长分别为、 ，则：D，两条对角线的交点为E（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 ），1

16、的中点，E（0CE为B、 ）4（1，A，1）为、D的中点，所以D0又E（ ；、故所求的两条对角线的长分别为AD=BC= 2=（2）由题设知：（，1）， 由（）?，），（），（=0，得：3+2t5+t?21=0 实用文档 ，所以11 从而5t= ，或者： 16（14.00分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90 （1）求证：PCBC； （2）求点A到平面PBC的距离 【解答】解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PDBC 由BCD=90，得CDBC， 又PDDC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC平面PC

17、D 因为PC?平面PCD，故PCBC （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍 由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F 的距离等于PBC DF=，故点A到平面易知（方法二）等体积法：连接AC设点A到平面PBC的距离为h 因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90 从而AB=2，BC=1，得ABC的面积S=1 ABC 的体积 ABC，得三棱锥平面由PDABCD及PD=

18、1P DCPDABCD?，平面因为PDABCDDC平面，所以 实用文档 ，所以又PD=DC=1 的面积 BC，BC=1，得PBC由PC ，=VV，得 由ABCPPBCA 的距离等于故点A到平面PBC17（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE= （1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？ BD=，AD=

19、，同理： AB=（【解答】解：1=tan）? AB=DB，故得，=AD 得：H=124=因此，算出的电视塔的高度H是124m =，=，tan ）由题设知（2d=AB，得tan= = tan（） =55时，取等号）= （当且仅当2d+，d= 时，d=55故当tan（）最大 实用文档 d=55时，最大0 ，所以当因为0，则 m55故所求的d是 中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为分）在平面直角坐标系xOyA、18（16.00B，右焦点为F设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x，y）、N（x，y），2121其中m0，y0，y0 2122 ，求点P的轨迹；P满足PFPB=4（1）设动

20、点 T的坐标；=2，x，求点=（2）设x21 无关）MN必过x轴上的一定点（其坐标与m（3）设t=9，求证：直线 【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0） 222222=4 ，化简得）=4，得（x2+y（x3+yPF由PB 故所求点P的轨迹为直线 分别代入椭圆方程，以及y0，y0，（2）将 21 ）、2得M（，）N （， ，即MTA方程为：， 直线 ，即直线NTB 方程为： 联立方程组，解得：， 的坐标为T 所以点 （3）点T的坐标为（9，m） 实用文档 ，即，方程为： 直线MTA 直线方程为：NTB，即 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x3，x3， 2

21、1 、解得： 时，（方法一）当xx21 方程为：MN 直线令y=0，解得：x=1此时必过点D（1，0）； 当x=x时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0） 21所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0） ，得，0m，则由 （方法二）若x=x及21 ，（10），过点此时直线MN的方程为x=1D 的斜率，MDxx ，则，直线若21 的斜率，得k=k，所以直线MNND直线过D点 NDMD因此，直线MN必过x轴上的点（1，0） 实用文档 19（16.00分）设各项均为正数的数列a的前n项和为S，已知2a=a+a，数列 3n21n是公差为d的等差数列 （1）求数列a的通项公式（用n，d表示）

22、； n（2）设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式S+ScS都成立求knm 的最大值为 证：c【解答】解：（1）由题意知：d0，=+（n1）d=+（n1）d， ，=a+a2a312 ，=S3=S，即（SS）3a33122 ， ，化简，得： 22222 情形d，适合n=1dn=SS=nd（1）=（2n1）an当2时，1nnn2 ）（故所求a=2n1dn 222222222m?恒成立， cc+nd?kd+n?kdcS+S2（）（方法一）S?mknm ，n 又m+n=3k且m 的最大值为，即c 故22（方法二）由 ，S=nd及，得d0 n 有，mn对满足题设的于是，m，n

23、 ，k 的最大值所以c 为偶数，令，则m，k设另一方面，任取实数n，k符合条件， 且 22时， ，即当+49k于是，只要2ak 所以满足条件的，从而 实用文档 的最大值为因此c 20（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+）上的函数，其导函数为f（x）如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）0，使得f 2，）=，设函数f（x则称函数f（x）具有性质P（a）（x）=h（x（xax+1）， b为实数其中 ）；）具有性质P（bf（1）求证：函数（x x）的单调区间求函数f（为实数，mxx，设（x，x1，+），（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定2112

24、）x|g（1，若|g（）g（）|xm）x，=（1m）+mx，1，+=mx（111221 的取值范围|，求mg（x）22）（x对于x1，=xbx+1，讨论对称轴与2的大小，当b2时，x根据第一问令（）图x）上单调性，当b2时，（fx）0，可得（x）在区间（1，+0，所以f（ 的两根，判定两根的范围，从而确定=0象开口向上，对称轴，可求出方程（x）（x）的符号，得到f（x）的符号，最终求出单调区间 （2）先对函数g（x）求导，再m分m0，m1，0m1进行，同时运用函数的单调性即可得到 = xf（）【解答】解：（1） 恒成立，1 时，x ；（x）具有性质Pb）函数f（2220 x2x+1=（1）x=

25、x12当b时，对于x，（x）bx+1 ，+）上递增；）在区间（，故此时（所以fx）0f（x1 当b2时，（x）图象开口向上，对称轴， ：，而为两=0x方程（）的根 实用文档 0，（x）时，（x）0，f当 ）在区间（x上递减；故此时f ）在区间（x上递增同理得：f ；，+）时，f（x）的单调增区间为（1综上所述，当b2 为间调增区（x）的单x）的单调减区间f为；2当b时，f（ 2对于任）0），其中函数h（x2x+1（x）=h（x）（x）由题设知：（2g（x）的导函数g +）都成立，所以，意的x（1，2 ，1）0（x）=h（x）（x当x1时，g ）上单调递增）在区间（1，+从而g（x，m）x=xx

26、=x，mx+（1x1）时，有=mx+（1m）mx+（1m）当m（0，21112212 得 x），x（，x），同理可得（x，2121 ），（x），gx）g所以由（x）的单调性知g（），g（）（g（21 |，符合题设；）g（x）x从而有|g（）g（）|g（21）（1mx（1m）mx+=mxx=mx0时，+（1m）mx+（1m）x=x，+m当12212221 x=x，11（）所以|gx）g（），（gx）的单调性知g（）gx）g（于是由1，1及21 |（x），与题设不符xg（）|g（）g21，|）xg（x）|gg，进而得xm当1时，同理可得，x|g（）（）|（2112 与题设不符 1）的取值范围为（因

27、此，综合、得所求的m0， 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作DCBA10.0021（分）本题包括、 答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 实用文档 A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（2，1）设k为非零实 =，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为M数，矩阵A=，N、B、11C，ABC的面积是ABC面积的2倍，求k的值 1111C：在极坐标系中，已知圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实

28、数a的值 是非负实数，求证：b D：设a、 【分析】A、连接OD，则ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解 、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解 BC、在极坐标系中，已知圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值 D、利用不等式的性质进行放缩证明， 然后再进行讨论求证 【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， ，DCO DAO+ODA=2DOC= ，DCO=30，DOC=60所以 AB=2BCOC=2

29、OD所以，即OB=BC=OD=OA，所以 、（方法二）证明：连接ODBD 实用文档 因为AB是圆O的直径，所以ADB=90，AB=2OB 因为DC是圆O的切线，所以CDO=90 又因为DA=DC，所以DAC=DCA， CDO，从而AB=CO于是ADB 2OB=OB+BC，得OB=BC即 故AB=2BC 分）由题设得B满分（10 ，可知A（0，0）、B（0，2）、C由（k，2） 111计算得ABC面积的面积是1，ABC的面积是|k|，则由题设知：|k|=21=2 111所以k的值为2或2 22222 ，）+y=1，cos，圆=2cos的普通方程为：x+y=2x（x1C解：=2 3x+4y+a=0，3cos+4sin+a=0的普通方程为：直线 ，又圆与直线相切，所以解得：a=2，或a=8 （方法一）证明： D = =，0b实因为数a、 所以上式0即有 是非负实数，作差得、ba （方法二）证明：由 = 实用文档 = ，从而，得当ab；时， ，从而时，得；当ab 所以 ；乙产品的一，二等品率为20%22某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%万元，若是二件甲产品，若是一等品则获得利润410%生产1等品率为90%，二等品率为2万元，若是二等品则亏损1件乙产品，