(完整版)双曲线题型归纳含(答案),推荐文档

1、资料三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念x 2 - y 2 =-=例 1设 p 是双曲线 a 291上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2 y0 ， f1 、f2 分别是双曲线的左、右焦点若| pf1 |= 3 ，则| pf2 |= （）a1或5b6c7d9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出 a 的值，利用双曲线的定义求出| pf2 |的值.x 2y 2解：q双曲线 a 2 - 9= 1渐近线方程为 y= 3 x a，由已知渐近线为3x - 2 y = 0 ， a = 2,| pf1 | - | pf2 |= 4 ，| pf2 |= 4+ | pf1 | .q| pf1 |=

2、 3,| pf2 | 0 ，| pf2 |= 7 .故选 c归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法-（二）基本量求解例 2x 2(2009 ft东理)设双曲线a 2则双曲线的离心率为（）55y 2b 2 = 1的一条渐近线与抛物线 y = x2 +1只有一个公共点，a.b5c42x 2y 2d5b y = b x解析：双曲线-= 1的一条渐近线为 y =a 2b 2a x ，由方程组a，消去 y，得 y = x2 +1x2 - b x +1 = 0 有唯一解，所以=aa2 + b2bc所以 = 2 ， e =aaa( b )= 1+ ( b )2 =aa2 - 4 = 0

3、，5，故选 d归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能-例 3x2y2（2009 全国理）设双曲线221（a0，b0）的渐近线与抛物线 y=x +1 相ab切，则该双曲线的离心率等于()356a.b.2c.d.x解析：设切点 p(x , y ) ，则切线的斜率为 y |= 2x 由题意有 y0 = 2x 又有00y = x 2 +1 ，联立两式解得: x 2 = 1, b = 2, e =x= x000051+ ( b )2a=00因此选 c0ax2y2例 4（2009 江

4、西）设 f1和 f2为双曲线 a2 - b2 = 1( a 0, b 0 )的两个焦点，若 f1，f2，p(0, 2b) 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）a 3b 2c 5d322解析：pc32222c由tan =有3c = 4b = 4(c - a ) ，则e = 2 ，故选 b62b3a归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出tan p = c =3 ，体现数形结合思想的应用（三）求曲线的方程例 5（2009，北京）已知双曲线c :x2 - y262b33= 1(a 0, b 0) 的离心率为，右准线方程a2b2为 x =3 3（1） 求双曲线 c 的方程；（2）

5、已知直线 x - y + m = 0 与双曲线 c 交于不同的两点 a，b，且线段 ab 的中点在圆x2 + y2 = 5 上，求 m 的值分析：（1）由已知条件列出 a, b, c 的关系，求出双曲线 c 的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出 m 的值 a2 =解：（1）由题意，得 c3 c = a333 ，解得 a = 1,c =.222 b = c - a= 2，所求双曲线c22y的方程为 x - 2= 1（2）设 a、b 两点的坐标分别为(x1, y1 ), (x2 , y2 )，线段 ab 的中点为 m (x0 , y0 )，y2x12 -=由2得 x

6、2x + y + m = 0- 2mx - m2- 2 = 0 （判别式d 0 ）， x = x1 + x2 = m, y = x + m = 2m ，020022点 m (x0 , y0 )在圆 x + y = 5 上， m2 + (2m)2 = 5 ， m = 1另解：设 a、b 两点的坐标分别为(x1, y1 ), (x2 , y2 )，线段 ab 的中点为 m (x0 , y0 )， 2y 2x1- 12= 1，两式相减得(x + x )(x - x ) - 1 ( y + y )( y - y ) = 0 .由x 2 - 2y=2 1121221212 22由直线的斜率为 1， x

7、= x1 + x2 , y = y 1 + y2 代入上式，得 y = 2x .020200又 m ( y , x ) 在圆上，得 y 2 + x 2 = 5 ，又 m ( y , x ) 在直线上，可求得 m 的值.000000归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力例 6x2y 2过 m (1,1) 的直线交双曲线-= 1于 a, b 两点，若 m 为弦 ab 的中点，求直线42ab 的方程分析：求过定点 m 的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是 k ，利用 m 为弦ab 的中点，即可求得 k

8、 的值，由此写出直线 ab 的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解解法一：显然直线 ab 不垂直于 x 轴，设其斜率是 k ，则方程为 y -1 = k (x -1) x2 - y2 = 1由42消去 y 得(1- 2k 2 )x2 - 4k (1- k )x - 2k 2 + 4k - 6 = 0 y -1 = k (x -1)设 a(x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，由于 m 为弦 ab 的中点， 所以 x1 + x2 = 2k (1- k ) = 1，所以 k = 1 21 1- 2k 22显然，当 k =时方程的判别式大于零.2所以直线 ab 的方程为 y -1 =

9、1 (x -1) ，即 x - 2 y +1 = 0 2解法二：设 a(x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，则 x2y21 - 1 = 1 42 x22 4y2 2-=21 得(x1 - x2 )(x1 + x2 ) - 2( y1 - y2 )( y1 + y2 ) = 0 .又因为 x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2 ，所以 x1 - x2 = 2( y1 - y2 ) 若 x1 = x2 , 则 y1 = y2 ，由 x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2 得 x1 = x2 = 1， y1 = y2 = 1 则点 a、b 都不在双曲线上，与题设矛盾，所

10、以 x1 x2 所 以 k = y1 - y2 = 1 x1 - x221所以直线 ab 的方程为 y -1 =(x -1) ，即 x - 2 y +1 = 0 2经检验直线 x - 2 y +1 = 0 符合题意，故所求直线为 x - 2 y +1 = 0 解法三：设 a （ x，y ），由于 a、b 关于点 m（1，1）对称，所以 b 的坐标为（2 - x，2 - y ），则 x2 - y242= 1,消去平方项，得 x - 2 y +1 = 0 22( 2- x) - (2 - y)42= 1.即点 a 的坐标满足方程，同理点 b 的坐标也满足方程 故直线 ab 的方程为 x - 2 y

11、 +1 = 0 归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在， 所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在（四）轨迹问题x2y2例 7已知点 p1(x0 , y0 ) 为双曲线 8b2 - b2 = 1（ b 为正常数）上任一点， f2 为双曲线的右焦点，过 p1 作右准线的垂线，垂足为 a ，连接 f2 a 并延长交 y 轴于 p2 求线段 p1 p2 的中点p 的轨迹 e 的方程分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点 p 是线段 p1p2 的中点，可利用相关点法解：由已知得f (3b, 0), a(8b, y )，则

12、直线 f a 的方程为： y = - 3y0 (x - 3b) 2302b令 x = 0 得 y = 9 y0 ，即 p2 (0, 9 y0 ) x = x0设 p（，）y， 则y2+ 9 y， y = 00 = 5 y20即x0 = 2x 代 入x0 -2 0 =y12 得 ：4x2 - y2= 1 y = y，8b2b28b225b2 05即 p 的轨迹 e 的方程为x22b2- y2=25b21 (x r)归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（五）突出几何性质的考查例 8（2006 江西） p 是双曲线 x2 - y2916= 1的右支上一点， m ， n 分别是圆(x

13、+ 5)2 + y2 = 4 和(x - 5)2 + y2 = 1 上的点，则| pm | - | pn |的最大值为（）a.6b.7c.8d.9解析：双曲线的两个焦点 f1(-5, 0) 与 f2 (5, 0) 恰好是两圆的圆心，欲使| pm | - | pn |的值最大，当且仅当| pm |最大且| pn | 最小，由平面几何性质知，点 m 在线段 pf1 的延长线上， 点 n 是线段 pf2 与圆的交点时所求的值最大.此时| pm | - | pn |= ( pf1 + 2) - ( pf2 -1) =pf1pf2-+ 3 = 9 因此选 d例 9（2009 重庆）已知以原点o 为中心的

14、双曲线的一条准线方程为 x =5 ，离心率5e =5 （1） 求该双曲线的方程；资料（2） 如图，点 a 的坐标为(- 5, 0) ， b 是圆 x2 + ( y -5)2 = 1 上的点，点 m 在双曲线.右支上，求ma + mb 的最小值，并求此时 m 点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将ma 、 mb 转化为其它线段，再利用不等式的性质求解解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线的方程为x2y255a2 + b2 -= 1(a 0, b 0) ，设c =a2 =a2b2由e =得 =5 5ca，由准线方程为 x得，5

15、c52y25解得 a = 1,c =.从而b = 2 ，该双曲线的方程为 x -= 1.4（2）设点 d 的坐标为( 5, 0) ，则点 a、d 为双曲线的焦点，则| ma | - | md |= 2a = 2 .所以| ma | + | mb |= 2+ | mb | + | md | 2+ | bd | 因为 b 是圆 x2 + ( y - 5)2 = 1 上的点，其圆心为c(0,5)，半径为 1，10故| bd | cd | -1 =+1，10从而| ma | + | mb |2+ | bd |+110当 m , b 在线段 cd 上时取等号，此时| ma | + | mb | 的最小值

16、为+15q直线 cd 的方程为 y = -x +，因点 m 在双曲线右支上，故 x 0 - 5 + 4 24 5 - 4 24x2 - y2 = 4由方程组 y = -x +解得 x =, y =533- 5 + 4 24 5 - 4 2所以 m 点的坐标为(,) 33归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonde

17、rful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can