立体几何线线垂直专题(史上最全)分析

1、立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法： 例1、（等腰三角形三线合一）如图

2、，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD = BD，E是AB的中点。求证：（1）AB _平面CDE;（2）平面CDE _平面ABC 证明：（1）AE：C卜 ce丄ab 同理，AD：BDF de丄ab又CE - DE 二 EAB _ 平面 CDE(2)由(1)有AB 平面CDE又 AB 平面ABC，.平面CDE _平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P-ABCD的底面是菱 形.PB =PD，E为PA的中点.（I）求证：PC /平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC _平 面 BDE .C例3、（线线、线面垂直相互转化）已知. ABC中.ACB = 90

3、 ,SA _面ABC , AD _ SC,求证：AD _面 SBC .证明：v . ACB =90 . BC_ AC又 SA_面 ABC SA_ B CBC _ 面 SAC.BC _ AD 又 SC _ ADSC - BC =C ad 面 SBCCB例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直 径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA二AC，点E是线段PC的中点.求证:AE _ 平面 PBC .证明：v PA_|_O所在平面，BC是L O的弦，二BC_PA.又v AB是L O的直径， ACB是直径所对的圆周角，BC _ AC .v PA门AC二代

4、PA 平面PAC，AC 平面PAC . BC _ 平面 PAC， AE 平面 PAC， AE _ BC .v PA二AC，点E是线段PC的中点. AE _ PC .v PC|BC =C , PC 平面 PBC， BC 平面 PBC . AE _ 平面 PBC .ABCD是等腰梯形，AB / CD，例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB= 60, AE丄 BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED;证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60，所以/ ADC = / BCD = 120.又 CB = CD，所以/ CDB =

5、30,因此/ ADB = 90，即AD 丄 BD.B又 AE 丄 BD，且 AEG AD = A，AE，AD?平面 AED，所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中， ABC为等腰直角三角形，/ BAC = 90且AB= AAi, D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：（1）DE /平面 ABC; （2）BiF丄平面 AEF.Ai例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC B D丄A C. AC为AiC在平面AC上的射影DiCiACBD_AQAQ丄平面BCiD同理可

6、证AC_BCi练习；i、 如图在三棱锥 P ABC中，AB = AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线段AD上.证明：APIBC;7Dli12、直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC= BC= qAAl, D是棱AAi的中点，DCi丄BD.证明：DCBC。3.如图，平行四边形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD = 4将 CBD沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE; (2)求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱 ABC - AB1G中，若AB=2，AA1 =1，求点A到平面ABC的距离。5、如图所示，在四棱锥P A

7、BCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)CD丄PD;(2) EF丄平面PCD.6、如图7-5-9(1)，在RtAABC中，/ C = 90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到 AiDE的位置，使AiF丄CD，如图.(1)求证：DE/平面 AiCB.求证：AiF丄BE.线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?说明理由.立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中

8、的另一条2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法： 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC二AC,AD二BD，E是AB 的中点。求证：（1）AB 一平面CDE;（2）平面CDE 一平面ABC。、沖 / 八 BC=ACAD=B

9、D证明：（1）=CE_AB 同理，=DE _ ABAE=BEJAE = BEJ又CE 一 DE =EAB _平面 CDE（2）由（1）有AB 平面CDE又AB 平面ABC，.平面CDE _平面ABCC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 形.PB二PD，E为PA的中点.（I）求证:P - ABCD的底面是菱AB平面BDE .CB例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC中.ACB二90，SA _面ABC , AD 一 SC,求证：AD -证明：丁 ACB =90 . BC_ AC又 SA_面 ABC SA_ B CBC _ 面 SAC.BC _ AD 又 SC _ A

10、DSC 一 BC =C ad 面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA = AC，点E是线段PC的中点.求证:BAE _ 平面 PBC .证明： PA_|_O所在平面，BC是L O的弦，二BC_PA.又 AB是L O的直径， ACB是直径所对的圆周角，BC _ AC .v PAAC = A, PA 平面 PAC，AC 平面 PAC . BC _ 平面 PAC，AE 平面 PAC， AE _ BC .v PA =AC，点E是线段PC的中点. AE _ PC .v PC “BC =C , PC 平

11、面 PBC， BC 平面 PBC . AE _ 平面 PBC .ABCD是等腰梯形，AB / CD，例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB= 60, AE丄 BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED;证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60，所以/ ADC =/ BCD = 120又 CB = CD，所以/ CDB = 30,因此/ ADB = 90, 即AD 丄 BD.又 AE 丄 BD, 且 AEG AD = A, AE, AD?平面 AED, 所以BD丄平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已

12、知直三棱柱ABCA1B1C1中， ABC为等腰直角三角形，/ BAC = 90且AB= AA1, D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：（1）DE /平面 ABC; （2）B1F丄平面 AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，A1C丄平面BC1D证明：连结AC B D丄A C. AC为A1C在平面AC上的射影BD_AQAQ丄平面BC1D同理可证AQ BG练习;1、 如图在三棱锥 P ABC中，AB = AC, D为BC的中点，PO丄平 面ABC,垂足O落在线段AD上.证明：AP丄BC;912、直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC= BC = q

13、AAl, D 是棱 AAi 的中点，DCBD.(1)证明：DCi丄BC;证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点，故DC = DC1.1 2 2 2又 AC = 2AA1,可得 DC2+ DC2 = CC2,所以 DC1JDC.又 DC1JBD，DC A BD = D，所以 DC1 丄平面BCD.因为BC?平面BCD，所以DC11BC.3.如图，平行四边形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD = 4将 CBD沿BD折起到 EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE;(2) 求三棱锥EABD的侧面积.(1)证明：在ABD中，AB = 2，

14、AD = 4,/DAB= 60设F为AD边的中点，连接FB,ZAFB= 60又DF = BF = 2 ,二FD为等腰三角形.FDB = 30 故/ABD= 90.ABJBD.又平面EBD丄平面ABD,平面EBD G平面ABD = BD, AB?平面ABD,AB丄平面EBD.DE?平面 EBD,/ABJDE.(2)【解析】 由(1)知 ABJBD,.CD/AB,.QD!BD，从而 DE JBD.1在 RtQBE 中，TDB = 2 3, DE = DC = AB = 2,Sadbe=DB DE= 2 3.AB丄平面EBD, BE?平面 EBD,/ABJBE. iBE= BC = AD = 4,1

15、Szabe = 2AB BE= 4DE JBD ,平面 EBD丄平面ABD, /ED 丄平面ABD.而 AD?平面 ABD ,1ED 1AD ,Smde = qAD DE= 4.综上，三棱锥 EABD 的侧面积 S= 8 + 2.3.4、在正三棱柱 ABC - A1B1G中，若AB=2 , AA =1，求点A到平面 ABC的距离。D6如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)CD丄PD;(2)EF丄平面PCD.证明 PA丄底面ABCD, CD丄FA.又矩形 ABCD 中，CD丄 AD, 且 AD A PA=A, CD 丄平面 PAD

16、, CD 丄 PD.取PD的中点G,连接AG, FG.又 G、F分别是PD、PC的中点，1 GF綊2CD, GF綊AE, 四边形AEFG是平行四边形， AG / EF. PA=AD, G 是 PD 的中点， AG丄 PD, EF 丄PD,V CD 丄平面 PAD , AG 平面 PAD. / CD 丄AG. a EF丄CD. PD A CD = D, a EF 丄平面 PCD.6、如图7-5-9(1)，在RtAABC中，/ C = 90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到 AiDE的位置，使AiF丄CD，如图.(1) 求证：DE/平面 AiCB.求证：AiF丄BE.(3)线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?说明理由.【规范解答】 (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE / BC.2分又因为DE?平面AiCB，所以DE /平面AiCB.4分(2) 由已知得AC丄BC且DE / BC，所以DE丄AC.所以DE丄AiD，DE丄CD.所以DE丄平面AiDC.6分又AiF?平面AiDC，所以DE丄AiF.又因为 AiFdC