(完整版)圆锥曲线知识点总结与经典例题,推荐文档

1、圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1（ 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2（ 与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 k = tana,a0,a)k = y2 - y1x2 - x1点 p(x0 , y0 ) 到直线 ax + by + c = 0 的距离d = ax0 + by0 + ca2 + b2l1 : y = k1x + b1 k2 - k1 夹角公式：直线l: y = kx + b夹角为a， 则 tana= 1+ k k2222 1（3（ 弦长公式直线 y = kx + b 上两点 a(x1 , y1 ), b(x2 , y2 )

2、间的距离(x - x ) + ( y - y )2221211+ k 2(1+ k 2 )(x1 + x2 )2 - 4x1 x2 ab = ab =x - x=12 ab =y - y1+ 1k 212（4（ 两条直线的位置关系（）（）l1 : y = k1 x + b1 l2 : y = k2 x + b2 l1 l2 k1k2 =-1 l1 / l2 k1 = k2且b1 b2 l1 : a1x + b1y + c1 = 0l2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 l1 l2 a1 a2 + b1b2 = 0a2 + b2 l / /l a b - a b =0且- ca c

3、0 或 a1 = b1 c1 者 （ a b c 0 ）121 22 11 22 1a2b2c22 2 2两平行线距离公式l1 : y = kx + b1| b1 - b2 |l1 : ax + by + c1 = 0距离 d =距 离 d = | c1 - c2 |1+ k 2l2 : y = kx + b2二、椭圆、双曲线、抛物线：l2 : ax + by + c2 = 0椭圆双曲线抛物线定义1. 到两定点 f1,f2 的距离之和为定值 2a(2a|f1f2|) 的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）1. 到两定点 f1,f2 的距离之差的绝对值为定值2a

4、(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点 集 ： (mmf1+mf2=2a, f 1f22a.点集：mmf1-mf2.=2a,f2f22a.点集m mf=点 m 到直线 l 的距离.图形方程标准方程x 2 +a 2y 2b 2= 1( a b 0)x 2y 2 - = 1(a0,b0)a 2b 2y2 = 2 px参数方程x = a cosay = bsina(参数a为离心角）x = a secay = b tana(参数a为离心角）x = 2 pt 2 (t 为参数)y = 2 pt范围axa，byb|x| a，yrx0中心原点 o（0，0）原点 o（0，0）顶点(a,0),

5、 (a,0),(0,b), (0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点f1(c,0), f2(c,0)f1(c,0), f2(c,0)f ( p ,0) 2准线a 2x= c准线垂直于长轴，且在椭圆外.a 2x= c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.px=- 2准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等.焦距2c（c= a 2 - b 2 ）2c（c= a 2 + b 2 ）离心率e = c (0 e 1)ae=1p(x0，y0)为圆锥曲线上一点，f1、f2 分别为左、右焦点p 在右支时：

6、p 在左支时：|pf|=x + p02焦半径|pf1|=a+ex0|pf2|=a-ex0|pf1|=a+ex0 ex0|pf1|=-a-|pf2|=-a+ex0|pf2|=a-ex0【备注 1】双曲线：2等轴双曲线：双曲线 x 2 - y 2 = a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y = x ，离心率e =.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与-x 2 - y 2 = ax 2 y 2 x 2 y 2-= -a互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：0 . a 2b 2a 2b 2x 2y 2a 2b 2x 2y 2xy共渐近线的双曲线系

7、方程：-= a(a 0) 的渐近线方程为-= 0 如果双曲线的渐近线为 = 0 时，a 2b 2它的双曲线方程可设为 x 2 - y 2a 2b 2abb 2 = a(a 0) .a 2【备注 2】抛物线：（1） 抛物线 y2 =2px(p0)的焦点坐标是( p ,0)，准线方程 x=- p ，开口向右；抛物线 y2 =-2px(p0)的焦点坐22标是(- p ,0)，准线方程 x= p ，开口向左；抛物线 x2 =2py(p0)的焦点坐标是(0, p )，准线方程 y=- p，开2222口向上；抛物线 x2 =-2py（p0）的焦点坐标是（0,- p ），准线方程 y= p ，开口向下.22

8、（2） 抛物线 y2 =2px(p0)上的点 m(x0,y0)与焦点 f 的距离 mfp= x0+ p ；抛物线 y2 =-2px(p0)上的点2m(x0,y0)与焦点 f 的距离 mf= - x02（3） 设抛物线的标准方程为 y2 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 p ，顶点到准线的距离 p ，焦22点到准线的距离为 p.（4） 已知过抛物线 y2 =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 a、b 两点，则线段 ab 称为焦点弦，设 a(x1,y1), b(x2,y2)，则弦长 ab = x + x +p 或 ab = 2 p( 为直线 ab 的倾斜角)， y y = - p2

9、 ，12p2psin2a1 2x1 x2 =, af4= x1 + 2 (af 叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是 f1(0，1)、f2(0,1)，p 是椭圆上一点，并且 pf1pf22f1f2，求椭圆的标准方程。解：由 pf1pf22f1f2224，得 2a4.又 c1，所以 b23.y2x2所以椭圆的标准方程是 4 3 1.2. 已知椭圆的两个焦点为 f1(1,0)，f2(1,0)，且 2a10，求椭圆的标准方程x2 y2解：由椭圆定义知 c1，b 521 24.椭圆的标准方程为25241.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

10、例：1. 椭圆的一个顶点为 a(2，0)，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解：（1）当 a(2，0)为长轴端点时， a = 2 ， b = 1，xy22椭圆的标准方程为：+= 1；41（2）当 a(2，0)为短轴端点时， b = 2 ， a = 4 ，x2 + y2椭圆的标准方程为：416 = 1；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x2y2例求过点(3,2)且与椭圆 9 4 1 有相同焦点的椭圆的标准方程x2 y29解：因为 c2945，所以设所求椭圆的标准方程为a2a251.由点(3,2)在椭圆上知a2 4x2

11、y2a251，所以 a215.所以所求椭圆的标准方程为15101.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x + y -1 = 0 交于 a 、 b 两点， m 为 ab中点， om 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程解：x2由题意，设椭圆方程为a2+ y2 = 1，x + y -1 = 0由 22，得(1+ a)2 x2 - 2a2 x = 0 ， x + y = 1 a2m2x + x1+ a21 x= 12 =2a， ym = 1- xm =，1+ a2q kom= ym = 12xma= 1 ， a24x2=4 ，+

12、 y2 = 1为所求4五、求椭圆的离心率问题。例 已知椭圆x2+ y2= 1 的离心率e =1，求 k 的值k + 892解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2 = k + 8 ， b2 = 9 ，得c 2 = k - 1由e = 1 ，得 k = 4 2当椭圆的焦点在 y 轴上时， a2 = 9 ， b2 = k + 8 ，得c2 = 1- k 由e = 1 ，得1- k = 1 ，即 k = - 5 29454满足条件的 k = 4 或 k = -4六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若abc 的两个顶点坐标 a(4,0)，b(4,0)，abc 的周长为 18，求顶点 c 的轨

13、迹方程。解：顶点 c 到两个定点 a，b 的距离之和为定值 10，且大于两定点间的距离，因此顶点 c 的轨迹为椭圆，并且 2a10，所以 a5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c29，故顶点 c 的轨迹方x2y2为程x2为225 9 1.又 a、b、xc2 三y点2 构成三角形，所以 y0.所以顶点 c 的轨迹方程25 9 1(y0)答案：25 9 1(y0)x2y22. 已知椭圆的标准方程是a2251(a5)，它的两焦点分别是 f1，f2，且f1f28，弦 ab 过点 f1，求abf2 的周长因为 f1f28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a2251641，即 a 41，所以abf2

14、的周长为 4a4 41.x2y23. 设 f1、f2 是椭圆 9 4 1 的两个焦点,p 是椭圆上的点，且 pf1:pf22:1，求pf1f2 的面积解析：由椭圆方程，得 a3，b2，c 5，pf1pf22a6.又 pf1pf221，pf14，pf22，由 2242(2115)2 可知pf1f2 是直角三角形，故pf1f2 的面积为 2pf1pf22244.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆x + y2 = 1，求过点 p 122 21 ， 且被 p 平分的弦所在的直线方程2 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 k ，利用条件求 k 1解法一：设所求直线的斜率为 k ，则直线方

15、程为 y -= - 1 代入椭圆方程，并整理得k x(1+ 2k 2 )x2 - (2k 2 - 2k )x + 1 k 2 - k + 3 = 0 222k 2 - 2k22 由韦达定理得 x1 + x2 =1+ 2k 21 p 是弦中点， x1 + x2 = 1故得 k = - 2 所以所求直线方程为2x + 4 y - 3 = 0 解法二：设过 p 1 1 的直线与椭圆交于 a(x ，y )、 b(x ，y )，则由题意得 ， 2 2 1122 x21 +2 x2 +y2 = 1，12 2 2y2 = 1，+=x1 + x2 = 1，yy1. 12x2 - x222得 12 + y1 -

16、 y2 = 0 2将、代入得 y1 - y2 = - 1 ，即直线的斜率为- 1 x1 - x222所求直线方程为2x + 4 y - 3 = 0 双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。x2例 1讨论25 -k+ y2= 19 - k表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征分析：由于 k 9 ， k 25 ，则 k 的取值范围为 k 9 ， 9 k 25 ， k 25 ，分别进行讨论解：（1）当 k 0 ， 9 - k 0 ，所给方程表示椭圆，此时 a2 = 25 - k ， b2 = 9 - k ，c2 = a2 - b2 = 16 ，这些椭圆有共同的焦点（4，0），（4，0）（2）

17、当9 k 0 ， 9 - k 0 ，所给方程表示双曲线，此时， a2 = 25 - k ， b2 = 9 - k ，c2 = a2 + b2 = 16 ，这些双曲线也有共同的焦点（4，0），）（4，0）（3） k 25 ， k = 9 ， k = 25 时，所给方程没有轨迹说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些 k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例 2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1） 过 点 15 16， qp3， -，5 且焦点在坐标轴上4 36（2） c =，经过点（5，2），焦点在 x 轴上（3

18、）与双曲线 x2y21 有相同焦点，且经过点(3 2，2-= 164xy22解：（1）设双曲线方程为+= 1mn p 、q 两点在双曲线上， 9 + 225 = 1 解得m = -16 2m56 162n5n = 9+= 1 9mn所求双曲线方程为- x2 + y2 = 1 169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的6（2） 焦点在 x 轴上， c =，x2y2设所求双曲线方程为：-= 1（其中0 a 6 ）a6 -a254双曲线经过点（5，2）， a - 6 -a= 1a= 5 或a= 30 （舍去）x2所求双曲线方程是5- y2 = 1说明：以上简单易行的方法给我

19、们以明快、简捷的感觉2（3） 设所求双曲线方程为： x2-y= 1(0 a r2 ，则当它们外切时， o1o2 = r1 + r2 ；当它们内切时，o1o2 = r1 - r2 解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解：设动圆 m 的半径为 r（1） c1 与 m 内切，点 a 在 c 外22 mc = r -， ma = r ， ma - mc =点 m 的轨迹是以c 、 a 为焦点的双曲线的左支，且有：2a =， c = 2 ， b2 = c2 - a2 = 7 222x 2 - 2 y2 = 1(x - 2 )双曲线方程为7（2） m 与 c1 、 c2 都外切 mc1 = r +

20、1 ， mc2 = r + 2 ，mc2 - mc1 = 1点 m 的轨迹是以c2 、c1 为焦点的双曲线的上支，且有：a = 1 ， c = 1， b2 = c2 - a2 = 3 24所求的双曲线的方程为：4 y2 - 4x2= 1 y 3 43（3） m 与 c1 外切，且与 c2 内切 mc1 = r + 3 ， mc2 = r -1， mc1 - mc2 = 4点 m 的轨迹是以c1 、c2 为焦点的双曲线的右支，且有：a = 2 ， c = 3 ， b2 = c2 - a2 = 5所求双曲线方程为：-=x2y2 1(x 2)45说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹

21、问题常用而重要的方法（2） 巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3） 通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） x2 = 4 y（2） x = ay2 (a 0)分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程解：（1）q p = 2 ，焦点坐标是（0，1），准线方程是： y = -1a（2）原抛物线方程

22、为： y2 = 1 x ， 2 p = 1a当 a 0 时， p = 1 ，抛物线开口向右，24a11焦点坐标是(,0) ，准线方程是： x = -14a4ap当 a 0 ，则 k -1 ab 中点横坐标为： x1 + x2 = 4k + 8 = 2 ，2k 2解得： k = 2 或 k = -1 （舍去）故所求直线方程为： y = 2x - 2解法二：设 a(x , y ) 、 b(x , y ) ，则有 y 2 = 8xy 2 = 8x 11221122两式作差解： ( y - y )( y + y ) = 8(x - x ) ，即 y1 - y2 =8121212x - xy + y12

23、12q x1 + x2 = 4 y1 + y2 = kx1 - 2 + kx2 - 2 = k (x1 + x2 ) - 4 = 4k - 4 ，8 k =4k - 4故 k = 2 或 k = -1 （舍去）则所求直线方程为： y = 2x - 2 三、求直线中的参数问题5例 3（1）设抛物线 y2 = 4x 被直线 y = 2x + k 截得的弦长为3，求 k 值（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 p 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 p 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 p 点坐标22解：（1）由 y2 = 4xy

24、 = 2x + k得： 4x + (4k - 4)x + k = 0k 2设直线与抛物线交于 a(x1, y1) 与 b(x2 , y2 ) 两点则有： x1 + x2 = 1- k, x1 x2 = 4(1 + 22 )(x1 - x 2)2 ab =5(x + x2 )2 - 4x x =5(1 - k )2 - k 2 =5(1 - 2k )11 255(1 - 2k ) ab = 35,= 3，即 k = -4（2）q sd= 9 ，底边长为3，三角形高 h = 6 552 93 55点 p 在 x 轴上，设 p 点坐标是(x0 ,0)22 +12则点 p 到直线 y = 2x - 4

25、 的距离就等于 h，即 2x0 - 0 - 4= 6 55 x0 = -1 或 x0 = 5 ，即所求 p 点坐标是（1，0）或（5，0）四、与抛物线有关的最值问题例 4定长为 3 的线段 ab 的端点 a 、 b 在抛物线 y2 = x 上移动，求 ab 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 ab 中点的坐标解：如图，设 f 是 y2 = x 的焦点， a 、 b 两点到准线的垂线分别是 ac 、 bd ，又 m 到准线的垂线为mn ， c 、 d 和 n 是垂足，则12mn = 1 ( ac + bd ) = 1 ( af + bf ) ab = 3 221 2315设 m 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， mn等式成立的条件是 ab 过点 f 当 x = 5 时， y y = -p2 = - 1 ，故41 24= x +，则 x 4-=244( y + y )2 = y 2 + y 2 + 2 y y = 2x - 1 = 2 ，12121 22y1 + y2 = ， y = 222所以525m (, ) ，此时 m 到 y 轴的距离的最小值为 424例已知点 m (3 , 2) ， f 为抛物线 y2 = 2x 的焦点，点 p 在该抛物线上移动，当 pm点 p 的坐标为+ pf 取最小值时，分析：本题若建立目标函