(完整版)三角函数最全知识点总结,推荐文档

1、三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1. 任意角的概念(1) 我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按 逆时针方向旋转形成的角负角：按 顺时针方向旋转形成的角零角：如果一条射线 没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(2) 终边相同角：与 终边相同的角可表示为：|2k，kz，或|k360，kz(3) 象限角：角 的终边落在 第几象限就称 为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2. 弧度制(1) 1 度的角： 把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心角叫 1的角.(2) 1 弧度的角： 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的

2、角.(3) 角度与弧度的换算：360 2rad,1180rad,1rad(180)5718.(4) 若扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 ，则此扇形的弧长l |r，面积 s12|r21 2lr. 3. 任意角的三角函数定义(1) 设 是一个任意角， 的终边上任意一点(非顶点)p 的坐标是(x，y)，它yxy与原点的距离为 r，则 sin r ，cos r ，tan x.(2) 三角函数在各象限的符号是：sincostan 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3) 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向

3、线段mp，om，at 分别叫做角 的 正弦线 、 余弦 线 和 正切 线4. 终边相同的角的三角函数sin(k2) sin，cos(k2) cos，tan(k2) tan(其中 kz)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等重要结论1. 终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角 终边相同的角时，单位必须一致2. 确定k(kn*)的终边位置的方法(1) 讨论法：用终边相同角的形式表示出角 的范围 写出k的范围根据 k 的可能取值讨论确定k的终边所在位置(2) 等分象限角的方法：已知角 是第 m(m1,2,3,4)象限角，求k是第几象限角等分：将每个象限分成 k 等份标注：从 x 轴

4、正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴选答：出现数字 m 的区域，即为k所在的象限如2判断象限问题可采用等分象限法二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1. 同角三角函数的基本关系式(1) 平方关系： sin2xcos2x1sinx.(2)商数关系： cosxtanx.2. 三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)22正弦sin sin sin sin cos cos余弦cos cos cos cos sin sin正切tan tan tan tan重要结论1. 同角三角函数基本关系式的变形应用：如1sinxtanxcosx，tan2x1cos2

5、x，(sinxcosx)212sinxcosx 等2. 特殊角的三角函数值表角 030456090120150180270角 的弧度数06432235632sin01222321321201co210tan03313 33 303. 诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”“奇”与“偶”指的是诱导公式 k2 中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k2 中，将 看成锐角时 k2 所在的象限4. sinxcosx、sinxcosx、sinxcosx 之间的

6、关系sinxcosx、sinxcosx、sinxcosx 之间的关系为(sinxcosx)212sinxcosx，(sinxcosx)212sinxcosx，(sinxcosx)2(sinxcosx)22.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值三、两角和与差的三角函数二倍角公式1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2 2sincos；(2) cos2 cos2sin2 2cos2112sin2；2tank(3)tan2 1tan2 ( 2 4且 k2，kz)3. 半角公式(不要求记忆)1cos2(1)sin2；1c

7、os2(2)cos2；(3) tan21cossin1cos 1cos1cos sin .重要结论1cos21cos21. 降幂公式：cos22，sin22.2. 升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.3. 公式变形：tantantan()(1tantan) 1tan1tan1tantan(4)；1tantan(4)sin22tan1tan2 cos2sin，sin21tan2，cos21tan2，1sin2(sincosx)2.4. 辅助角(“二合一”)公式：asinbcos a2b2sin()，ab其中 cosa2b2 ，sina2b2 .5. 三角形中的三角函数问题在三角

8、形中，常用的角的变形结论有：abcabc；2a2b2c2；2222.三角函数的结论有：sin(ab)sinc，cos(ab)cosc，tan(ab)abcabctanc，sin2cos2，cos2sin2.absinasinbcosa0)的图象(1)列表：xx02322x 2322 sinx01010y 0 a 0 a 032(2)描点： (，0)， (2，a)，(，0)，(2，a)，( ，0).(3) 连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 yasin(x)在区间长度为一个周期内的图象(4) 扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yasin(x)在 r 上的图象2. 由函数 ysi

9、nx 的图象变换得到 yasin(x)(a0，0)的图象的步骤3. 函数 yasin(x)(a0，0，x0，)的物理意义2(1)振幅为 a.(2)周期 t .1(3)频率 f t 2 .(4)相位是 x.(5)初相是 .重要结论t1. 函数 yasin(x)的单调区间的“长度 ”为2.2. “五点法”作图中的五个点：yasin(x)，两个最值点，三个零点；yacos(x)，两个零点，三个最值点3正弦曲线 ysinx 向左平移2个单位即得余弦曲线 ycosx.六、正弦定理、余弦定理1. 正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容abc sinasinbsinc2r(其中 r 是abc 外接圆的半

10、径)a2b2c22bccosa b2a2c22accosbc2 a2b22abcosc常见变形a 2rsina ，b 2rsinb， c 2rsinc；absina 2r ，sinb 2r ，sinc c 2r ；abc sinasinbsincasinbbsina，bsinccsinb，asinccsinab2c2a2cosa2bc；a2c2b2 cosb2ac；a2b2c2cosc2ab解决解斜三(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(1)已知三边，求各角；角形的问题(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(2)已知两边一角，求第三边和其他两个角2. 在abc 中，已知

11、a，b 和 a 时，解的情况如下a 为锐角a 为钝角或直角图形关系式a bsinaabsinabsina abab解的个数无解一解两解一解一解无解3. 三角形常用面积公式1(1) s2aha(ha 表示 a 边上的高)111(2) s2absinc2acsinb2bcsina.1(3) s2r(abc)(r 为内切圆半径)重要结论在abc 中，常有以下结论1abc.2. 在三角形中大边对大角，大角对大边3. 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边4. sin(ab)sinc；cos(ab)cosc；tan(ab)tanc；sinab2ccos2，cosab2csin2.5. tanat

12、anbtanctanatanbtanc.6. ababsinasinbcosacosb.7. 三角形式的余弦定理 sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa， sin2bsin2asin2c2sinasinccosb， sin2csin2asin2b2sinasinbcosc.8. 若 a 为最大的角，则 a3，)；若 a 为最小的角，则 a(0，3；若 a、b、c 成等差数列，则 b3.9. 三角形形状的判定方法(1) 通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2rsina，a2b2c22abcosc 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所

13、体现的内角关系，如 sinasinbab；sin(ab)0ab；sin2asin2bab 或 ab2等ab2c2a2(2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sina2r，cosa 恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断2bc等，通过代数(3) 注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful li

14、fe, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with