(完整版)双曲线知识点归纳与例题分析,推荐文档

1、1基本知识点2标准方程（焦点在 x 轴）双曲线标准方程（焦点在 y 轴）双曲线x- y2=y 2 - x 2 =a 2b 21(a0, b0)a 2b 21(a0, b0)第一定义：平面内与两个定点 f1 ， f2 的距离的差的绝对值是常数（小于 f1f2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。m mf - mf = 2a (2a 1 时，动点的轨迹是双曲线。定点 f 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （ e 1 ）叫做双曲线的离心率。pyypffxx12y ypf2xxfp1范围x a ， y ry a ， x r对称轴对称中心焦点坐x 轴 ，

2、 y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b原点o(0, 0)f1(-c, 0)f2(c, 0)f1(0, -c)f2 (0, c)标焦点在实轴上， c =a2 + b2 ；焦距：f1f2= 2c顶点坐标（ - a ,0） ( a ,0)(0, - a ,) (0， a )离心率e = c (e 1)a准线方程x = a 2cy = a 2c准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a c2顶点到准线的距离顶点 a （ a ）到准线l （ l ）的距离为a 21212a - c顶点 a （ a ）到准线l （ l ）的距离为 a 2 +1221ac焦点到准线的距离焦点 f （ f ）到准线l

3、 （ l ）的距离为a 21212c - c焦点 f （ f ）到准线l （ l ）的距离为 a 2 +1221cc渐近线方程y = b xax = b ya共渐近线的双曲线系方程xa 2- y=k （ k0 ）ya 2- x=k （ k0 ）直线和双曲线的位置双曲线 x 2 - y 2 = 1与直线 y = kx + b 的位置关系：a 2b 2 x2y21利用 a2 - b2 =转化为一元二次方程用判别式确定。 y = kx + b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 ab 的弦长 ab = 1+ k 2 (x + x )2 - 4x x121 2通径： ab = y2 - y1

4、7补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1） 半实轴长=半虚轴长（一般而言是 a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b 这两个字母）；（2） 其标准方程为 x2-y2=c，其中 c0；（3） 离心率 e=2；（4） 渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；（5） 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6） 等轴双曲线上任意一点 p 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被 p 所平分；（7） 等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数 a2；（8） 等轴双曲线 x2-y2=c 绕其中心以逆时针方向旋转 45后，可以得到 xy=a2/2，

5、其中c0。所以反比例函数 y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。例题分析：例 1、动点 p 与点 f1 (0，5) 与点 f2 (0， - 5) 满足 pf1 - pf2 = 6 ，则点 p 的轨迹方程为（） x2 y2x2 y2 - = 1916 -+ = 1169x2y2 x2 y2 - += 1( y 3)169-+ =1691( y-3)同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为 y = 3 x ，则离心率为（）43 5 5 5 或 53434例 2、已知双曲线 xy的离心率为22+ = 1e 2 ，则k 的范围为（）4k -12 k 1 -5 k 0同步练习二:双曲线 x2 -2 k 0 -

6、12 k 的离心率为 2.若抛物线b2c121(a0, b0)ac2: x2 = 2 py( p 0) 的焦点到双曲线c 1的渐近线的距离为 2，则抛物线c 的2方程为(a) x2 = 8 3 y3(b) x2 = 16 3 y3(c) x2 = 8 y(d) x2 = 16y【答案】d考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知b = 3a ，此题应注意 c2 的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线 y = 3x 的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。3. 【2012 高考全国文 10】已知 f 、 f 为双曲线c : x2 -

7、y2 = 2 的左、右焦点，点 p 在c 上，12| pf1 |= 2 | pf2 |，则cos f1pf2 =（a） 14【答案】c（b） 35（c） 34（d） 45【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。2【解析】解：由题意可知， a = b,c = 2 ，设| pf1 |= 2x,| pf2 |= x ，则22| pf1 | - | pf2 |= x = 2a = 2，故| pf1 |= 4 2,| pf2 |= 2， f1f2 = 4 ，利用余弦定理可得pf 2 + pf 2

8、- f f 2(4 2)2 + (2 2)2 - 423cos f1pf2 =121 2 =。2 2 4 22pf1 pf22 44.（2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线x2 - y2 =3x 2 y = 0,aa291(a0) 的渐近线方程为则 的 值为（）a4b3c2d1答案：c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 y = 3 x ，故可知a = 2 。a5. 【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 - y2 =1,点 f1,f2 为其两个焦点，点 p 为双曲线上一点，若 p f1p f2,则p f1+p f2的值为.3【答案】2【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以

9、及转化思想和运算求解能力，难度适中。12【解析】由双曲线的方程可知a = 1, c =2, pf - pf= 2a = 2, pf 2 - 2 pf pf + pf2 = 41122q pf pf , pf 2 + pf 2 = (2c)2 = 8, 2 pf pf= 4,121212( pf1 + pf2 )2 = 8 + 4 = 12, pf1 + pf2 = 23【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。-=6. 【2012 高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 x2y 21 的离心率为 mm2 + 45，则m 的值为【答案】2。【考点】

10、双曲线的性质。m2 + 4【解析】由 x2 -y2= 1 得a= m=c=。 ，mm2 + 4m + m2 + 4cm + m2 + 4m5 e=a，即m2 - 4m + 4=0 ，解得m=2 。课后作业x 2y 21. 双曲线-= 1 的实轴长和虑轴长分别是()34333a. 2，4b.4， 2c.3，4d. 2，x 2 - y 2 =2. 双曲线 1的焦点到它的渐近线的距离等于()a 2b 2a 2 + b 2a 2 + b 2a. bb. bc. ad. a3. 如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为()a. 3 2b. 2c. 3 2d.24. 双曲线的渐近方程是

11、 y = 1 x ，焦点在坐标轴一，焦距为 10，其方程为()2x 2y 2x 2y 2y 2x 2x 2y 2y 2x 2a. -= 1b. - = 或1- = 1c. -= 1d. - = 1205205205520205x 2y 25. 双曲线-= 1 的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是()916a. - 34x 2y 2b. - 43c. - 3 5d. - 5 36. 双曲线-= 1 的两条渐近线所成的角是()16a. 2 arctan 45x 225b. 2 arctan 54- y 2 =c. p- 2 arctan 45d. p- 2 arctan 547.

12、双曲线 1与其共轭双曲线有()a 2b 2a.相同的焦点b. 相同的准线c. 相同的渐近线d. 相等的实轴长8. 已知双曲线的渐近线方程为 y = 3 x ，则此双曲线的 （）4a. 焦距为 10b实轴长与虚轴长分别为 8 与 65555c离心率e 只能是 或d离心率e 不可能是 或43439. 等轴双曲线的一个焦点是 f1（4，0），则它的标准方程是，渐近线方程是 10. 若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为 x 2y 211. 若双曲线-= 1 上的一点 p 到它的右焦点的距离是 8，则到它的右准线之间的距离为6436812. 若双曲线的一条渐近线方程为3x - 2

13、y = 0 ，左焦点坐标为(-距离为 26,0) ，则它的两条准线之间的13. 写出满足下列条件的双曲线的标准方程：（1） 双曲线的两个焦点是椭圆x 2100+ y 2 =641 的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦点： （2） 双曲线的渐近线方程为 y = x ，两顶点之间的距离为 2: 214. 双曲线的其中一条渐近线的斜率为 ，求此双曲线的离心率 715. 已知双曲线 x 2 -my 2 = 1(m 0) 的右顶点为 a，而 b、c 是双曲线右支上的两点，如果dabc 是正三角形，则m 的取值范围是 x 2y 216. 设圆过双曲线-= 1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲

14、线上，则圆心到双曲线中916心的距离是 x 2y 217. 已知双曲线-= 1 上一点 m 到左焦点 f1 的距离是它到右焦点距离的 5 倍，则 m 点的坐169标为 18. 已知直线l 过定点（0，1），与双曲线 x 2 - y 2 = 1的左支交于不同的两点 a、b，过线段 ab 的中点 m 与定点 p(-2,0) 的直线交 y 轴于q(0, b) ，求b 的取值范围.x 2y 219. 已知双曲线-= 1816（1） 过右焦点 f2 作一条渐近线的垂线（垂中为 a），交另一渐近线于 b 点，求证：线段 ab 被双曲线的左准线平分；（2） 过中心 o 作直线分别交双曲线于 c、d 两点，且

15、dcdf1 (f1为左焦点) 的面积为 20，求直线cd 的方程。920p 为双曲线x 22- y 2 =21（ a 0, b 0 ）上一点， pm x 轴于 m，射线 mp 交渐近线于 q。求证：abmq 2 - mp 2 是定值。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from al