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文档简介
1、二次函数的综合应用讲与练知识点:一、 直线与抛物线的交点一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bx c a 0 的图像 G 的交点,由方程组ykxn的解的数目来确定:yax2bx c( 1)方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点( 2)方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点( 3)方程组无解时l 与 G 没有交点二、抛物线与坐标轴的交点( 1)与 y 轴的交点为( 0,c ) .令 x 0, y c( 2)与 x 轴的交点:二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、 x2 ,是对应一元二次方程 ax 2bx c0的两个实数根 .求根公
2、式强化记忆xbb24ac“ =2a” .韦“达定理 ”(根与系数关系)并且二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点A,B 间距离AB= x1x2 =a( 3)抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x 轴相交有一个交点(顶点在x 轴上)0抛物线与 x 轴相切;没有交点0抛物线与x 轴相离 .【例 1】已知抛物线y4x2 与直线 ykx1 有唯一交点,求k 的值 .【变式 1】抛物线 yx22k1 xk2k 求证: 此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.【例 2】如图,小明的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴
3、绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1 米的小明距较0.5米2.5 米第 1页1 米2 米例 1 图近的那棵树0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米【变式 2】某广告公司设计一幅周长为12 米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000 元,设矩形的边长为 x,面积为 S 平方米 .( 1)求出 S 与 x 之间的函数关系式;( 2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个设计费用;( 3)为了使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少 ?(精确到元)(参考:当矩形的长是宽与(长宽)的比例中项
4、时,这样的矩形叫做黄金矩形,5 2.236)【例 3】在直角坐标平面内,二次函数图像的顶点为A(1, 4) ,且过点 B(3,0) ( 1) 求该二次函数的解析式;( 2 ) 将该二次函数图像向右平移几个单位,可使平移后所得图像经过坐标原点?并直接写出平移后所得图像与 x 轴的另一个交点的坐标【变式 3】已知二次函数图象的对称轴平行于y 轴,顶点为1,2,且与直线 y2 x k 相交于 (2 , 1) ,试求:(1)二次函数的解析式;(2) k 的值;(3)该二次函数的图象与直线y 2xk 的另一交点的坐标【例 4】如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点二次函数yx2bx3 的图像经过点 A( 1,0) ,顶点为 B ( 1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点B 的坐标;( 2)如果点 C 的坐标为 (4,0) , AEBC ,垂足为点 E ,点 D 在直线 AE 上, DE 1 ,求点 D 的坐标【变式 4】已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y x2 bx c 过点(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;1yA( 4,0)、 B( 1,3) .A(2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P( m,n)在
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