(完整版)直角三角形的存在性问题问题2019含答案,推荐文档

1、直角三角形的存在性问题 2019解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根 一般情况下， 按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边， 那么以斜边为直径画

2、圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）41， 如图，在abc 中，abac10，cosb d、e 为线段 bc 上的两个动点，且 de3（e 在 d5右边），运动初始时 d 和 b 重合，当 e 和 c 重合时运动停止过 e 作 ef/ac 交 ab 于 f，连结 df设 bdx，如果bdf 为直角三角形，求 x 的值2,如图，已知 a、b 是线段 mn 上的两点， mn = 4 ， ma = 1 ， mb 1 以 a 为中心顺时针旋转点m，以 b 为中心逆时针旋转点 n，使 m、n 两点重合成一点 c，构成abc，设 abx，若abc 为直角三角形，求 x 的值直角三角形的存在性问题 20

3、19203,如图，已知在平面直角坐标系中，点 a 的坐标为（-2,0），点 b 是点 a 关于原点的对称点，p 是函数y = 2 (x 0) 图象上的一点，且abp 是直角三角形，求点 p 的坐标x4，如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 a（2，3），与 x 轴交于点 b，且与直线平行（1） 求：直线 l 的函数解析式及点 b 的坐标；（2） 如直线 l 上有一点 m（a，6），过点 m 作 x 轴的垂线，交直线于点 n，在线段 mn 上求一点 p，使pab 是直角三角形，请求出点 p 的坐标5,（2016绍兴） 如图，在矩形 abcd 中，点 o 为坐标原点，点 b 的坐标为（4，3

4、），点 a、c 在坐标轴上，点 p 在 bc 边上，直线 l1：y=2x+3，直线 l2：y=2x3（1） 分别求直线 l1 与 x 轴，直线 l2 与 ab 的交点坐标；（2） 已知点 m 在第一象限，且是直线 l2 上的点，若apm 是等腰直角三角形，求点 m 的坐标；6，（2017达州）如图 1，点 a 坐标为（2，0），以 oa 为边在第一象限内作等边oab，点 c 为 x 轴上一动点，且在点 a 右侧，连接 bc，以 bc 为边在第一象限内作等边bcd，连接 ad 交 bc 于 e（1） 直接回答：obc 与abd 全等吗？试说明：无论点 c 如何移动，ad 始终与 ob 平行；（2

5、） 当点 c 运动到使 ac2=aead 时，如图 2，经过 o、b、c 三点的抛物线为 y1试问：y1 上是否存在动点 p，使bep 为直角三角形且 be 为直角边？若存在，求出点 p 坐标；若不存在，说明理由；（3） 在（2）的条件下，将 y1 沿 x 轴翻折得 y2，设 y1 与 y2 组成的图形为 m，函数 y=x+ m 的图象l 与 m 有公共点试写出：l 与 m 的公共点为 3 个时，m 的取值7，（2017上海）如图，已知o 的半径长为 1，ab、ac 是o 的两条弦，且 ab=ac，bo 的延长线交ac 于点 d，联结 oa、oc（1）求证：oadabd；（2）当ocd 是直角

6、三角形时，求 b、c 两点的距离；（3）记aob、aod、cod的面积分别为 s1、s2、s3，如果 s2 是 s1 和 s3 的比例中项，求od 的长8（2018黄浦区二模）如图，四边形 abcd 中，bcd=d=90，e 是边 ab 的中点已知 ad=1，ab=2（1） 设 bc=x，cd=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2） 当b=70时，求aec 的度数；（3）当ace 为直角三角形时，求边 bc 的长9（2018大庆）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 a、b 两点，b 点坐标为（4，0），与 y 轴交于点 c（0，4）（1）求抛物线的解析式

7、；（2）点 p 在 x 轴下方的抛物线上，过点 p 的直线 yx+m 与直线 bc 交于点 e，与 y 轴交于点 f，求 pe+ef 的最大值；（3）点 d 为抛物线对称轴上一点当bcd 是以 bc 为直角边的直角三角形时，直接写出点 d 的坐标；若bcd 是锐角三角形，直接写出点 d 的纵坐标 n 的取值范围10（2018沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 c1：yax2+bx1 经过点 a（2，1）和点 b（1，1），抛物线 c2：y2x2+x+1，动直线 xt 与抛物线 c1 交于点 n，与抛物线 c2 交于点 m（1）求抛物线 c1 的表达式；（2）直接用含 t 的代数式表示线段

8、mn 的长；（3） 当amn 是以 mn 为直角边的等腰直角三角形时，求 t 的值；（4） 在（3）的条件下，设抛物线 c1 与 y 轴交于点 p，点 m 在 y 轴右侧的抛物线 c2 上，连接 am 交 y 轴于点 k，连接 kn，在平面内有一点 q，连接 kq 和 qn，当 kq1 且knqbnp 时，请直接写出点 q 的坐标直角三角形的存在性问题 2019 答案41， 如图 1-1，在abc 中，abac10，cosb 5 d、e 为线段 bc 上的两个动点，且 de3（e 在 d 右边），运动初始时 d 和 b 重合，当 e 和 c 重合时运动停止过 e 作 ef/ac 交 ab 于

9、f，连结 df设 bdx，如果bdf 为直角三角形，求 x 的值图 1-1【解析】bdf 中，b 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形 bdf 存在两种情况如果把夹b 的两条边用含有 x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了如图 1-2，作 ahbc，垂足为 h，那么 h 是 bc 的中点4在 rtabh 中，ab10，cosb 5 ，所以 bh8所以 bc16bf = bebf = x + 35 (x + 3)由 ef/ac，得 babc ，即 1016 所以 bf 8图 1-2图 1-3图 1-4cos b = bd = 4bd = 4 bf如图 1-3，当bdf90时，由x

10、 = 4 5 (x + 3)解方程58，得 x3bf5 ，得5cos b = bf = 4bf = 4 bd如图 1-4，当bfd90时，由bd5 ，得55 x + 15 = 4 x解方程 885 ， 得x = 757 我们看到，在画示意图时，无须受到abc 的“限制”，只需要取其确定的b2， 如图 2-1，已知 a、b 是线段 mn 上的两点， mn = 4 ， ma = 1 ， mb 1以 a为中心顺时针旋转点 m，以 b 为中心逆时针旋转点 n，使 m、n 两点重合成一点 c，构成abc，设 abx，若abc 为直角三角形，求 x 的值图 2-1【解析】abc 的三边长都可以表示出来，a

11、c1，abx，bc3x 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：若 ac 为斜边，则1 = x 2 + (3 - x) 2 ，即 x 2 - 3x + 4 = 0 ，此方程无实根x = 5若 ab 为斜边，则 x 2 = (3 - x)2 + 1 ，解得3 （如图 2-2）422x =若 bc 为斜边，则(3 - x) = 1+ x ，解得3 （如图 2-3）因此当x = 53 或x = 43 时，abc 是直角三角形图 2-2图 2-33 ，如图 3-1，已知在平面直角坐标系中，点 a 的坐标为（-2, 0），点 b 是点 a 关y = 2 (x 0)于原点的对称点，p 是函数

12、x图象上的一点，且abp 是直角三角形，求点 p的坐标图 3-1【解析】a、b 两点是确定的，以线段 ab 为分类标准，分三种情况如果线段 ab 为直角边，那么过点 a 画 ab 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点 b 画 ab 的垂线，有 1 个交点以 ab 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点由题意，得点 b 的坐标为（2，0），且bap 不可能成为直角如图 3-2，当abp90时，点 p 的坐标为（2，1）方法一：如图 3-3，当apb90时，op 是 rtapb 的斜边上的中

13、线，op22(x,)设 px，由 op24，得4222x +=24x2解得 x = 此时 p(,)图 3-2图 3-3方法二：由勾股定理，得 pa2pb2ab2222 222 22(x +2) + ( ) + (x + 2) + ( ) = 4解方程xx，得 x = 方法三：如图 3-4，由ahpphb，得 ph2ahbh解方程( 2)2x= (x + 2)(2 - x)2，得 x = 图 3-4图 3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x22)20这个四次方22程的解是 x1x2，x3x4 - 于 p、p两点（如图 3-5），它的几何意义就是以 ab 为直径的圆与双曲线

14、相切4，如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 a（2，3），与 x 轴交于点 b，且与直线平行（1） 求：直线 l 的函数解析式及点 b 的坐标；（2） 如直线 l 上有一点 m（a，6），过点 m 作 x 轴的垂线，交直线于点 n，在线段 mn 上求一点 p，使pab 是直角三角形，请求出点 p 的坐标【解答】解：（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0），直线 l 平行于 y=3x k=3，直线 l 经过点 a（2，3），3=23+b，b=9，直线 l 的解析式为 y=3x9，点 b 坐标为（3，0）；（2）点 m（a，6）在直线 l 上，a=1，则可设点 p（1，y），y

15、的取值范围是6y ，当 ab 为斜边时，pa2+pb2=ab2，即 1+（y+3）2+4+y2=10，解得y1=1，y2=2，p（1，1），p（1，2），当 pb 为斜边时，pa2+ab2=pb2，即 1+（y+3）2+10=4+y2，解得 y=， ， 当 pa 为斜边时，pb2+ab2=pa2，即 10+4+y2=1+（y+3）2，解得 y=，（舍去），综上所述，点 p 的坐标为 p1（1，1），p2（1，2），p3 5，（2016绍兴）如图，在矩形 abcd 中，点 o 为坐标原点，点 b 的坐标为（4，3），点 a、c 在坐标轴上，点 p 在 bc 边上，直线 l1：y=2x+3，直线

16、l2：y=2x3（1） 分别求直线 l1 与 x 轴，直线 l2 与 ab 的交点坐标；（2） 已知点 m 在第一象限，且是直线 l2 上的点，若apm 是等腰直角三角形，求点 m的坐标；（3） 我们把直线 l1 和直线 l2 上的点所组成的图形为图形 f已知矩形 anpq 的顶点 n 在图形 f 上，q 是坐标平面内的点，且 n 点的横坐标为 x，请直接写出 x 的取值范围（不用说明理由）【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线 l1 与 x 轴，直线 l2 与 ab 的交点坐标；（2） 分三种情况：若点 a 为直角顶点时，点 m 在第一象限；若点 p 为直角顶点时， 点 m 在第一象

17、限；若点 m 为直角顶点时，点 m 在第一象限；进行讨论可求点 m 的坐标；（3） 根据矩形的性质可求 n 点的横坐标 x 的取值范围【解答】解：（1）直线 l1：当 y=0 时，2x+3=0，x=则直线 l1 与 x 轴坐标为（，0）直线 l2：当 y=3 时，2x3=3，x=3则直线 l2 与 ab 的交点坐标为（3，3）；（2）若点 a 为直角顶点时，点 m 在第一象限，连结 ac，如图 1，apbacb45，apm 不可能是等腰直角三角形，点 m 不存在；若点 p 为直角顶点时，点 m 在第一象限，如图 2，过点 m 作 mncb，交 cb 的延长线于点 n，则 rtabprtpnm，

18、ab=pn=4，mn=bp，设 m（x，2x3），则 mn=x4，2x3=4+3（x4），x=，m（，）；若点 m 为直角顶点时，点 m 在第一象限，如图 3，设 m1（x，2x3），过点 m1 作 m1g1oa，交 bc 于点 h1，则 rtam1g1rtpm1h1，ag1=m1h1=3（2x3），x+3（2x3）=4，x=2 m1（2，1）；设 m2（x，2x3），同理可得 x+2x33=4，x=，m2（，）；综上所述，点 m 的坐标为（，），（2，1），（，）；6，（2017达州）如图 1，点 a 坐标为（2，0），以 oa 为边在第一象限内作等边oab，点 c 为 x 轴上一动点，且在

19、点 a 右侧，连接 bc，以 bc 为边在第一象限内作等边bcd，连接 ad 交 bc 于 e（1） 直接回答：obc 与abd 全等吗？试说明：无论点 c 如何移动，ad 始终与 ob 平行；（2） 当点 c 运动到使 ac2=aead 时，如图 2，经过 o、b、c 三点的抛物线为y1试问：y1 上是否存在动点 p，使bep 为直角三角形且 be 为直角边？若存在，求出点 p 坐标；若不存在，说明理由；（3） 在（2）的条件下，将 y1 沿 x 轴翻折得 y2，设 y1 与 y2 组成的图形为 m， 函数 y=x+m 的图象 l 与 m 有公共点试写出：l 与 m 的公共点为 3 个时，

20、m 的取值 【解答】解：（1）obc 与abd 全等，理由是：如图 1，oab 和bcd 是等边三角形，oba=cbd=60， ob=ab，bc=bd，oba+abc=cbd+abc，即obc=abd，obcabd（sas）；obcabd，bad=boc=60，oba=bad，obad，无论点 c 如何移动，ad 始终与 ob 平行；（2）如图 2，ac2=aead， ，eac=dac，aecacd，eca=adc，bad=bao=60，dac=60，bed=aec，acb=adb，adb=adc，bd=cd，debc，rtabe中，bae=60，abe=30，ae= ab= 2=1，rtae

21、c 中，eac=60，eca=30，ac=2ae=2，c（4，0），等边oab 中，过 b 作 bhx 轴于 h，bh=，b（1，），设 y1 的解析式为：y=ax（x4），把 b（1，）代入得：=a（14）， a=，设 y1 的解析式为：y1=x（x4）=x2+ x，过e 作 egx 轴于g，rtage 中，ae=1，ag=ae= ，eg= =，e（，），设直线 ae 的解析式为：y=kx+b，把 a（2，0）和 e（ ，）代入得：，解得：，直线 ae 的解析式为：y=x2 ，则，解得：，p（3，）或（2，4）；由（2）知：obad，obe=aec=90，obe 是直角三角形，p 在点 o

22、处时，也符合条件，综上所述，点 p 的坐标为：（3，）或（2，4）或（0，0）；（3） 如 图 3， y1=x2+ x= （x2）2+，顶点（2，），抛物线 y2 的顶点为（2，），y2=（x2）2，直线 y=x+ m 和组成图形 m 的抛物线 y1 有两个交点或一个交点或没有交点，抛物线 y2 有两个交点或一个交点或没有交点，要图象 m 和直线 y=x+m 只有 3 个交点，则直线 y=x+ m 和 y1 或 y2 相切，当 y2 与 l 相切时，直线 l 与 y2 只有一个公共点，即：l 与图形 m 有 3 个公共点，则，=，x27x3m=0，=（7）241（3m）=0，m= ，当 y1

23、与 l 相切时，直线 l 与 y1 只有一个公共点，l 与图形 m 有 3 个公共点，x2x+3m=0，=112m=0，m= ，当直线经过（0，0）或（4，0）时，也符合题意，此时 m=0 或4当 l 与 m 的公共点为 3 个时，m 的取值是：m=或 m=或 0 或4【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用数形结合的思想有助于理解题意，解决问题7，（2017上海）如图，已知o 的半径长为 1，ab、ac 是o 的两条弦，且

24、ab=ac，bo 的延长线交 ac 于点 d，联结 oa、oc（1） 求证：oadabd；（2） 当ocd 是直角三角形时，求 b、c 两点的距离；（3） 记aob、aod、cod的面积分别为 s1、s2、s3，如果 s2 是 s1 和 s3的比例中项，求 od 的长【考点】mr：圆的综合题【专题】16 ：压轴题【分析】（1）由aobaoc，推出c=b，由 oa=oc，推出oac=c=b，由ado=adb，即可证明oadabd；（2） 如图 2 中，当ocd 是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；（3） 如图 3 中，作 ohac 于 h，设 od=x想办法用 x 表示 ad、ab、cd， 再

25、证明 ad2=accd，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图 1 中，直角三角形的存在性问题 201922在aob 和aoc 中，aobaoc，c=b，oa=oc，oac=c=b，ado=adb，oadabd（2）如图 2 中，当odc=90时，bdac，oa=oc，ad=dc，ba=bc=ac，abc 是等边三角形， 在 rtoad 中，oa=1，oad=30，od= oa= ，ad=，bc=ac=2ad= cod=90，boc=90，bc= =，ocd 显然90，不需要讨论 综上所述，bc=或（3）如图 3 中，作 ohac 于 h，设 od=xdaodba，=， =，ad=，a

26、b= ，2s2 是 s1 和 s3 的比例中项，s 2=s1s3，s2= adoh，s1=soac= acoh，s3= cdoh，（ adoh）2= acoh cdoh，ad2=accd，ac=abcd=acad=，（）2=（），整理得x2+x1=0，解得 x=或 ， 经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，od= （也可以利用角平分线的性质定理：=，黄金分割点的性质解决这个问题）【点评】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题8（2018黄浦区二模）如图，四边形 abcd 中

27、，bcd=d=90，e 是边 ab的中点已知 ad=1，ab=2（1） 设 bc=x，cd=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；直角三角形的存在性问题 201932（2） 当b=70时，求aec 的度数；（3） 当ace 为直角三角形时，求边 bc 的长【分析】（1）过 a 作 ahbc 于 h，在bah 中，依据勾股定理可得22=y2+（x1）2，进而得出 y=（0x3）；（2）取 cd 中点 t，联结 te，则 te 是梯形中位线，即可得出aed=ade=det=35，由 et 垂直平分 cd，得cet=det=35，即可得到aec=70+35=105；（3）分三种

28、情况讨论：aec=90，cae=90，acedcb=90，利用全等三角形的性质以及相似三角形的性质，即可得到边 bc 的长为 2 或 【解答】解：（1）如图，过 a 作 ahbc 于 h， 由d=bcd=90，得四边形 adch 为矩形，在bah 中，ab=2，bha=90，ah=y，hb=x1，22=y2+（x1）2，则 y=（0x3）；（2）如图，取 cd 中点 t，联结 te，de，则 te 是梯形中位线，etad，etcd，aet=b=70，又 ad=ae=1，aed=ade=det=35，由 et 垂直平分 cd，得cet=det=35，aec=70+35=105；（3）分三种情况讨

29、论：当aec=90时，ce 垂直平分 ab，ca=cb，而 ce=ce，cbecae，d=cea=90，ad=ae=1，ac=ac，caecad，bce= bcd=30，则在 rtabh 中，b=60，而ahb=90，ab=2，bh=1，又矩形 adch 中，ch=ad=1，bc=2；如图，当cae=90时，d=cae，而cad=acb，cdabca，又rtabc 中，ac=，则=，即，解得 x=或 x=（舍去）；易知acedcb=90，故ace 不可能为直角；综上所述，边 bc 的长为 2 或9（2018大庆）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 a、b 两点，b 点坐标为（4，0

30、），与 y 轴交于点 c（0，4）（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 p 在 x 轴下方的抛物线上，过点 p 的直线 yx+m 与直线 bc 交于点 e，与 y 轴交于点 f，求 pe+ef 的最大值；（3） 点 d 为抛物线对称轴上一点当bcd 是以 bc 为直角边的直角三角形时，直接写出点 d 的坐标；若bcd 是锐角三角形，直接写出点 d 的纵坐标 n 的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2） 易得 bc 的解析式为 yx+4，先证明ecf 为等腰直角三角形，作 phy 轴于h，pgy 轴交 bc 于 g，如图 1，则epg 为等腰直角三角形，pepg，设p（t，

31、t24t+3）（1t3），则 g（t，t+3），接着利用 t 表示 pf、pe，所以 pe+ef2pe+pf t2+5 t，然后利用二次函数的性质解决问题；（3） 如图 2，抛物线的对称轴为直线 x点 d 的纵坐标的取值范围由于bcd 是以 bc 为斜边的直角三角形有 4+（y3）2+1+y218，解得y1，y2，得到此时 d 点坐标为（，）或（，），然后结合图形可确定bcd 是锐角三角形时点 d 的纵坐标的取值范围【解答】解：（1）把 b（4，0），c（0，4）代入 yx2+bx+c，得，解得 ，抛物线的解析式为 yx25x+4；（2） 易得 bc 的解析式为 yx+4，直线 yx+m 与直

32、线 yx 平行，直线 yx+4 与直线 yx+m 垂直，cef90，ecf 为等腰直角三角形，作 phy 轴于 h，pgy 轴交 bc 于 g，如图 1，epg 为等腰直角三角形，pepg，设 p（t，t25t+4）（1t4），则 g（t，t+4），pf pht，pgt+4（t25t+4）t2+4t，pe pg t2+2t，pe+efpe+pe+pf2pe+pf t2+4 t+ t t2+5 t（t ）2+ ，当 t时，pe+ef 的最大值为；（3） 如图 2，抛物线的对称轴为直线 x，设 d（，y），则 bc242+4232，dc2（）2+（y4）2，bd2（4）2+y2+y2，当bcd 是

33、以 bc 为直角边，bd 为斜边的直角三角形时，bc2+dc2bd2，即32+（）2+（y4）2+y2，解得 y，此时 d 点坐标为（，）；当bcd 是以 bc 为直角边，cd 为斜边的直角三角形时，bc2+db2dc2，即32+y2（）2+（y4）2，解得 y，此时 d 点坐标为（，）；综上所述，符合条件的点 d 的坐标是（，）或（，）；当bcd 是以 bc 为斜边的直角三角形时，dc2+db2bc2，即（）2+（y4）2+y232，解得 y1，y2，此时 d 点坐标为（，）或（，），所以bcd 是锐角三角形，点 d 的纵坐标的取值范围为n 或n 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握

34、等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题10（2018沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 c1：yax2+bx1 经过点 a（2，1）和点 b（1，1），抛物线 c2：y2x2+x+1，动直线 xt 与抛物线 c1交于点 n，与抛物线 c2 交于点 m（1）求抛物线 c1 的表达式；（2） 直接用含 t 的代数式表示线段 mn 的长；（3） 当amn 是以 mn 为直角边的等腰直角三角形时，求 t 的值；（4） 在（3）的条件下，

35、设抛物线 c1 与 y 轴交于点 p，点 m 在 y 轴右侧的抛物线 c2 上， 连接 am 交 y 轴于点 k，连接 kn，在平面内有一点 q，连接 kq 和 qn，当 kq1 且knqbnp 时，请直接写出点 q 的坐标【分析】（1）应用待定系数法；（2） 把 xt 带入函数关系式相减；（3） 根据图形分别讨论anm90、amn90时的情况（4） 根据题意画出满足条件图形，可以找到 an 为knp 对称轴，由对称性找到第一个满足条件 q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点利用勾股定理进行计算【解答】解：（1）抛物线 c1：yax2+bx1 经过点 a（2，1）和点 b（1，1） 解得： 抛物线 c1：解析式为 yx2+x1（2） 动直线 xt 与抛物线 c1 交于点 n，与抛物线 c2 交于点 m点 n 的纵坐标为 t2+t1，点 m 的纵坐标为 2t2+t+1mn（2t2+t+1）（t2+t1）t2+2（3） 共分两种情况当anm90，anmn 时，由已知 n（t，t2+t1），a（2，1）ant（2）t+2mnt2+2t2+2t+2t10（舍去），t2