(完整版)椭圆综合测试题(含答案),推荐文档

1、椭圆测试题一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）2第 13 页 共 4 页1、离心率为3，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（）x2y2x2y2x2y2（a）+ = 1（b）+= 1或+ = 1959559x2y2x2y2x2y2（c）+ = 1（d）+= 1 或+ = 13620362020362、动点 p 到两个定点 f1 （- 4，0）、 f2 （4，0）的距离之和为 8，则 p 点的轨迹为（）a.椭圆b.线段 f1f2c.直线 f1f2d.不能确定2y23、已知椭圆的标准方程 x += 1，则椭圆的焦点坐标为（）10a. ( 10, 0)+x2y24、已知椭圆

2、59）5a. 2- 3b. (0, 10)c. (0, 3)d. (3, 0)= 1上一点 p 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 p 到另一焦点的距离是（b.2 c.3d.65、如果 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（）x2 +y2= 1a2a + 2a. (-2,+)b. (-2, -1)(2, +)c. (-, -1) (2, +) d.任意实数 r 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（）a. 方程 x2 + xy + y2 = 0 的曲线关于 x 轴对称b. 方程 x3 + y3 = 0 的曲线关于 y 轴对称c. 方程 x2 - xy + y2 = 10 的曲线关于原

3、点对称d. 方程 x3 - y3 = 8 的曲线关于原点对称x2y2x2y27、方程ka2 + kb2= 1（ab0,k0 且 k1)与方程 a2+ b2= 1（ab0)表示的椭圆（）.a.有相同的离心率b.有共同的焦点c.有等长的短轴.长轴d.有相同的顶点.y3x 22ab8、已知椭圆c :2 + 2uuur= 1(a 0) 的离心率为，过右焦点 f 且斜率为 k (k0) 的直线与c 相交uuur22于a、b 两点若 af = 3fb ，则 k = ()3（a）1（b）（c）（d）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4321a.b.c.d.5555

4、x2y2uuur uuur10、若点 o 和点 f 分别为椭圆+= 1的中心和左焦点，点 p 为椭圆上的任意一点，则opafp 的最43大值为()a2b3c6d8x2y211、椭圆 a2 + b2 = 1(ab0)的右焦点为 f，其右准线与 x 轴的交点为 a 在椭圆上存在点 p 满足线段 ap 的垂直平分线过点 f，则椭圆离心率的取值范围是()a02 b0112-1，1）（d）（ ）（ ，2（ ）（， （c）2，1）24x - x222212 若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 -有公共点，则 b 的取值范围是() a.1- 2,1+ 2b.1-2 ,3c.-1,1+ 2 2 d

5、.1- 2,3二、填空题：（本大题共 5 小题，共 20 分.）13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 1214 椭圆 x2 + y2 = 1上一点 p 与椭圆两焦点 f , f4924的连线的夹角为直角，则 rtpf1f2 的面积为.15 已知f 是椭圆c 的一个焦点， b 是短轴的一个端点，线段bf 的延长线交c 于点d ，且bf = 2 f d ，则c 的离心率为.16 已知椭圆c : x2 + y2 = 1 的两焦点为 f , f ,点 p(x , y ) 满足0 0x2+ y2 1 ,则| pf |+ pf |的取值范2围为 12002012三、解

6、答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（10 分）已知点 m 在椭圆x2 + y2259= 1 上，mp 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为p ，并且 m 为线段 p p 的中点，求 p 点的轨迹方程.18.(12 分)椭圆 x2 + y2 = 1(0 m b 0) 的左、右焦点，过 f2 的直线l 与椭圆c相3交于 a , b 两点，直线l 的倾斜角为60o ， f1到直线l 的距离为2.（）求椭圆c 的焦距；uuuruu ur（）如果 af2 = 2f2 b,求椭圆c 的方程.x2y2a220（12 分）设椭圆 c：+b2= 1(a b 0)

7、的左焦点为 f，过点 f 的直线与椭圆 c 相交于 a，b 两点，uuuru ur直线 l 的倾斜角为 60o, af = 2fb .(i) 求椭圆 c 的离心率；15(ii) 如果|ab|=，求椭圆 c 的方程.421（12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，点 b 与点 a（-1,1）关于原点 o 对称，p 是动点，且直线 ap 与 bp的斜率之积等于- 1 .3()求动点 p 的轨迹方程；()设直线 ap 和 bp 分别与直线 x=3 交于点 m,n，问：是否存在点 p 使得pab 与pmn 的面积相等？若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，说明理由。x2y2a222 （12 分）已知椭

8、圆+b2面积为 4.（）求椭圆的方程；= 1（ab0）的离心率 e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 a、b，已知点 a 的坐标为（-a，0）.（i） 若| ab| = 4 25，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 q（0，）0 在线段 ab 的垂直平分线上，且qa qb = 4 ，求y0 的值.1. 选择题：椭圆参考答案题号123456789101112答案bbccbcabbcdd8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 a，b 分别作 aa1，bb1 垂直于 l，a1，b 为垂足，过b

9、 作 be 垂直于 aa1 与 e，由第二定义得，由，得，即 k=，故选 b.910【解析】由题意，f（-1，0），设点 p (x , y ) ，则有x0 2 +y0 2 = 1 ,解得 y 2 = 3(1- x0 2) ，uuuru ur004304u ur u ur2 ) x因为 fp = (x0 +1, y0 ) ， op = (x0 , y0 ) ，所以op fp = x0 (x0 +1) + y0op fpu uru ur= x (x +1) + 3(1- 0x 2 = 0 +x 2+ 3 ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x = -2 ，因为004400u ur u ur22-2

10、 x0 2 ，所以当 x0 = 2 时， op fp 取得最大值+ 2 + 3 = 6 ，选 c。4【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11解析：由题意，椭圆上存在点 p，使得线段 ap 的垂直平分线过点 f ， 即 f 点到 p 点与 a 点的距离相等ab22而|fa|- c = cc|pf|ac,acb2于是ac,acc即 acc2b2acc2ac - c2 a2 - c2a2 - c2 ac + c2 c 1a cc1 a -1或 a 2又 e(0,1)故 e 1

11、 ,12 答案：d24x - x22212（2010 湖北文数）9.若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 -有公共点，则 b 的取值范围是a.1- 2,1+ 2b.1-,32c.-1,1+ 2 2 d.1- 2,3二、填空题：（本大题共 4 小题，共 16 分.）13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 1214 椭圆 x2 + y2 = 1上一点 p 与椭圆两焦点 f , f4924的连线的夹角为直角，则 rtpf1f2 的面积为.15 （2010 全国卷 1 文数）(16)已知f 是椭圆c 的一个焦点， b 是短轴的一个端点，线段bf 的延长线交

12、c 于点d ， 且bf = 2fd ，则c 的离心率为.3ybod1fxd【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程3与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. b2 + c2【解析 1】如图， | bf |= a ,作 dd1 y 轴于点 d1,则由bf = 2fd ，得| of | = | bf | = 2 ,所以| dd |= 3 | of |= 3 c ,1| dd1 | bd |3223ca23c3c2即 xd =,由椭圆的第二定义得| fd |= e(- ) = a - 2c22a

13、33c2 , e =又由| bf |= 2 | fd | ,得 a = 2a -a3x2y2【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 a2 + b2 = 1，设 d (x2 , y2 )，f 分bd 所成的比为 2，x = 0 + 2x2 x= 3 x = 3 c; y = b + 2 y2 y = 3yc - b = 3 0 - b = - b ，代入c1+ 222 c2c1+ 222229 c2 + 1 b2 =34 a21，e4 b23x 2216（2010 湖北文数）15.已知椭圆c : + y2 = 1 的两焦点为 f , f ,点 p(x , y ) 满足0 x0 + y2 b 0)

14、的左、右焦点，过 f2 的直线l 与椭圆c 相交于 a ,3b 两点，直线l 的倾斜角为60o ， f1到直线l 的距离为2.（）求椭圆c 的焦距；uuuruu ur（）如果 af2 = 2f2 b,求椭圆c 的方程.解：（）设焦距为2c ，由已知可得 f1 到直线 l 的距离 3c = 2 3,故c = 2.所以椭圆c 的焦距为 4.（）设 a(x1 , y1 ), b(x2 , y2 ),由题意知y1 0, 直线l 的方程为 y =3(x - 2). y =3(x - 2),22224联立 x2y2 得(3a + b )y+ 4 3b y - 3b= 0.+=1- 3b2 (2 + 2a)

15、 a2b2解得 y1 =3a2 + b2, y2 =.- 3b2 (2- 2a)3a2 + b2uuuruu ur因为 af2 = 2f2 b, 所以- y1 = 2 y2 .即3a2 + b2= 2 - 3b2 (2- 2a)3b2 (2 + 2a).3a2 + b2b =5.得 a = 3. 而所a2 以- b2 = 4,x2y2故椭圆c 的方程为+= 1.9520（2010 辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分）x2y2a2设椭圆 c：+b2= 1(a b 0) 的左焦点为 f，过点 f 的直线与椭圆 c 相交于 a，b 两点，直线uuuru url 的倾斜角为 60o, af =

16、2fb .(iii) 求椭圆 c 的离心率；15(iv) 如果|ab|=解：，求椭圆 c 的方程.4设 a(x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) ，由题意知 y1 0， y2 0.a2 - b2（）直线 l 的方程为y =3(x - c) ，其中c =. y =3(x -c),22224联立 x2y2 得(3a + b )y+ 2 3b cy - 3b = 0+=1- 3b2 (c + 2a) a2b2解得 y1 =3a2 + b2uuuru ur, y2 =- 3b2 (c - 2a)3a2 + b2因为 af = 2fb ，所以- y1 = 2 y2 .即3a2 + b2c= 2

17、- 3b2 (c - 2a)3b2 (c + 2a)3a2 + b22得离心率 e =.6 分a31+ 13（）因为 ab =y2 - y1 ，所以2 = 15 .4 3ab233a2 + b245c2由=得b =5 a .所以 5 a = 15 ，得 a=3， b =.a3344椭圆 c 的方程为x2 + y295= 1.12 分21（2010 北京理数）（19）（本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xoy 中，点 b 与点 a（-1,1）关于原点 o 对称，p 是动点，且直线 ap 与 bp 的斜率之积等于- 1 .3()求动点 p 的轨迹方程；()设直线 ap 和 bp 分别与直线 x

18、=3 交于点 m,n，问：是否存在点 p 使得pab 与pmn 的面积相等？若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，说明理由。（i） 解：因为点 b 与 a (-1,1) 关于原点o 对称，所以点 b 得坐标为(1,-1) .设点 p 的坐标为(x, y)y -1 y +11由题意得a= -x +1 x -13化 简 得 x2 + 3y2 = 4(x 1) .故动点 p 的轨迹方程为 x2 + 3y2 = 4(x 1)（ii） 解法一：设点 p 的坐标为(x0 , y0 ) ，点 m ， n 得坐标分别为(3, ym ) , (3, yn ) .则直线 ap 的方程为 y -1 = y0 -1

19、(x +1) ，直线 bp 的方程为 y +1 = y0 +1 (x -1)x0 +1x0 -1令 x = 3 得 y= 4 y0 + x0 - 3 ， y= 2 y0 - x0 + 3 .nm于是a pmn 得面积x0 +1x0 -11| x + y | (3 - x )2s=| y- y | (3 - x ) =0000a pmn2mn0| x 2 -1|22又直线 ab 的方程为 x + y = 0 ， | ab |= 2， 点 p 到直线 ab 的距离 d = | x0 + y0 | .于是a pab 的面积s= 1 | ab |ad =| x + y |a pab200| x + y

20、 | (3 - x )2当 s= s时，得| x + y |=000a paba pmn00| x 2 -1|0又| x0 + y0 | 0 ，所以(3 - x )2 =| x 2 -1|，解得| x = 5 。000333因为 x 2 + 3y 2 = 4 ，所以 y = 0009533故存在点 p 使得a pab 与a pmn 的面积相等，此时点 p 的坐标为(3, ) .9解法二：若存在点 p 使得a pab 与a pmn 的面积相等，设点 p 的坐标为(x0 , y0 )=则 1 | pa |a| pb | sin apb 1 2| pm |a| pn | sin mpn .2因为si

21、n apb = sin mpn ,| pa | pn |所以= | pm | pb |所以 | x0 +1| = | 3 - x0 | 3 - x0 | x -1|即 (3 - x )2 =| x 2 -1|，解得 x = 5333000因为 x 2 + 3y 2 = 4 ，所以 y = 0009533故存在点 p s 使得a pab 与a pmn 的面积相等，此时点 p 的坐标为(322（2010 天津文数）（21）（本小题满分 14 分）, ) .9x2y2a2已知椭圆+b2= 1（ab0）的离心率 e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭

22、圆相交于不同的两点 a、b，已知点 a 的坐标为（-a，0）.（i） 若| ab| = 4 25，求直线 l 的倾斜角；uuur uuur（ii）若点 q（0，）0 在线段 ab 的垂直平分线上，且qaaqb=4 .求y0 的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分.（）解：由 e= c=a，得3a2 = 4c2 .再由c2 = a2 - b2 ，解得 a=2b.32由题意可知 1 2a 2b = 4 ，即 ab=2.2a = 2b

23、,解方程组ab = 2, 得 a=2，b=1.所以椭圆的方程为x2 + 2y4= 1.()(i)解：由（）可知点 a 的坐标是（-2,0）.设点 b 的坐标为(x1, y1) ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. y = k (x + 2),于是 a、b 两点的坐标满足方程组 x2 4(1+ 4k 2 )x2 +16k 2 x + (16k 2 - 4) = 0 .消去 y 并整理，得+ y2 = 1.16k 2 - 42 - 8k 24k4 1+ k 21+ 4k 2.由-2x1 = 1+ 4k 2 ，得 x1 = 1+ 4k 2 .从而 y1 = 1+ 4k

24、2 .-2 -2 - 8k 2 21+ 4k2+4k2 1+ 4k2所以| ab |=4 24 1+ k 24 2=由| ab |=，得.51+ 4k 25整理得32k 4 - 9k 2 - 23 = 0 ，即(k 2 -1)(32k 2 + 23) = 0 ，解得 k= 1.p3p所以直线 l 的倾斜角为 或.448k 22k（ii）解：设线段 ab 的中点为 m，由（i）得到 m 的坐标为 - 1+ 4k 2 , 1+ 4k 2 .以下分两种情况：u ur（1） 当 k=0 时，点 b 的坐标是（2,0），线段 ab 的垂直平分线为 y 轴，于是u uru ur u ur2qa = (-2, - y0 ), qb = (2, - y0 ). 由qa qb = 4 ，得y0 = 2。2k1 8k 2（2） 当 k 0 时，线段 ab 的垂直平分线方程为 y - 1+ 4k 2 = - k x + 1+ 4k 2 。= - 1+ 4k6k令 x0 ，解得 y02 。u uru ur由qa = (-2, - y0 )， qb = (x1, y1 - y0 )，u uru ur-2 (2 - 8k 2 )6k4k6kqa qb = -2x1 - y0 (y1 - y0 )=4 (16k