1.5可测集与可测函数(讲义)(最新整理)

1、1.5可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数u定义 1.5.1设 x 是基本空间， r 是 x 上的s- 代数，且 x =e ，er则称 ( x , r) 是 可测空间 (measurable space)， r 中的元素 e 是 ( x , r) 上的 可测集(measurable set)。 特别地，当 x = r1 ， r = l 时，称(r1 , l) 是 lebsgue 可测空间；lebsgue 可测空间上的可测集称为 lebsgue 可测集；0当 x = r1 ， r = s (r ) = b 时，称(r1 , b) 是 borel 可测空间；borel 可测空间上的可测集（

2、即：borel 集）称为 borel 可测集.注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在s- 代数 r 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。7定义 1.5.2设( x , r) 是可测空间， e x ， f数c ，集是定义在 e 上的有限实函数。若对一切实e(c f ) =xc f (x),x e都是( x , r) 上的可测集（即： e(c f ) r ），则称 f称 e 上的可测函数(measurable function)。特别地，是 e 上关于 r 的可测的函数，简当( x , r) = (r1, l) 时，称 f当( x ,

3、 r) = (r1, b) 时，称 f是 e 上关于 l 的 lebsgue 可测函数；是 e 上关于 b 的 borel 可测函数。定理 1.5.1设( x , r) 是可测空间， f是定义在 e x 上的有限实函数。则 f是 e 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数c, d ，集e(c f d )是可测集。证设 f是可测函数，由于e(c f d ) = e(c f ) - e(d f ) ，而 e(c f ) 和 e(d f ) 都是可测集，所以 e(c f d ) 是可测集。反之，若已知对任意实数c,d ，集 e(c f d ) 是可测集，则由ue(c f ) =e(c fn=1 1

4、,x (c c (x) = e,0 c 1,e x ,c 0,而, e, x 都是可测集，所以ce (x) 是 x 上的可测函数。充分性：设ce (x) 是 x 上的可测函数。由上面的式子知，当0 c 1 时，e = x (c ce (x) .而ce (x) 是 x 上的可测函数，故 x (c ce (x) 是可测集，即 e 是可测集。证毕！注性质(3)可以推广到有限个或可列个可测集 e1 , e2 ,l, en ,l ，并且 ei i ej 的情况。定理 1.5.3设( x , r) 是可测空间， f 是定义在 e x 上的有限实函数，则下面三个条件中的任何一个都是 f是 e 上的可测函数的

5、充分必要条件：(1) 对任意实数c ， e(c f ) 是可测集；(2) 对任意实数c ， e( f c) 是可测集；(3) 对任意实数c ， e( f 0 ，对x e ，都有 f (x) m .f 是 e 上的有限函数是指： x e ，都有 f (x) . 即：函数值都是有限实数的函数称为有限函数。显然有界函数是有限函数，反之则不然。例如： f (x) =1 x 在(0, 1) 内的任意函数值都是有限的，但它是(0, 1) 内的无界函数。1.5.4 lebsgue 积分及其性质定义 1.5.3设( x , r, m) 是测度空间， e 是一个可测集， m(e) ， f 是定义在 e 上的可测

6、函数，设 f是有界的（即：存在实数c,d ，使得 f (e) (c, d ) ），在c,d 中任取一分点组记d : c = l0 l1 l ln-1 ln = d .ii-1d(d) = max(l - l),1in并任取xi li-1, li-1 (i = 1, 2,l, n) ，作和式ei = e(li-1 f 0, $d 0 ，使得对任意分点组 d ，当d(d) d时，有s(d) - s e(即： s =limd(d)0s(d) ),则称 f在 e 上关于测度m是可积（分）的，并称 s 是 f在 e 上关于测度m的积分，记作s = e fdm.特别地，当测度空间( x , r, m) 是

7、 lebsgue 测度空间(r1, l, m) ， f关于测度 m 可积时，称 f称 s 是e f d x .是 lebsgue 可积函数；f 在 e 上关于测度 m 的 lebsgue 积分， 记作 (l)e f d x . 通常就简记作b当 e =a, b 时，lebsgue 积分又记作a f d x .定理 1.5.7设( x , r, m) 是测度空间， e r ，且m(e) 0, $d 0 ，当 x e ，且 x - x0d 时，有f (x) - f (x0 ) 0 ，必有闭集 fe ，使得是 e 上的lebsgue 可测函数。则m(e - fe) e，且 f 是 fe 上的连续函数

8、。定义 1.5.5设 e x 是测度空间( x , r,m) 的测度s- 有限的集， fn 是 e 上一列函数，如存在 e 上的非负函数 g ，使得在 e 上，fn g （即：在 e 上fn 几乎处处不大于 g ）对一切 n 成立，则称 g 是 fn 的控制函数。定理 1.5.9（lebsgue 的控制收敛定理）设 fn 可测集 e 上的一列可测函数， g 是 fn 的一个可积的控制函数（即：在 e 上有fn g ， n = 1, 2,3,l ，而 g 在 e 上可积）。若 fn 依测度m收敛于可测函数 f，则 f在 e 上可积，且lim e fn dm= e f dm.n定理 1.5.10（

9、lebsgue 的控制收敛定理）设 fn 可测集 e 上的一列可测函数， g 是 fn 的一个可积的控制函数。若 fn 几乎处处收敛于可测函数 fnlim e fn dm= e f dm.，则 f在 e 上可积，且推论 1设 e 是可测集， m(e) ， fn 是 e 上的一列可测函数，且存在非负常数 k ，使得 fn k ， n = 1, 2,3,l . 若 fn 几乎处处收敛于（或：依测度m收敛于）可测函数 f ，n则lim e fn dm= e f dm.推论 2设( x , r,m) 是完全测度空间， e 是可测集， m(e) ， fn 是 e 上的一列可测n函数， g 是 fn 的一

10、个可积的控制函数。若 fn 几乎处处收敛于（或：依测度m收敛于）函数 f，则 f在 e 上可积，且lim e fndm= e f dm.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand

11、the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate t