(完整版)椭圆知识点与性质大全,推荐文档

1、椭圆与方程【知识梳理】1、椭圆的定义平面内，到两定点 f1 、 f2 的距离之和为定长2a (f1f2 0)的点的轨迹称为椭圆，其中两定点 f1 、 f2 称为椭圆的焦点，定长 2a 称为椭圆的长轴长，线段f1f2的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义.2、椭圆的简单性质标准方程x + y = ( )a2b21 ab0y + x = ( )a2b21 ab0顶点坐标a(a, 0)、 b (0, b)a(b, 0) 、 b (0, a)焦点坐标左焦点 f1 (-c, 0)，右焦点 f2 (c, 0)上焦点 f1 (0, c)，下焦点 f2 (0, -c)长轴与短轴长轴长 2a 、短轴长 2b

2、长轴长 2a 、短轴长 2b有界性-a x a ， -b y b-a y a ， -b x b ，对称性关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，同时也关于原点对称.a、b、c之间关系a2 = b2 + c23、焦半径椭圆上任意一点 p 到椭圆焦点 f 的距离称为焦半径，且 pf a - c, a + c，特别地，若 p(x0 , y0 ) 为椭圆x2y2 = 1(a b 0)上的任意一点， f (-c, 0) ， f (c, 0) 为椭圆的左右焦点，则| pf |= a + ex ， | pf|= a - ex ，其 2 + 212ab中e = c .a10204、通径过椭圆 x2y2 = 1(a

3、 b 0)焦点 f 作垂直于长轴的直线，交椭圆于 a 、 b 两点，称线段 ab 为椭圆的通径，且ab = 2 + 2 ab2b2.a5、焦点三角形为椭圆 x2y2 = 1(a b 0)上的任意一点， f (-c, 0) ， f(c, 0) 为椭圆的左右焦点，称dpf f为椭圆的焦点三角p2 + 2121 2ab形，其周长为： c= 2a + 2c ，若f pf=l，则焦点三角形的面积为： s= b2 tanl.df1pf212df1pf226、过焦点三角形直线 过椭圆 x2y2 = 1(a b 0)的左焦点 f ，与椭圆交于 a(x , y ) 、 b(x, y ) 两点，称dabf为椭圆的

4、过焦点l2 + 2ab11 12 2222三角形，其周长为： cdabf = 4a ，面积为 sdabf = c y1 - y2 .7、点与椭圆的位置关系 0 y0p (x , y )为平面内的任意一点，椭圆方程为x2 + y2 = 1(a b 0) ：若 x0 2+ 2= 1 ，则 p 在椭圆上；若22xy+ 0 1 ，00x2y2a2b2a2b2a2b2则 p 在椭圆外；若 0 + 0 ，1(a则 b0)a2b2l 与g 相交 a2 a2 + b2 b2 c2 ； l 与g 相切 a2 a2 + b2 b2 = c2 ； l 与g 相离 a2 a2 + b2 b2 b 0) 上的动点， f

5、 , f 是椭圆的焦点， m 是f pf 的外角平分线上一点，且 a2b21212uuuur uuurf2 m mp= 0 ，则 om= a ，即动点 m 的点的轨迹为 x2 + y2 = a2 (x a).10、椭圆上任意两点的坐标性质x2y2y2 - y2b212a(x1, y1 ), b (x2 , y2 )为椭圆+ = 1 (a b 0 )上的任意两点，且 x x，则 12 = -.a2b212x2 - x2a2xy22【推广 1】直线l 过椭圆+= 1(a b 0)的中心，与椭圆交于 a(x , y ), b (x , y )两点， p 为椭圆上的任意一 a2b2b21 122点，则

6、 kapkbp = - a2 （ kap , kbp 均存在）.【推广 2】设直线l、y = k x + m (m 0)交椭圆 x2 + y2 = 1(a b 0)于c、 d 两点，交直线l 、 y = k x 于点 e 若 11a2b222b2 e 为cd 的中点，则 k1k2 = - a2 .211、中点弦的斜率m (x , y )(y 0)为椭圆x + y2= 1(a b 0)内的一点，直线l 过 m 与椭圆交于 a, b 两点，且 am= bm ，则000a2b2b2 x直线l 的斜率 kab = -0 .a2 y012、相互垂直的半径倒数的平方和为定值 若 a 、 b 为椭圆c ：

7、x2 + y2 = 1(a b 0)上的两个动点， o 为坐标原点，且oa ob 则 1+1 =定值 1 + 1 a2b2a2b2| oa |2| ob |2【典型例题】例xy22+1、直线 y = kx +1与椭圆=1恒有公共点，则 m 的取值范围是5m【变式 1】已知方程x2 + k - 5y23- k= -1表示椭圆，则k 的取值范围【变式 2】椭圆y 2+m + 2x 2m - 2= 1的两个焦点坐标分别为例 2、已知圆 a : (x + 3)2 + y 2 = 100 ，圆 a 内一定点 b (3, 0)，圆 p 过点 b 且与圆 a 内切，求圆心 p 的轨迹方程.【变式 1】已知圆

8、o : (x + 1)2 + y 2 = 1，圆o : (x - 1)2 + y 2 = 9 ,动圆 m 分别与圆o 相外切，与圆o相内切.1212求动圆圆心 m 所在的曲线的方程.【变式 2】已知dabc 的两个顶点坐标为 a(-4, 0), b(4, 0) ， dabc 的周长为 18，则顶点c 的轨迹方程为 【变式 3】已知动圆 p 过定点 a(- 3，0)，且在定圆 b：(x - 3)2 + y2 = 64 的内部与其相内切，求动圆的圆心 p 的轨迹方程例x23、若 p 是椭圆4+ y 23= 1上的点， f1 和 f2 是焦点，则uu ur uuur（1） 的取值范围为pf2 pf1

9、uuur uu ur（2） 的取值范围为pf1pf2uuur 2uu ur 2（3） +的取值范围为pf1pf2+=x2y2【变式 1】点 p(x, y) 是椭圆1上的一点， f , f 是椭圆的焦点， m 是 pf 的中点，且 pf1 = 2 ， o 为94121坐标原点，则 om =.2x2【变式 2】点是椭圆+y = 1(a b 0) 上的动点， f , f 是椭圆的焦点， m 是p(x, y)uuuur uuura2b212f1pf2 的外角平分线上一点，且 f2m mp = 0 ，则动点 m 的轨迹方程为x2y2例 4、已知椭圆+ = 1 内有一点 a(2,1)， f 为椭圆的左焦点

10、， p 是椭圆上动点，求 pa + pf 的最大值与2516最小值x2【变式】若椭圆+16y 2 =1的左、右两个焦点分别为 f 、 f，过点 f 的直线l 与椭圆相交于 a 、 b 两点，则7daf2 b 的周长为121例 5、 f1, f2 是椭圆x2 + 2y4= 1的焦点，点 p 为其上动点，且f1pf2 = 60 ，则df1pf2 的面积是2【变式】焦点在轴 x 上的椭圆方程为x + y2= 1(a 0) ， f a2、 f2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 b ，使得1f bf =l，那么实数a 的取值范围是.122例 6、已知椭圆x2 + 2y2= 1，（1） 求过点 p ，1

11、1 且被 p 平分的弦所在的直线的方程； 2 2 （2） 求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过 a(2、1) 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4） 椭圆上有两点 p 、q ， o 为原点，且有直线op 、oq 斜率满足 kop koq= - 1 ，2求线段 pq 中点 m 的轨迹方程x2例 7、已知椭圆c： +y = 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y = 4x + m ，椭圆c 上有不同的两点关243于该直线对称例 8、已知椭圆4x2 + y2 = 1及直线 y = x + m （1） 当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2） 若直线被椭圆截得的弦长为

12、 2 105，求直线的方程例 9、已知定点 a(-2, 0)，动点 b 是圆 f : (x - 2)2 + y 2 = 64 （ f 为圆心）上一点，线段 ab 的垂直平分线交bf 于 p .（1） 求动点 p 的轨迹方程；（2） 直线 y =m 的值；3x + 1交 p 点的轨迹于 m , n 两点，若 p 点的轨迹上存在点c ，使om + on = m oc, 求实数例x 2 + y 2= 1（ a b 0 ），过点 a(-a, 0)， b (0, b)的直线倾斜角为l，原点到该直线的距离为10、已知椭圆 a 2b 263 2（1） 求椭圆的方程；（2） 斜率大于零的直线过 d (-1,

13、0)与椭圆交于 e ， f 两点，若 ed = 2df ，求直线 ef 的方程；（3） 是否存在实数k ，直线 y = kx + 2 交椭圆于 p ， q 两点，以 pq 为直径的圆过点 d(-1,0) ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由例 11、若 ab 是经过椭圆x2y2+ = 1 中心的一条弦点， f1, f2 分别为椭圆的左、右焦点，求df1 ab 的面积的最大2516值.x2 + 2= 1abol3d【变式 1】已知直线l 与椭圆 3y交 于 、两点，坐标原点到直线 的距离为，求2aob 的面积的最大值.+=x2y2【变式 2】斜率为1的直线l 与椭圆 42l 的方程.1交

14、于 a、b 两点， o 为坐标原点，求daob 面积取最大值时直线【变式 3】已知定点 a(a,0) 和椭圆 x 2 + 2 y 2 = 8 上的动点 p(x, y)3 2（1） 若 a = 2 且| pa |=，计算点 p 的坐标；2（2） 若0 a 0) 交线段 ab 于点 d ， 交椭圆于 e, f 两点.uuuruuur（1） 若 ed = 6df ，求直线的斜率k ；（2） 求四边形 afbe 的面积 s 的最大值.xy22【变式 5】椭圆+= 1(b 0)的一个焦点是 f (-1, 0) 4b2（1） 求椭圆的方程；8（2） 已知点 p 是椭圆上的任意一点，定点 m 为 x 轴正半

15、轴上的一点，若 pm 的最小值为5，求定点 m 的坐标；（3） 若过原点o 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于 a, c 与 b, d 两点，求四边形 abcd 面积的取值范围.【变式 6】在平面直角坐标系 xoy 中，动点 p 到定点(- 直线l 过点 e(-1, 0) ，且与曲线c 交于 a, b 两点.3, 0), ( 3, 0)的距离之和为 4，设点 p 的轨迹为曲线c ，（1） 求曲线c 的方程；（2） 以 ab 为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过，求此时直线l 的方程，若不能，说明理由.（3） daob 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，

16、请说明理由.例 12、已知椭圆 x2 + 2 y2 = a2 (a 0) 的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 4（1） 求椭圆c 的方程；（2） 已知直线 y = k (x - 1) 与椭圆c 交于 a 、 b 两点，试问，是否存在 x 轴上的点 m (m, 0)，使得对任意的uuur uuurk r ，ma m b为定值，若存在，求出 m 点的坐标，若不存在，说明理由.【变式 1】过椭圆 x2 + y2 = 1 长轴上某一点 s (s,0)（不含端点）作直线l （不与 x 轴重合）交椭圆于 m , n 两点，82uuur uuur若点t (t, 0)满足： os ot= 8 ，求证：

17、mts = nts .【变式 2】已知椭圆c 的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 4，且点1, 3 在椭圆c 上 2 （1） 求椭圆c 的方程；ur（2） 设 p 是椭圆c 长轴上的一个动点，过 p 作方向向量 d = (2,1)的直线l 交椭圆c 于 a 、 b 两点，求证：pa 2 + pb 2 为定值【变式 3】如图， a 为椭圆x2y2+= 1(a b 0)上的一个动点，弦 ab, ac 分别过椭圆的的左右交点 f1, f2 .当a2b2ac x 轴时，恰好 af1 = 3 af2c（1） 求 的 值auuuruuuruuuruuur（2） 若 af1 = l1 f1b ， af

18、2 = l2 f2c ，试判断l1 + l2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【变式 4】线段 a, b 分别在 x 轴， y 轴上滑动，且 ab = 3 ， m 为线段 ab 上的一点，且 am = 1 ， m 随a, b 的滑动而运动（1） 求动点 m 的轨迹方程 e ；u uruuuruuuruuur（2） 过 n ( 3, 0) 的直线交曲线 e 于c, d 两点，交 y 轴于 p ， pc = l1 cn ， pd = l2 dn ，试判断l1 + l2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.xy22【变式 5】如图，已知椭圆c ：+= 1，其左右焦点为 f (

19、-1, 0)及 f (1,0)，过点 f 的直线交椭圆c 于a2b2121a, b 两点，线段 ab 的中点为g ， ab 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 d, e 两点，且等差数列.（1） 求椭圆c 的方程；af1、 f1f2、 af2 构成（2） 记 gf1d 的面积为 s1 ， oed （ o 为原点）的面积为 s2 试问：是否存在直线 ab ，使得 s1 = s2 ？说明理由【变式 6】已知椭圆c 的方程为 x2 + y2 =(a 0)27，其焦点在 轴上，点q (,) 为椭圆上一点1xa2222（1） 求该椭圆的标准方程；u ur（2） 设动点 p (x , y ) 满足=uu

20、uur+uuur，其中 m 、 n 是椭圆c 上的点，直线om 与on00opom2on的斜率之积为- 1 ，求证： x2 + 2 y2 为定值；200（3） 在（2）的条件下探究：是否存在两个定点 a, b ，使得 pa + pb 为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由2例 13、椭圆的一个顶点 a(0, -1) ，焦点在 x 轴上，右焦点到直线 x - y + 2= 0 的距离为 3.（1） 求椭圆的方程；（2） 设椭圆与直线 y = kx + m(k 0) 相交于不同两点 m , n ，当 am = an 时，求实数 m的取值范围. 2 【变式 1】已知 a 、 b 、c 是椭圆 x2 + y2 = 1(a b 0)上的三点，其中 a(2 3, 0)， bc 过椭圆的中心，且uuur uuuruuuruuura2bac bc = 0 ，bc = 2 ac .（1） 求椭圆的方程；uuuruuur（2） 过点 m (0,t )的直线l （斜率存在时）与椭圆交于两点 p,q ，设 d 为椭圆与 y 轴负半轴的交点，且 dp = dq .求实数t 的取值范围.“”“”at the end, xi