等腰三角形练习题及答案

1、等腰三角形典型例题练习一. 选择题（共2小题）1.如图，/ C=90 , AD平分/ BAC交 BC于 D,若 BC=5cm BD=3cm 则点 D到AB的距离为（）A. 5cm B. 3cmC. 2cmD.不能确定2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC BC为边 并且在 AB的同一侧作等边厶ACD和等边 BCE连接 AE交CD于 M,连接BD 交CE于N.给出以下三个结论： AE=BD CN=CM MN/ AB其中正确结论的个数是（）C BA.0B. 1C.2D.3二. 填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中, D E, F分别是BC AC AB上的点，DE

2、L ACEF AB FDL BC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于 .三. 解答题（共15小题）4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB AC上的点，且/ EDFV EAF=180，求证5.在 ABC中，/ ABC / ACB的平分线相交于点 0,过点0作DE/ BC分别交AB AC于点D、E.请说明 DE=BD+ECBC6.已知：如图， D是厶ABC的BC边上的中点，DEL AB DF丄AC,垂足分 别为E, F,且DE=DF请判断 ABC是什么三角形？并说明理由.7 .如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD连 接DE(1) ZE

3、等于多少度？(2) A DBE是什么三角形？为什么？&如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CD是AB边上的高，/ A=30.求证:9.如图， ABC中，AB=AC点 D E分别在 AB AC的延长线上，且 BD=CEDE与BC相交于点F.求证：DF=EF10.已知等腰直角三角形 ABC BC是斜边./B的角平分线交 AC于D过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE11.( 2012?牡丹江)如图， ABC中.AB=AC P为底边 BC上一点，PEL AB PF丄AC CHL AB垂足分别为 E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接AP. PEI AB

4、PFL AC CHL ABS sb尸丄AB?PE Sacf=1AC?PF , Ssb=AB?CH2 2 ? 2又 TS abf+Sa ac=Saabc,丄AB?PE+AC?PF=AB?CH2 2 2 AB=AC PE+PF=C.H(1) 如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2) 填空：若/ A=30,A ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高CH=.点P到12.数学课上，李老师出示了如下的题目:“在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED

5、=EC 如图，试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接 写出结论：AEDB （填“”，“V” 或“二”）.（2）特例启发，解答题目解:题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“”，“V”或“二”）.理由如下：如图2,过点E作EF/ BC交AC于点F.（请你完成 以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC 若 ABC的边长为1, AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）.13.已知：如图

6、， AF平分/ BAC BCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点 P在CF上，连接 PB交AF于点M.若/ BAC=Z MPC请你判断/F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.14.如图，已知 ABC是等边三角形， 点D、E分别在BC AC边上，且AE=CDAD与BE相交于点F.(1) 线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2) 求/ BFD的度数.15 .如图，在 ABC中，AB=BC / ABC=90 , F为AB延长线上一点，点 E在 BC上, BE=BF 连接 AE、EF和 CF,求证：AE=CFB 16 .已知：如图，在厶 OAB中，/ AOB=90 , OA=OB在厶

7、EOF中，/ EOF=90 ,OE=OF连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.17. （2006?郴州）如图，在 ABC中，AB=AC D是BC上任意一点，过 D分 别向AB, AC引垂线，垂足分别为 E, F, CG是AB边上的高.（1）DE DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2） 若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在 怎样的关系？请说明理由.18.如图甲所示，在 ABC中，AB=AC在底边BC上有任意一点P，贝U P点 到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD PE

8、和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜 想并加以证明.等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一. 选择题（共2小题）1.如图，/ C=90， AD平分/ BAC交 BC于 D,若 BC=5cm BD=3cm 则点 D到AB的距离为（）A. 5cmB. 3cmC. 2cmD.不能确定考点： 角平分线的性质.1418944分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解.解答：解：/ C=90 , AD平分/ BAC交 BC于 DD到AB的距离即为 CD长CD=5- 3=2故选C.,分别以AC BC为边2.如图，已知C是线段AB上的任意

9、一点（端点除外）并且在AB的同一侧作等边AACD和等边 BCE连接AE交CD于 M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论：AE=BCN=CMN/ AB 其中正确结论的个数是（）DA.0B. 1C.2D.3考占.平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.1418944分析：由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据 SAS易证得 ACEA DCB 即可得正确；由厶ACEA DCB可得/ EACh NDC又由/ ACDh MCN=6 ,利用ASA可证得 ACIWA DCN 即可得正 确；又可证得厶CMN是等边三角形，即可证得正确.解答：解： ACD和厶 BCE是等边三角形,/ AC

10、Dh BCE=60 , AC=DC EC=BC/ ACD# DCEh DCEh ECB 即/ ACEh DCBACWA DCB(SAS, AE=BD故正确；/ EAC# NDC I/ ACD# BCE=60 ,:丄 DCE=60 ,/ ACD# MCN=6 , AC=DCACIW DCN( ASA),二 CM=CN 故正确；又# MCN=18 -# MCA# NCB=180 - 60-60 =60 , CMN是等边三角形,# NMC#ACD=60 ,/. MIN/ AB 故正确.故选D.二. 填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是BC, AC, AB上的点，DE

11、LAQEF丄AB FDL BC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于 1: 3.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.1418944分析：首先根据题意求得：/ DFE艺FED艺EDF=60，即可证得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一 半，得到边的关系，即可求得DF: AB=1:;,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解答： 解： ABC是正三角形，/ B=Z C=Z A=60,DEL AC EF AB FD丄 BC :丄 AFE玄 CEDh BDF=90 ,/ BFD=/ CDEh AEF=30 , a/ DF

12、E=/ FED艺 EDF=60 , 匹 BF 1 DEF是正三角形，a BD DF=1:循，BD AB=1 : 3， DEFA ABC + ，4 = -；,a DF: AB=1 : ；， DEF的面积与厶 ABC 的面 DF积之比等于1: 3.故答案为：1: 3.三. 解答题（共15小题）4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB AC上的点，且/ EDFV EAF=180，求证DE=DF考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义.1418944分析：过D作DMLAB于M DNLAC于N,根据角平分线性质求出 DN=DM根据四边形的内角和定理和平角定义求出/ AEDh CF

13、D 根据全等 三角形的判定 AAS推出 EMS FND即可.解答：证明：过D作DML AB于M DNL AC于N,A即/ EMDMFND=90 , AD平分/ BAC DMLAB DNLAC /. DM=DN角平分线性质）/ DMEMDNF=90 ,/ EAF+Z EDF=180 , a/ MEDAFD=360 - 180 =180,/ AFD/ NFD=180 ,/ med/nfd在厶EMDH FND中rZMED=ZDFN* ZDME二NDNF , EMDA FND a DE=DFm二 dn5.在 ABC中，/ ABC / ACB的平分线相交于点 O,过点O作DE/ BQ分别交AB AC于点

14、D、E.请说明 DE=BD+EC考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.1418944分析： 根据0B和0C分别平分/ ABC和/ACB和DE/ BQ利用两直线平 行，内错角相等和等量代换，求证出 DB=DO OE=EC然后即可得 出答案.解答： 解：在 ABC中，0B和0C分别平分/ ABC和/ACB/ DBOM OBC / ECOh OCBDE/ BC / DOBh OBCh DBO / EOCh OCBh ECO DB=DO OE=EC DE=DO+OE. DE=BD+EC6.已知：如图， D是厶ABC的BC边上的中点，DEI AB DF丄AC 垂足分 别为E , F ,且DE=DF

15、请判断 ABC是什么三角形？并说明理由.考占：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.1418944分析：用（HL）证明 EBDA FCD从而得出h EBDh FCD即可证明 ABC是等腰三角形.解答： ABC是等腰三角形.证明：连接 AD, T DEI AB DF丄 AC /-Z BEDh CFD=90，且DE=DFD是厶ABC的BC边上的中点，/ BD=DC Rt EBDRt FCD( HL) , /Z EBDZ FCD / ABC 是等腰三角形.7.如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE（1）ZE等于多少度？ （ 2）A DBE是什么三角形？

16、为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定.1418944分析： （1）由题意可推出Z ACB=60 , Z E=Z CDE然后根据三角形外角的性质可知：Z ACBZ E+Z CDE即可推出ZE的度数；（2）根据等边三角形的性质可知， BD不但为AC边上的高，也是 Z ABC的角平分线，即得：Z DBC=30 ,然后再结合（1）中求得 的结论，即可推出 DBE是等腰三角形.解答： 解：（1）v ABC是等边三角形，/Z ACB=60 ,CD=CE / E=z CDE / ACBh E+Z CDE.=二丄二二汀二，(2)v ABC是等边三角形，BDL ACABC=60 , 一二一一一匕一

17、：,Z E=30,.Z DBCZ , DBE 是等腰三角形.&如图，在 ABC中，Z ACB=90 , CD是AB边上的高，Z A=30.求证:AB=4BD考点：含30度角的直角三角形.1418944分析： 由厶ABC中，Z ACB=90 , Z A=30可以推出 AB=2BC同理可得BC=2BD则结论即可证明.解答： 解：/ ACB=90 , Z A=30,. AB=2BCZ B=60.又 CDL AB / DCB=30 , BC=2BD. AB=2BC=4BD9.如图， ABC中，AB=AC点 D E分别在 AB AC的延长线上，且 BD=CEDE与BC相交于点F.求证：DF=EF考占.分

18、析:解答:全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944过D点作DG/ AE交BC于G点，由平行线的性质得/ 仁/2,/ 4=2 3,再根据等腰三角形的性质可得/ B=Z 2,则/ B=Z 1,于 是有DB=DG根据全等三角形的判定易得 DF9A EFC即可得 到结论.证明：过D点作DG/ AE交BC于G点，如图，2 1=2 2,2 4=2 3, AB=AC.2 B=22,.2 B=2 1 , DB=DG而 BD=CE DG=CE 在厶DFG和厶EFC中fZ4=Z3 ZDFG=ZEFC , DFG EFC DF=EFDG=CE10.已知等腰直角三角形 ABC BC是斜边.2B的角平分

19、线交 AC于D过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE考占：全等三角形的判定与性质.1418944分析：延长CE, BA交于点F,由已知条件可证得 BFE全BEC所以FE=EC即CF=2CE再通过证明 ADBA FAC可得FC=BD所 以 BD=2CE解答：证明：如图,分别延长 CE BA交于一点F. BE! EC /FEB玄 CEB=90 , / BE 平分/ ABC, a / FBE玄 CBE又 BE=BEaA BFEA BCE ( ASA.FE=CEa CF=2CE AB=ACZ BAC=90，/ ABD-Z ADB=90，/ ADB/ EDC/ ABD/ EDC=90

20、 .又/ DEC=90 , Z EDC/ ECD=90 , a/ FCAZ DBCZ ABD11.( 2012?牡丹江)如图， ABC中.AB=AC P为底边 BC上一点，PEI AB PF! AC CH! AB垂足分别为 E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接AP. PEI AB PF! AC CHL AB aS abpAB?PE, Ssc=AC?PF, Ssb(=AB?CH 又 TS abf+Saacf=Saabc, a 丄ab?pe+ac?pf=ab?ch戈22 AB=ACA pe+pf=c.h(1)如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样

21、的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30,A ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，贝U AB边上的高CH= 7 .点P到AB边的考占.等腰三角形的性质；三角形的面积.1418944分析：(1) 连接AP.先根据三角形的面积公式分别表示出SABP, SaACP,Saabc,再由 SabP=Sacp+Sabc即可得出 PE=PF+PH(2) 先根据直角三角形的性质得出AC=2CH再由 ABC的面积为49,求出CH=7由于CHPF,则可分两种情况进行讨论：P为底边BC上一点，运用结论 PE+PF=CHP为BC延长线上的点时， 运用

22、结论PE=PF+CH解答：解：(1)如图，PE=PF+CH证明如下：v PEI AB PF丄 AC CHL AB /-S abPAB?PE, Sk=AC?PF, Sab(=-AB?CHvs abP=Sacp+Sabc, AB?PE=AC?PF+AB?CH 又v AB=AC PE=PF+C；(2)v在厶 ACH中，/ A=30,. AC=2CHVS ab(=AB?CH AB=AC 护2CH?CH=49 /. CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图. PE+PF=C, PE=CH PF=7 3=4;P为BC延长线上的点时，如图.7; 4 或 10.12.数学课上，李老师出示了如下的题目：“在

23、等边三角形 ABC中,点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC 如图，试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接 写出结论：AE = DB （填“”，“V” 或“二”）.（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB （填“”，“V”或“二”）.理由如下：如图2,过点E作EF/ BC交AC于点F.（请你完成以 下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若

24、ABC的边长为1, AE=2,求CD的长(请你直接写出结固1考占.等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判 定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析：(1) 根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出Z D=Z ECB=30，求出 Z DEB=30，求出 BD=BE即可；(2) 过E作EF/ BC交AC于F,求出等边三角形 AEF；证厶DEB 和厶ECF全等，求出 BD=EF即可；(3) 当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出 CD=3当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出 CD=1.解答：解：(1)故答案为：=.(2)过 E 作 EF/ BC

25、交 AC于 F,等边三角形 ABCABCh ACBh A=60, AB=AC=BC/ AEF玄 ABC=60，/ AFE玄 ACB=60，即/ AEF玄 AFE玄 A=60, AEF 是等边三角形， AE=EF=AJF/ ABCh ACBh AFE=60 , a/ DBEh EFC=120 ,/ D+Z BED/ FCE/ ECD=60 ,vDE=EC / D=Z ECDBEDh ECF DEB和 ECF 中If deb 二 ZECFZDBE=ZEFC , DEBA ECF 二 BD=EF=AE 即 AE=BD 故答案为:DE 二 CE(3)解:CD=1 或 3,理由是：分为两种情况：如图过A

26、作AML BC于 M 过E作ENL BC于N,贝U AM/ EM ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=1 AML BC BM=CM=BC=, v DE=CE ENL BC CD=2CN AIM/ ENAMBA ENB 1AB= 1= ：BE-1 Bbl CD=2CN=3如图2,作AMLBC于 M 过E作ENLBC于N, 贝y AIM/ EM ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=1v AML BC BM=CM=BC= , / DE=CE ENL BC CD=2CN2 MN=1 CN=二三,2 2 CD=2CN=113.已知：如图， AF平分/ BAC BCLAF于点E,点D在AF上，

27、ED=EA点P在CF上，连接 PB交AF于点M.若/ BAC=Z MPC请你判断/F 与/ MCD考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD 推出/ CDA/ CAD/ CPM 求出/ MPF/ CDM/ PMF/ BMA/ CMD在厶DCM和 PMF中根据三角形的内角和定 理求出即可.解答： 解：/ F=/ MCD理由是： AF 平分/ BAC BCL AF,./ CAE/ BAE/ AEC/ AEB=90 ,在厶ACE和厶ABE中rZAEC=ZAEB陋二姬，二 ACEAABE( ASA / AB=A

28、CtZCAE=ZBAE/ CAEh CDE. AM 是 BC的垂直平分线，二 CM=BJM CE=BE/ CMAM BMA AE=ED CEL AD AC=CD :丄 CADh CDA/ BAC=h MPC 又/ BAC=h CAD/ MPChCAD / MPChCDA :丄 MPFh CDM/ MPFh CDM（等角的补角相等）,/ DCMhCMDhCDM=18 , / F+/ MPFh PMF=180 , 又/ PMFh BMAhCMD：/ MCDh F.14.如图，已知 ABC是等边三角形， 点D、E分别在BC AC边上，且AE=CDAD与BE相交于点F.（1）线段AD与BE有什么关系？

29、试证明你的结论.（2）求/ BFD的度数.考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.1418944分析： (1)根据等边三角形的性质可知/ BACh C=60 , AB=CA结合AE=CD可证明 ABEACAD从而证得结论；(2)根据/ BFDh ABEh BAD h ABEh CAD 可知h BFDh CADh BADh BAC=60 .解答： (1)证明： ABC为等边三角形，/ BACh C=60 , AB=CA在厶ABE和厶CAD中,AB 二 AC-卩-IABE=CADAD=BEAE 二 CD(2)解：I / BFD艺 ABE亡 BAD又 ABEA CAD/ ABE/ CAD /

30、 BFD/ CAD/ BAD/ BAC=60 .15 .如图，在 ABC中，AB=BC / ABC=90 , F为AB延长线上一点，点 E在 BC上, BE=BF 连接 AE、EF和 CF,求证：AE=CFB F考占.全等三角形的判定与性质.1418944分析：根据已知利用 SAS即可判定厶ABEACBF根据全等三角形的对 应边相等即可得到 AE=CF解答：证明：T/ ABC=90 ,./ ABE/ CBF=90 ,又 AB=BC BE=BF . ABEA CBF( SAS. . AE=CF16 .已知：如图，在厶 OAB中，/ AOB=90 , OA=OB在厶 EOF中，/ EOF=90 ,

31、OE=OF连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.1418944分析：可以把要证明相等的线段 AE, CF放到 AEO BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得 AO=BO OE=OF再找夹角相等， 这两个夹角都是直角减去/ BOE的结果，当然相等了，由此可以 证明 AE3A BFO延长 BF交AE于D,交0A于C,可证明/ BDAh AOB=90，贝U AE1 BF.解答： 解：AE与BF相等且垂直，理由：在厶AEO与厶BFO中， Rt OAB与 Rt OEF等腰直角三角形，二 AO=OB OE=OF/ AOE=90 -Z BOEh BOF AEOA BFO 二 AE=BF延长BF交AE于D,交OA于