(整理)高中函数值域的求法(最新整理)

1、高中函数值域的求法题型一求函数值：特别是分段函数求值1例 1已知 f(x) (xr，且 x1)，g(x)x22(xr).1x(1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 fg(3)的值.111解(1)f(x) ，f(2) .1x又g(x)x22，g(2)2226.123(2)g(3)32211，fg(3)f(11)11 .11112反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与 gf(x)的区别.x1跟踪训练 4已知函数 f(x) .(1)求 f(2)；(2)求 ff(1).x1

2、x2213解(1)f(x) ，f(2) .x222421121235(2)f(1) ，ff(1)f( ) .1233282 35. 已知函数 f(x)x2x1.1(1)求 f(2)，f(x)；(2)若 f(x)5，求 x 的值.解(1)f(2)22215，1111xx2f( ) 1.xx2xx2(2)f(x)x2x15，x2x60，x2，或 x3. (3)4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x1)f(x)1，f(0)1，则 f(5).答案6解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13， f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.二、值域是函数 y=f(x

3、)中 y 的取值范围。常用的求值域的方法： （1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 r，值域为 r；y = k (k 0)反比例函数x的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c(a 0) 的定义域为 r，(4ac - b 2 )y | y y | y (4ac -

4、 b 2 )当 a0 时，值域为4a；当 a0， y = x +1 = (x- 1 )2 + 2 2 ，当 x0 时，则当 x = - b2a当 a0）时或最大值（a0）时，再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大（小）值.若 x0 a,b,则a,b是在 f (x) 的单调区间内，只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.2 - 3x练习：1、求函数 y=3+的值域2 - 3x2 - 3x解：由算术平方根的性质，知0，故 3+

5、3。函数的值域为3,+).2、求函数 y = x 2 - 2x + 5, x 0,5的值域解： q对称轴x = 10,5 x = 1时 , ymin = 4x = 5时, ymax = 20值域为 4,201 单调性法1- 3x例 3求函数 y=4x(x1/3)的值域。1- 3x设 f(x)=4x,g(x)= ,(x 1/3),易 知 它 们 在 定 义 域 内 为 增 函 数 ， 从 而1- 3xy=f(x)+g(x)=4x-在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，

6、或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。4 - x练习：求函数 y=3+的值域。(答案：y|y3)2 换元法1 - x例 4求函数 y = x + 2的值域1 - x解：设= t ，则 y = -t 2 + 2t + 1 (t 0)q对称轴 t = 10,+)，且开口向下 当t = 1时 ，ymax = 2值域为(- ,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。x -1练习：求函数 y=- x 的值域。（答案：y|y3/4求1+ s

7、in x cos x 的值域；sin x + cos x例 5（三角换元法）求函数 y = x +1 - x 2的值域解：q- 1 x 1设 x = cosqq0,p)4y = cosq+ sinq = cosq+ sinq= 2 sin(q+ p -1, 2 原函数的值域为-1 , 2 小结：（1）若题目中含有 a 1 ，则可设a = sinq,-p q p (或设a = cosq ,0 q p)22（2） 若题目中含有 a 2 + b 2 = 1则可设 a = cosq, b = sinq，其中0 q 2p1 - x 2（3） 若题目中含有，则可设 x = cosq，其中0 q p1 +

8、x 2pp（4） 若题目中含有，则可设 x = tanq，其中-2q 0, y 0,r 0)，则可设x =r cos2q, y =r sin2q其中q 0 , p23 平方法x - 35 - x例 5（选）求函数 y =+解：函数定义域为： x 3,5的值域y 2 = (x - 3) + (5 - x) + 2 - x2 + 8x -15由 x 3,5 ,得- x2 + 8x -15 0,1 y 2 2,4原函数值域为 2 ,24 分离常数法例 6求函数 y =x - 1x + 2的值域由 y = x + 2 - 3 = 1 -x + 23 1x + 2，可得值域y y 1小结：已知分式函数

9、y = ax + bcx + d(c 0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 y y a ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），cb - ad采用部分分式法将原函数化为 y = a +cc cx + d(ad bc) ，用复合函数法来求值域。练习求函数 y = 2x -14x + 63x求函数 y =3x + 1的值域的值域求函数 y= 2 x -1 的值域；（y(-1，1)） 2 x +1例 7求 y = x - 3 - x + 1的值域4, x 3解法二：（不等式法）q x - 3 - x +1 (x - 3) - (x +1) = 4x - 3 - x +1

10、= (x +1) - 4 - x +1 x +1 - 4 - x +1 = -4同样可得值域练习： y =x + x + 1 的值域1, + )例 8求函数 y = 9 x - 3x + 2(x 0,1 )的值域解：（换元法）设3x = t，则 1 t 3原函数可化为qy = t 2 - t + 2 ,对称轴 t = 1 1,3 t = 1 时, y2min= 2 ; t = 3 时 , ymax = 8值域为2,8 1 - x2 +2 x例 9 求函数 y = 的值域 3 1 t解：（换元法）令t = -x 2 + 2x = -(x - 1)2 + 1 ，则 y = (t 1) 3 由指数函

11、数的单调性知，原函数的值域为1 ,+ 3例 10求函数 y = 2 x (x 0) 的值域解：（图象法）如图，值域为(0,1（换元法）设3x + 1 = t，=3x + 1 - 1则 y1 -3x + 113x + 1= 1 - 1t(t 1)q t 1 0 1 1t 0 y 1原函数的值域为(0,1)例 13函数 y =x 2 - 1x 2 + 1的值域解法一：（逆求法）qx 2 = 1 + y 0 1 - y-1 y 1 原函数的值域为 -1,1)解法二：（换元法）设 x 2 + 1 = t ，则q t 1 0 2 2t-1 y 1 原函数值域即得解法三：（判别式法）原函数可化为 ( y

12、- 1)x 2 + 0 x + y + 1 = 01） y = 1时 不成立2） y 1时， d 0 0 - 4( y - 1)( y + 1) 0 -1 y 1-1 y 1综合 1）、2）值域y | -1 y 1解法四：（三角换元法）q x r设 x = tanq q - p , p ，则22y2= - 1 - tan 2q = -1 + tan qcos 2qq 2q (-p, p)cos 2q (-1 , 1原函数的值域为y | -1 y 1例 14求函数 y =52x 2 - 4x + 3的值域解法一：（判别式法）化为2 yx 2 - 4 yx + (3y - 5) = 051） y

13、= 0 时，不成立2） y 0 时， d 0 得(4 y) - 8 y(3y - 5) 0 0 y 5 0 y 5综合 1）、2）值域y | 0 y 5解法二：（复合函数法）令2x 2 - 4x + 3 = t ，则 y = 5tq t = 2(x - 1)2 + 1 1 0 y 5例 15函数 y = x + 1 + 1的值域x所以，值域y | 0 0 时， x + 1 2 y 3xx + 1 = -(-x) +1 -2 y -12） x -1) 的值域解法一：（判别式法）原式可化为 x 2 + (2 - y)x + 2 - y = 0q d 0 (2 - y)2 - 4(2 - y) 0q

14、 x -1 y -2 舍去 y 2或y -2原函数值域为2 , + )y =(x + 1)2 + 1x + 1= x + 1 +1x + 1 2 (q x -1)解法二：（不等式法）原函数可化为当且仅当 x = 0 时取等号，故值域为2 , + )例 17 （选） 求函数 y =x 2 + 2x + 2x + 1(-2 x 2) 的值域解：（换元法）令 x + 1 = t，则原函数可化为 y = t + 1t(-1 t 3) 。小结：已知分式函数 y =ax 2 + bx + c dx 2 + ex + f(a 2+ d 2 0)，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用

15、判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选） y = 二次式 (或一次式y = 一次式)二次式的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值； 如果不满足用基本不等式的条件， 转化为利用函数y = x + ax(x 0) 的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据x - x2例1、 求函数 y = x 2 - x + 1

16、 的值域象这种分子、分母的最高次为 2 次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。x - x2解：由 y = x 2 - x + 1 得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然 y1,故式是关于 x 的一元二次方程d = (1 - y)2 - 4 y( y - 1)令d 0， 解得- 1 y 1, 又y 1 3x 2 - x 1y = x 2 - x + 1的值域为- 3，1用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数 y =x 2

17、- x + 12x 2 - 2x + 3的值域。错解：原式变形为(2 y - 1)x 2 + (2 y - 1)x + (3y - 1) = 0 x r ， d = (2 y - 1)2 - 4(2 y - 1)(3y - 1) 0 ，解得 310（） y 1 。2故所求函数的值域是 3 , 1 10 2错因：把 y = 1 代入方程（）显然无解，因此 y = 1 不在函数的值域内。事实上， y = 1222时，方程（）的二次项系数为 0，显然不能用“ d ”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为(2 y - 1)x 2 + (2 y - 1)x + (3y - 1) = 0（1） 当 y =

18、 1 时，方程（）无解；2（）（2）当 y 1 时， x r ， d = (2 y - 1)2 - 4(2 y - 1)(3y - 1) 0 ，解得 3210 y 0错因： 解法中忽视了新变元 t 满足条件 t 2 。 设 f (t) = yt 2 - t + y ， y 0 ，t 2,+) ，d 0, y 0 f (2) 0或f (2) 0 0 2 2 y综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习：1 、 y

19、= x2 + 1x2+ 9(x 0) ；解 ：x 0， y = x2 + 1x2+ 9 = (x - 1 )2 +11，y 11.x另外，此题利用基本不等式解更简捷： y = x2 + 1x2像法)+ 9 2 + 9 = 11 (或利用对勾函数图2 、 y =52x2 - 4x + 30y 5.3 、求函数的值域2 - x4x - x 2 y = x +； y = 2 -2 - x解：令u = 0,则 x = 2 - u 2 ,原式可化为 y = 2 - u 2 + u = -(u - 1 )2 + 9 ,24u 0，y 9 ，函数的值域是（- ， 9 .44解：令 t=4x- x 2 0 得

20、 0 x 4maxmin在此区间内(4x- x 2 )=4，(4x- x 2 )=04x - x 2函数 y = 2 -的值域是 y| 0 y 24、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.- 2x + 1(x -1)3(解法 1：将函数化为分段函数形式： y = -1 x 0y + 1 0y - 1解得： - 1 y 0 ，故原函数的值域为(0, 2 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的值域中同样发挥作用。x - 1例11. 求函数y = x + 解：令x - 1 = t ，(

21、t 0) 则x = t 2 + 1y = t 2 + t + 1 = (t + 1 ) 2 + 3的值域。24又t 0 ，由二次函数的性质可知当t = 0 时， ymin = 1当t 0 时， y +故函数的值域为1,+)1 - (x + 1) 2例12. 求函数y = x + 2 +解：因1 - (x + 1) 2 0即(x + 1) 2 11 - cos 2 b故可令x + 1 = cosb, b0, p的值域。y = cosb + 1 += sin b + cosb + 1= 2 sin(b + p) + 140 b p,0 b + p 5 p 44-2 sin(b + p) 120 4

22、22 sin(b + p) + 1 1 +4故所求函数的值域为0,1 +2 例13. 求函数y =x 3 - xx 4 + 2x 2 + 1 的值域。12x1 - x 2解：原函数可变形为： y = 2 1 + x 2 1 + x 22x可令x = tgb ，则有1 + x 2= sin 2b,1 - x 21 + x 2= cos 2 by = - 1 sin 2b cos 2b = - 1 sin 4b2b = kp - p4y= 1当28 时，max4b = kp + py= - 1当28 时，min4而此时tan b 有意义。- 1 , 1 故所求函数的值域为4 4 x -p , p

23、例14. 求函数y = (sin x + 1)(cos x + 1) ，解： y = (sin x + 1)(cos x + 1)= sin x cos x + sin x + cos x + 1 122 的值域。sin x cos x = 1 (t 2 - 1)令sin x + cos x = t ，则2y = 1 (t 2 - 1) + t + 1 = 1 (t + 1) 222由t = sin x + cos x = 2 sin(x + p / 4)x -p , p 且 12 2 2可得：2 t 22y= 3 +t =2y = 3 +22当t =时，max2，当2 时，42 3 +2 ,

24、 3 +2 4故所求函数的值域为22 。5 - x 2例15. 求函数y = x + 4 +解：由5 - x 2 0 ，可得| x |的值域。5故可令x =5 cosb, b0, py = 5 cosb + 4 +5 sin b =10 sin(b + p) + 440 b p p b +4p 5p 4410当b = p / 4 时， ymax = 4 +5当b = p 时， ymin = 4 -故所求函数的值域为：4 -5,4 +10 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。(x

25、- 2) 2(x + 8) 2例16. 求函数y =+的值域。解：原函数可化简得： y =| x - 2 | + | x + 8 |上式可以看成数轴上点p（x）到定点a（2）， b(-8) 间的距离之和。由上图可知，当点p 在线段ab 上时， y =| x - 2 | + | x + 8 |=| ab|= 10当 点 p 在 线 段 ab 的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ，y =| x - 2 | + | x + 8 | ab|= 10故所求函数的值域为：10,+x 2 - 6x + 13x 2 + 4x + 5例17. 求函数y =+解：原函数可变形为：的值域。(x - 3)

26、 2 + (0 - 2) 2(x + 2) 2 + (0 + 1) 2y =+上式可看成x 轴上的点p(x,0) 到两定点a(3,2), b(-2,-1) 的距离之和，由 图 可 知 当 点 p 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ，(3 + 2) 2 + (2 + 1) 243ymin =| ab|=，故所求函数的值域为43,+x 2 - 6x + 13例18. 求函数y =-(x - 3) 2 + (0 - 2) 2解：将函数变形为： y =的值域。x 2 + 4x + 5(x + 2) 2 + (0 - 1) 2-上式可看成定点a（3，2）到点p（x，0）的距离与定点b(-2,1)

27、到点p(x,0)的距离之差。即： y =| ap | - | bp |由图可知：（1）当点p 在x 轴上且不是直线ab 与x 轴的交点时，如点p ， 则构成 dabp ， 根据三角形两边之差小于第三边， 有(3 + 2) 2 + (2 - 1) 2262626| ap| - | bp| ab|=即： - y 26（2） 当点p 恰好为直线ab 与x 轴的交点时，有| ap | - | bp |=| ab|=综上所述，可知函数的值域为：(-26,26 注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使a、b 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使a，b 两点在x 轴的同侧。如：例

28、17 的a，b 两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1) ，在x 轴的同侧；例18 的a，b 两点坐标分别为（3，2），(2,-1) ，在x 轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式a + b 2ab, a + b + c 33 abc(a, b, cr + ) ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值， 不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19. 求函数y = (sin x +1sin x) 2 + (cos x +1cos x) 2 - 4的值域。解：原函数变形为：y = (sin 2 x + cos 2 x) += 1 + ces2 x +

29、 sec2 x= 3 + tan 2 x + cot 2 x1sin 2 x+1cos 2 x 33 tan 2 x cot 2 x + 2= 5当且仅当tan x = cot xx = kp p即当4 时(k z) ，等号成立故原函数的值域为：5,+)例20. 求函数y = 2 sin x sin 2x 的值域。解： y = 4 sin x sin x cos x= 4 sin 2 x cos xy = 16 sin 4 x cos 2 x= 8 sin 2 x sin 2 x(2 - 2 sin 2 x) 8(sin 2 x + sin 2 x + 2 - 2 sin 2 x) / 33=

30、 6427sin 2 x = 2当且仅当sin 2 x = 2 - 2 sin 2 x ，即当3 时，等号成立。y 2 64由27 可得：- 8 3 y 8 399- 8故原函数的值域为： 3 8 3 ,99 10. 一一映射法y = ax + b (c 0)原理：因为cx + d在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。y = 1 - 3x例21. 求函数2x + 1 的值域。x | x - 1 2解：定义域为2y = 1 - 3x由2x + 1 得x = 1 - y 2y + 3x = 1 - y - 1x = 1 - y - 1故 2y + 32 或 2y + 32y - 3解得22- ,- 3 u - 3 ,+故函数的值域为2 211. 多种方法综合运用例22. 求函数y =x + 2x + 3的值域。解：令t =x + 2 (t 0) ，则x + 3 = t 2 + 1y =（1） 当t 0 时，0 y 1所以2t=t 2 + 11t + 1t 12，当且仅当t=1，即x = -1时取等号，（2） 当t=0 时，y=0。0, 1 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等