导数及其应用(王云林)

1、导数及其应用教学指导意见解读,人教A版(理)选修2-2第一章 (文)选修1-1第三章,当湖高级中学 王云林,2008年2月,一)教育价值,促进学生全面认识数学的价值 使学生对变量数学的思想方法 有新的感受 发展高中学生的思维能力 为进一步学习打好基础,二)内容定位,强调对数学本质的认识 （1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值 （2）导数的运算不宜要求过高 全面体现数学的价值(包括应用价值) ,注重导数在研究函数和生活实践中的应用 关注数学文化,三)内容结构 在本章中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函

2、数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过本章的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值,四)课标要求,1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵,通过函数图象直观地理解导数的几何意义,2）导数的运算 能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2 ,y=x3 ,y=x-1 ,y= 的导数。理解y=c,y=x,y=x2几何意义 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单

3、函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数。 会使用导数公式表,3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间,结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,4）生活中的优化问题举例。 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如

4、求曲边梯形的面积、变力做功等），从 问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定 积分的基本思想，初步了解定积分的概念。 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义,五、文理科教学内容与要求比较 1、课时分配 理科(24课时)： 1.1 变化率与导数 约4课时 1.2 导数的计算 约4课时 1.3 导数在研究函数中的应用 约3课时 1.4 生活中的优化问题举例 约4课时 1.5 定积分的概念 约4课时 1.6 微积分基本定理 约2课时 1.7 定积分的简单应用 约2课时 小结 约1课时,文科（16课时）： 3.1 变化率与导数 约4课时 3.2

5、 导数的计算 约3课时 3.3 导数在研究函数中的应用 约3课时 3.4 生活中的优化问题举例 约4课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时,2、文科理科内容相同要求不同的地方有：1.3导数在研究函数中的应用一节中，理科还要求体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 3、理科比文科增加的地方主要有：在导数的运算中，能根据导数定义求函数y= x3,y= 的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的导数；定积分的概念、微积分基本定理及定积分的简单应用,六、新旧教材处理方式的变化 与大纲相比，(理科)教学内容与要求上的新变化 1、内容编排上的变化 内容 删去极限；增加生活中的优化问题

6、举例；定积分 的概念；微积分基本定理；定积分的简单应用;实习作业. 编排 大纲教材从切线斜率和瞬时速度引入导数的概念. 课标教材按照平均变化率、瞬时变化率、导数的概念、导数的几何意义这样的顺序，用形象直观的“逼近”方法定义导数概念,2、教学理念上的变化 更加突出概念的本质 例如 “导数概念”的处理： 通过研究“气球膨胀率”和“高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”等实例，让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，从而抽象出导数概念,更加重视导数的几何意义，以及用导数的几何意义解决相关问题； 更加强化通过函数图象认识概念、理解导数的应用和研究问题的价值； 更加

7、注重导数和定积分的实际应用； 用导数处理切线问题；用导数研究函数；用导数处理生活中的优化问题.并通过与初等方法比较，让学生感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性；定积分在几何中和物理中的应用,更加关注导数和积分概念产生的实际背景、算法思想的渗透，以及与信息技术的整合； 更加淡化计算，把导数和积分不仅作为一种规则学习，更作为一种重要的思想、方法来学习,3、教学要求上的变化,要求降低的有:弱化导数的形式化定义；削弱求导数的计算难度，仅限于求简单函数以及形如f(ax+b)复合函数的导数； 要求提高的有：对导数在研究函数中的应用，以及在解决实际问题中的应用要求具体且较高。 要求增加的有：定积分

8、的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用和实习作业,七、教学建议,1、注重导数和定积分概念的形成过程 导数概念的形成过程教学设计案例： 问题情境(高台跳水问题)运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 用运动员在某些时间段内的平均速度描述运动状态，那么,如何求运动员的瞬时速度,如何计算2秒附近某段时间间隔内的平均速度,当t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ t=2s时的瞬时速度是多少？ 运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢,函数 在 处的瞬时变化率怎样表示？ (类比上面问题得出结论，并抽象出导数的概念。,导数

9、几何意义的形成过程教学设计案例,问题1：函数f（x）在 x0处的导数 f(x0）的意义是什么？能否用图象表示导数f(x0） ,问题2：当点Pn(xn,f(xn) 沿着曲线f（x）趋近于点 P(x0,f(x0)时，割线PPn 的变化 趋势是什么,问题3：怎样理解在点P附近，曲线f（x）可以用过点P的切线PT近似代替,问题4：怎样描述、比较已知曲线f（x）在某些点附近的变化情况,问题5：怎样估计已知曲线f（x）上某些点处的瞬时变化率,2、认真引导学生用定义推导5个初等函数的导数公式，并重视其推导过程； 3、以问题为载体，按照“问题情境抽象概括建立模型求解模型解释问题应用拓展”的程序，让学生经历建模的过程； 4、